23抛物线方程式.docx

23抛物线方程式.docx

《23抛物线方程式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《23抛物线方程式.docx（23页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

23抛物线方程式

2-3：

拋物線方程式

1.已知拋物線的焦點為F（2,3），準線為L：

3x4y20，試求此拋物線的正焦弦長。

【課本練習題-例題】

　解答　8

解析拋物線的焦點為F（2,3），準線L：

3x4y20，

則焦點F與準線L的距離為

，

所以拋物線的正焦弦長為2d（F,L）248。

2.已知拋物線的焦點為F（1,3），準線為L：

5x12y80，試求此拋物線的正焦弦長。

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　6

解析∵　焦點F（1,3）與準線L：

5x12y80的距離

，

∴　正焦弦長為2d（F,L）236。

3.試求滿足下列各條件的拋物線方程式：

（1）焦點為F（3,0），準線為L：

x3。

（2）焦點為F（0,4），準線為L：

y4。

【課本練習題-例題】

　解答　

（1）y212x;

（2）x216y

解析

（1）焦點F（3,0）在準線L：

x3的右方，所以拋物線開口向右，

　頂點為（0,0），c3，如下圖所示。

　由拋物線的標準式y24cx得知，

　所求拋物線方程式為y212x。

（2）焦點F（0,4）在準線L：

y4的下方，所以拋物線開口向下，

　頂點為（0,0），c4，如下圖所示。

　由拋物線的標準式x24cy得知，

　所求拋物線方程式為x216y。

4.試求滿足下列各條件的拋物線方程式：

（1）焦點為F（2,0），準線為L：

x2。

（2）焦點為F（0,1），準線為L：

y1。

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　

（1）y28x;

（2）x24y

解析

（1）∵　焦點F（2,0）在準線L：

x2的左方

　　拋物線開口向左，頂點為（0,0），c2，

　由拋物線的標準式y24cx得知

　所求拋物線方程式為y28x。

（2）∵　焦點F（0,1）在準線L：

y1的上方

　　拋物線開口向上，頂點為（0,0），c1，

　由拋物線的標準式x24cy得知

　所求拋物線方程式為x24y。

5.試求拋物線y28x的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。

【課本練習題-例題】

　解答　頂點（0,0），焦點（2,0），準線x2，對稱軸y0，正焦弦長8

解析y28x可以寫成y24

（2）x，

由拋物線的標準式得知，c2，圖形開口向左，

頂點坐標為原點（0,0），

焦點F坐標為（c,0）（2,0），

準線L：

xc，即L：

x2，

對稱軸為y0（即x軸），

正焦弦長4|c|8。

6.試求拋物線x212y的頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　頂點（0,0），焦點（0,3），準線y3，對稱軸x0，正焦弦長12

解析x212y可以寫成x243y，

由拋物線的標準式得知c3，圖形開口向上，

頂點坐標為（0,0），

焦點F坐標為（0,c）（0,3），

準線L：

yc，即L：

y3，

對稱軸為x0（即y軸），

正焦弦長4|c|12。

7.試求滿足下列各條件的拋物線方程式：

（1）頂點為V（1,1），準線為L：

x3。

（2）焦點為F（2,3），準線為L：

y1。

【課本練習題-例題】

　解答　

（1）（y1）216（x1）;

（2）（x2）28（y1）

解析

（1）頂點V（1,1）到準線L：

x3的距離為4，

　又頂點V在準線L的右方，所以拋物線開口向右，

　故得c4，焦點F為（5,1），如下圖所示。

　因為拋物線開口向右，所以方程式形如（yk）24c（xh），

　故所求方程式為（y1）216（x1）。

（2）焦點F（2,3）在準線L：

y1的下方，

　所以拋物線開口向下，如下圖所示。

　對稱軸過焦點F（2,3）與準線L：

y1垂直相交於點E（2,1），

　又頂點V為

的中點，坐標為（2,1），

　因拋物線開口向下，且

，故得c2，

　拋物線方程式形如（xh）24c（yk），

　故所求方程式為（x2）28（y1）。

8.試求滿足下列各條件的拋物線方程式：

（1）焦點為F（3,2），準線為L：

x1。

（2）頂點為V（1,1），焦點為F（1,3）。

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　

（1）（y2）28（x1）;

（2）（x1）28（y1）

解析

（1）焦點F（3,2）在準線L：

x1的左方，

　所以拋物線開口向左，對稱軸過F（3,2）與L：

x1垂直相交於點E（1,2），

　又頂點V為

的中點，坐標為（1,2），

　∵　拋物線開口向左，且

　　c2，

　故拋物線方程式形如（yk）24c（xh），

　∴　所求方程式為（y2）28（x1）。

（2）∵　頂點V（1,1）在焦點F（1,3）的下方

；拋物線開口向上，故得c2。

　所以拋物線方程式形如（xh）24c（yk），

　∴　所求方程式為（x1）28（y1）。

9.試求拋物線x24x8y120的頂點、焦點與正焦弦長。

【課本練習題-例題】

　解答　頂點（2,1），焦點（2,3），正焦弦長8

解析將x24x8y120移項配方得x24x48y124，

故得（x2）28y8，亦即（x2）242（y1），

所以頂點為（h,k）（2,1），且c2，圖形開口向上，

焦點為（h,kc）（2,3），

正焦弦長4|c|8。

10.試求拋物線y28x4y40的頂點、焦點與正焦弦長。

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　頂點（1,2），焦點（1,2），正焦弦長8

解析將y28x4y40移項配方得y24y48x44，

故得（y2）242（x1），

所以頂點（h,k）（1,2）且c2，

焦點為（hc,k）（1,2），

正焦弦長4|c|8。

11.試求拋物線y24x2y70的焦點、準線與對稱軸。

【課本練習題-例題】

　解答　焦點（1,1），準線x3，對稱軸y1

解析將y24x2y70移項配方得y22y14x71，

故得（y1）24x8，亦即（y1）24

（1）（x2），

故得頂點為（h,k）（2,1），且c1，圖形開口向左，

焦點為（hc,k）（1,1），

準線為xhc，即x3，

對稱軸為yk，即y1。

12.試求拋物線x26x8y230的焦點、準線與對稱軸。

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　焦點（3,2），準線y6，對稱軸x3

解析將x26x8y230移項配方得x26x98y239，

故得（x3）242（y4），

所以頂點（h,k）（3,4）且c2，

焦點為（h,kc）（3,2），

準線為ykc，即y6，

對稱軸為xh，即x3。

13.試求通過P（1,0）、Q（9,0）、R（0,9）三點，且對稱軸平行y軸的拋物線方程式。

【課本練習題-例題】

　解答　yx210x9

解析因拋物線對稱軸平行y軸，

故設方程式為yAx2BxC，

將P（1,0）、Q（9,0）、R（0,9）三點坐標代入，

得

，

分別代入、得

AB9……，81A9B9……，

由9得72A72，即A1，

A1代入得B10，

故所求拋物線方程式為yx210x9。

14.試求通過（0,1）、（2,2）、（8,3）三點，且對稱軸平行x軸的拋物線方程式。

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　x2y24y2

解析∵　拋物線對稱軸平行x軸，

故設方程式為xAy2ByC，

將（0,1）、（2,2）、（8,3）三點坐標分別代入得

，

由得3AB2……，

由得5AB6……，

由、解得A2、B4，

將A2、B4代入得C2，

∴　拋物線方程式為x2y24y2。

15.已知有一拋物線形狀的拱橋，拱頂（A點）離水面2公尺時，水面寬度（

長）為4公尺，如下圖所示，若水再下降1公尺，則水面寬度（

長）為幾公尺？

【課本練習題-例題】

　解答　

公尺

解析選定拋物線頂點A為原點，對稱軸為y軸，建立直角坐標系，由此可設拋物線方程式為x24cy，

因為C（2,2）在拋物線上，故得224c

（2），即4c2，

所以拋物線方程式為x22y。

y3代入x22y，得

，

則D、E兩點坐標分別為

、

，

所以水再下降1公尺後，水面寬度為

（公尺）。

16.如下圖，一條隧道頂部是拋物線型的拱形，拱高4公尺，寬度為8公尺，試求距離中心線2公尺處的拱高

是多少公尺？

【課本練習題-隨堂練習】

　解答　3公尺

解析選定拋物線的頂點為坐標原點，

對稱軸為y軸，建立直角坐標系，

由此可得拋物線方程式為x24cy，

C、D點坐標分別為（4,4）及（4,4），

∵　D（4,4）在拋物線上，故得424c（4）　　4c4，

即拋物線方程式為x24y，

x2代入x24y，得y1，

所以點A坐標為（2,1），又點B坐標為（2,4），

∴　拱高

（公尺）。

17.試求滿足下列各條件的拋物線方程式：

（1）焦點為F（0,2），準線為L：

y2。

（2）焦點為F（1,0），準線為L：

x1。

【課本練習題-習題】

　解答　

（1）x28y;

（2）y24x

解析

（1）∵　焦點F（0,2）在準線L：

y2的下方

　　拋物線開口向下，頂點為（0,0），c2，

　由拋物線的標準式x24cy得知

　所求拋物線方程式為x28y。

（2）∵　焦點F（1,0）在準線L：

x1的右方

　　拋物線開口向右，頂點為（0,0），c1，

　由拋物線的標準式y24cx得知

　所求拋物線方程式為y24x。

18.試求拋物線y26x的焦點、準線及正焦弦長。

【課本練習題-習題】

　解答　焦點

，準線

，正焦弦長6

解析y26x可以寫成

，

由拋物線的標準式得知

，圖形開口向右，

焦點F坐標為

，

準線L：

xc，即

，

正焦弦長4|c|6。

19.試求拋物線x216y的焦點、準線及正焦弦長。

【課本練習題-習題】

　解答　焦點（0,4），準線y4，正焦弦長16

解析x216y可以寫成x24（4）y，

由拋物線的標準式得知c4，圖形開口向下，

焦點F坐標為（0,c）（0,4），

準線L：

yc，即L：

y4，

正焦弦長4|c|16。

20.試求頂點為V（1,2），準線為L：

x1的拋物線方程式。

【課本練習題-習題】

　解答　（y2）28（x1）

解析∵　頂點V（1,2）到準線L：

x1的距離為2，且頂點V在準線L的右方

　拋物線開口向右，c2，焦點為F（3,2），

故拋物線方程式形如（yk）24c（xh），

∴　所求方程式為（y2）28（x1）。

21.試求焦點為F（2,1），準線為L：

y3的拋物線方程式。

【課本練習題-習題】

　解答　（x2）24（y2）

解析∵　焦點F（2,1）在準線L：

y3的上方

　拋物線開口向上，

又對稱軸過F（2,1）與L：

y3垂直相交於E（2,3），

頂點V為

的中點，坐標為（2,2），

∵　

且拋物線開口向上　　c1，

故拋物線方程式形如（xh）24c（yk），

∴　所求方程式為（x2）24（y2）。

22.試求拋物線y28x4y120的頂點、準線及正焦弦長。

【課本練習題-習題】

　解答　頂點（1,2），準線x1，正焦弦長8

解析將y28x4y120移項配方得y24y48x124，

故得（y2）242（x1），

所以頂點（h,k）（1,2），且c2，

準線為xhc，即x1，

正焦弦長4|c|8。

23.試求拋物線x22x4y70的頂點、焦點及對稱軸。

【課本練習題-習題】

　解答　頂點（1,2），焦點（1,1），對稱軸x1

解析將x22x4y70移項配方得x22x14y71，

故得（x1）24

（1）（y2），

所以頂點（h,k）（1,2），且c1，

焦點為（h,kc）（1,1），

對稱軸為xh，即x1。

24.試求對稱軸平行y軸，且過點（1,0）、（0,3）、（3,0）的拋物線方程式。

【課本練習題-習題】

　解答　yx22x3

解析∵　拋物線對稱軸平行y軸，

故設拋物線方程式為yAx2BxC，

將（1,0）、（0,3）、（3,0）三點坐標分別代入得

，

將分別代入、得

AB3……，9A3B3……，

由、聯立解得A1、B2，

∴　拋物線方程式為yx22x3。

25.設拋物線y24x10y110與y軸交於A、B兩點，則

？

【課本補充題】

　解答　12

解析∵　A、B兩點為拋物線與y軸的交點

∴　令x0代入拋物線方程式中得y210y110

　（y1）（y11）0　　y1或y11

故

26.在坐標平面上，到直線x0與點F（6,0）等距離之所有點所成圖形之方程式為何？

【課本補充題】

　解答　y212（x3）

解析設動點（x,y）到x0之距離到點（6,0）之距離

　　x2x212x36y2

　y212x36　　y212（x3）

27.設P（a,b）為拋物線y28x上任一點，已知P點與A（2,0）的距離為3，則b？

【課本補充題】

　解答　

解析∵P（a,b）為拋物線y28x上一點∴b28a……

∵

∴

a24a4b29……

代入得a24a48a9

a24a50（a1）（a5）0a1或5（不合）

代入

28.拋物線y24x上之點到xy20之最小距離為何？

【課本補充題】

　解答　

解析令y2t代入y24x　　xt2

拋物線上任一點（t2,2t）到直線xy20之距離為

（當t1時）

29.分別求下列各拋物線的頂點、焦點、對稱軸、準線及正焦弦長。

（1）x26x8y250　

（2）y24y4x160。

【課本補充題】

　解答　

（1）頂點：

（3,2），焦點：

（3,4），對稱軸：

x3，準線：

y0，正焦弦長：

8;

（2）頂點：

（3,2），焦點：

（4,2），對稱軸：

y2，準線：

x2，正焦弦長：

4

30.試討論拋物線（x2）22y3。

【課本補充題】

　解答　拋物線開口向上，頂點：

，焦點：

（2,1），準線：

y2，軸：

x2，正焦弦長：

2

31.試討論拋物線（y2）28（x3）。

【課本補充題】

　解答　拋物線開口向右，頂點：

（3,2），焦點：

（5,2），準線：

x1，軸：

y2，正焦弦長：

8

32.求合乎下列條件的拋物線方程式：

（1）準線方程式為y1，且焦點為（2,3）

（2）頂點為（3,2），焦點為（3,3）

（3）頂點為（2,2），軸平行於y軸，且拋物線過點（4,1）

（4）一拋物線通過（5,2），（2,4）二點，且其對稱軸為y2。

【課本補充題】

　解答　

（1）（x2）28（y1）;

（2）（x3）24（y2）;（3）（x2）212（y2）;（4）（y2）24（x1）

解析

（1）準線y1，焦點（2,3）頂點（2,1），c2，開口向下

拋物線方程式為（x2）28（y1）

（2）頂點（3,2），焦點（3,3）　　軸：

x3　　x30

　焦距c321，開口向上

　正焦弦長4|c|4

　此拋物線方程式為（x3）24（y2）

（3）頂點（2,2），軸平行y軸的拋物線方程式設為（x2）2k（y2）

　由過點（4,1）代入　　（42）2k（12）　　363k

　∴　k12

　此拋物線方程式為（x2）212（y2）

（4）對稱軸y2　　y20

　設此拋物線為（y2）2axb

　由過點（5,2）代入得（22）2a（5）b　　5ab16……

　由過點（2,4）代入得（42）2a

（2）b　　2ab4……

　得3a12　　a4代入得8b4　　∴　b4

　所求拋物線方程式為（y2）24x4

　即（y2）24（x1）

33.已知一拋物線的軸平行x軸，且過

、（3,0）、（9,2）三點，試求此拋物線方程式。

【課本補充題】

　解答　

解析設拋物線方程式為xay2byc

∵　拋物線過

、（3,0）、（9,2）三點

∴　代入得

，解之得

故拋物線方程式為

34.已知一拋物線的軸平行y軸，且過（1,0）、（9,0）及（0,9）三點，試求此拋物線方程式。

【課本補充題】

　解答　yx210x9

解析軸平行y軸的拋物線方程式設為yax2bxc

過點（1,0）代入　　abc0

過點（9,0）代入　　81a9bc0

過點（0,9）代入　　c9

得8a80　　∴　a1代入得b10

所求拋物線方程式為yx210x9

35.分別求合乎下列各條件的拋物線方程式：

（1）若拋物線之準線方程式為x1，且焦點為（3,3）

（2）頂點為（3,2），焦點為（1,2）

（3）頂點為（2,3），軸平行於x軸，且拋物線過點（6,4）

（4）一拋物線通過（2,3）、（1,6）二點，且其對稱軸為x1

【課本補充題】

　解答　

（1）（y3）28（x1）;

（2）（y2）28（x3）;（3）（y3）2

（x2）;（4）（x1）2y2

解析

（1）將已知條件在坐標平面上以簡圖標示出來

　拋物線開口向右（c0）

　頂點（1,3）

　焦距為2　　c2

　故拋物線方程式為（y3）242（x1）　　（y3）28（x1）

（2）拋物線開口向左（c0）

　焦距為2　　c2

　故拋物線方程式為（y2）24

（2）（x3）　　（y2）28（x3）

（3）∵　軸平行x軸，且頂點為（2,3），

　故設拋物線方程式為（y3）24c（x2）

　∵　拋物線過點（6,4）

　∴　代入得（43）24c（62）　　

　故拋物線方程式為（y3）2

（x2）

（4）∵　對稱軸為x1

　∴　設拋物線頂點為（1,k）

　　拋物線方程式為（x1）24c（yk）

　∵　過（2,3）、（1,6）兩點∴代入得

　　k2代入得

　故拋物線方程式為（x1）2y2

36.已知拋物線y22x上動點P（x,y）至L：

xy20之最短距離為d，試求x、y、d之值？

【課本補充題】

　解答　

，y1時，

解析令P（2t2,2t），

，則P點至L：

xy20的最短距離為

∴　當

時，即

，y1時，最短距離

37.求拋物線x22x8y150之頂點、焦點、準線、對稱軸及正焦弦長。

【課本補充題】

　解答　頂點：

（1,2），焦點：

（1,0），準線：

y40，對稱軸：

x10，正焦弦長：

8

解析x22x8y150　　（x1）28y1512　　（x1）28（y2）

軸：

x10，頂點（1,2），開口向下

正焦弦長8

4|c|8　　∴　c2

焦點（1,22）（1,0）

準線：

y22即y4

38.求滿足下列條件的拋物線方程式：

（1）頂點（2,1），焦點（2,4）

（2）焦點（4,3），準線為y軸。

【課本補充題】

　解答　

（1）（x2）212（y1）;

（2）（y3）28（x2）

解析

（1）由題意知c3，頂點（2,1），開口向上

　　拋物線方程式：

（x2）243（y1）

　　（x2）212（y1）

（2）由題意知c2，頂點（2,3），開口向左

　　拋物線方程式：

（y3）24

（2）（x2）

　　（y3）28（x2）

39.求拋物