高考理科数学全国2卷附答案.docx
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高考理科数学全国2卷附答案
12B-SX-0000020
-
绝密★启用前
_
_
2019年普通高等学校招生全国统一考试
_
-
_
_
-
理科数学全国II卷
_
_
_
-
本试卷共23小题，满分
150分，考试用时
120分钟
：
号-
（适用地区：
内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/新疆/西藏/海南）
学
-
注意事项：
_
-
_
_
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
_
-
_
_
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
_
_
-
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在
_
_
_
答题卡上。
写在本试卷上无效。
_
线
_
_
封
_
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
_
密
_
_
-
_
_
12小题，每小题
5分，共60分。
在每个小题给出的四个选
：
-
一、选择题：
本题共
名
-
项中，
只有一项是符合题目要求的。
姓
-
2
-
1．设集合A={x|x-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=
班
-
A．（-∞，1）
B．（-2，1）
C．（-3，-1）
D．（3，+∞）
_
_
_
-
_
2
．设z=-3+2i
，则在复平面内z对应的点位于
_
-
_
_
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
年
-
_
_
_
_
线
3
．已知AB=（2,3），AC=（3，t），BC=1，则ABBC
=
_
_
封
_
A．-3
B．-2
C．2
D．3
_
密
_
-
_
_
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，
_
-
_
_
_
-
我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键
_
_
_
-
_
技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中
_
_
-
_
_
_
-
继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
L2点的轨道运行．L2点是平衡点，
_
_
-
_
M１，月球质量为M２，地月距离为
：
-
位于地月连线的延长线上．设地球质量为
校
学
-
R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的延
长线上．设地球质量为
M１，月球质量为
M２，地月距离为
R，L2点到月球的距
离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
r满足方程：
M1
M2
M1
（R
r）
2
r
2
（Rr）3.
R
设
r
，由于
的值很小，因此在近似计算中
33
345
33，则
R
（1
）2
r的近似值为
A．
M2R
B．
M2R
C．3
3M2R
D．3
M2R
M1
2M1
M1
3M1
5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分
与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数B．平均数C．方差D．极差
6．若a>b，则
A．ln（a-b）>0B．3a<3bC．a3-b3>0D．│a│>│b│
7．设α，β为两个平面，则
α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与
β平行
B．α内有两条相交直线与
β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
2
x2
y2
p=
8．若抛物线y=2px（p>0）的焦点是椭圆
1的一个焦点，则
3p
p
-1--2-
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A．2
B．3
C．4
D．8
9．下列函数中，以
为周期且在区间
（
，
）单调递增的是
2
4
2
A．f（x）=│cosx2│
B．f（x）=│sin2x│
C．f（x）=cos│x│
D．f（x）=sinx│
10．已知α∈（0，
），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
2
1
B．
5
A．
5
5
C．
3
D．2
5
3
5
x2
y2
1（a
0,b
0）
的右焦点，O为坐标原点，以OF
11．设F为双曲线C：
b2
a2
为直径的圆与圆
x2
y2a2交于P，Q两点.若PQ
OF，则C的离心率
为
A．
2
B．
3
C．2
D．
5
12．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x
1）
2f（x），且当x
（0,1]时，
f（x）
x（x1）.若对任意x（
m]
，都有f（x）
8
，则m的
9
取值范围是
A．
9
B．
7
4
3
C．
5
D．
8
2
3
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13
．我国高铁发展迅速，技术先进
.经统计，在经停某站的高铁列车中，有
10个车
次的正点率为0.97，有20
个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为
0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
__________.
14
．已知f（x）是奇函数，且当
x0时，
（）
ax.若f（ln
2）
8，则a
f
e
x
__________.
15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b
6,a2c,B
π
3
，则△ABC
的面积为__________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一
.印信的形状多为长方体、
正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
“
”
半正多面体（图
1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现
了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一
个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，
其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）
-3--4-
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三、解答题：
共70
分。
解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。
第
17~21题
18．（12分）
为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
11分制乒乓球比赛，每赢一球得
1分，当某局打成10:
10
平后，每球交换发
（一）必考题：
共60分。
球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，
17．（12分）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE
假设甲发球时甲得分的概率为
0.5，乙发球时甲得分的概率为
0.4，各球的结果
⊥EC1.
相互独立.在某局双方10:
10平后，甲先发球，两人又打了
X个球该局比赛结
（1）证明：
BE⊥平面EB1C1；
束.
（2）若AE=A
1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
-5--6-
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19．（12分）
20．（12分）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an13anbn
4，
x
1
已知函数fxlnx
.
x
1
4bn13bnan4.
（1）讨论f（x）的单调性，并证明
f（x）有且仅有两个零点；
（1）证明：
{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线
y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
曲线yex的切线.
-7--8-
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21．（12分）
按所做的第一题计分。
已知点A（-2,0），B（2,0），动点M（x,y）满足直线AM与BM的斜率之积为-
1
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
.记
在极坐标系中，O为极点，点M（0,0）（0
0）在曲线C:
4sin
2
上，
M的轨迹为曲线C.
直线l过点A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.
（1）求C的方程，并说明
C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交
C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂
（1）当0=时，求0及l的极坐标方程；
3
足为E，连结QE并延长交C于点G.
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程
.
（i）证明：
△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值.
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
（二）选考题：
共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则
-9--10-
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已知f（x）|xa|x|x2|（xa）.
（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集；
（2）若x（,1]时，f（x）0，求a的取值范围.
-11--12-
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学全国II卷参考答案
1．A
2．C
3．C
4．D
5．A
6．C
7．B
8．D
9．A
10．B
11．A12．B
13
．0.98
14
．–3
15
．6
3
16
．26；21
17．解：
（1）由已知得，
BC11平面ABBA11，BE
平面ABBA11，
故BC
BE
．
11
又BE
EC1
，所以
BE
平面
11．
EBC
（2）由
（1）知
BEB
90．由题设知
Rt△ABERt△ABE，所以
1
1
1
AEB
45，
故
AE
AB
，AA
2AB．
1
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CE（1,1,1），
CC1（0,0,2）．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
CBn
0,
x
0,
CEn
即
x
yz0,
0,
所以可取n=（0,
1,
1）.
设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则
CC1m0,
2z
0,
CEm0,
即
yz0.
x
所以可取m=（1，1，0）．
于是cosn,m
nm
1
|n||m|
．
2
-13--14-
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3
所以，二面角BECC1的正弦值为．
2
18．解：
（1）X=2就是10：
10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球
均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）
=05．
（2）X=4且甲获胜，就是10：
10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这
4个球的得分情况为：
前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]0×.5×0.4=0.1．
19．解：
（1）由题设得4（an1bn1）
2（an
bn），即an1bn1
1
（anbn）．
2
又因为a1+b1=l，所以
an
bn
是首项为1
，公比为
1
的等比数列．
2
由题设得4（a
b
）
4（a
b）
8，
n1
n1
n
n
即an1bn1anbn2．
又因为a1–b1
an
bn
是首项为1，公差为2的等差数列．
=l，所以
an
bn
1
bn
2n1．
（2）由（
1）知，
2n1，an
所以an
1[（anbn）（an
bn）]
1
n
1，
2
2n
2
b
1[（a
b
）（a
b）]
1
n
1
n
2
n
n
n
n
2n
2．
20．解：
（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．
因为f（e）=1
e
1
0，f（e2）2
e2
1
e23
0，
e
1
e2
1
e21
所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．
1
1
x1
1
又0
1，f（）lnx1
x1
f（x1）0，
x1
x1
1
故f（x）在（0，1）有唯一零点
1
．
x1
综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为
1
elnx0，故点B（–lnx0，
1
）在曲线y=ex上．
x0
x0
由题设知f（x0）
x0
1
0，即lnx0
，
x0
1
1
1
x0
1
lnx0
x0
x0
11
x0
故直线AB的斜率k
x0
1
．
lnx0x0
x0
x0
1
x0
曲线y=ex在点B（
lnx0,1）处切线的斜率是
1
，曲线yln
x在点
x0
x0
1
A（x0,lnx0）处切线的斜率也是，
x0
所以曲线y
lnx在点A（x0,lnx0）处的切线也是曲线
y=ex的切线．
21．解：
（1）由题设得
y
y
1
x2
y2
，化简得
1（|x|2），所以C
x
2x2
2
4
2
为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx（k0）．
-15--16-
12B-SX-0000020
y
kx
得x
2
由
x
2
y
2
．
1
12k2
4
2
记u
2
，则P（u,uk）,Q（u,
uk）,E（u,0）．
1
2k2
于是直线QG的斜率为k
，方程为y
k（xu）．
2
2
y
k（x
u）,
由
2
得
x2
y2
1
4
2
（2k2）x22uk2xk2u280．①
设G（xG,yG
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