相似三角形综合大题.docx

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相似三角形综合大题

相似三角形综合大题

一．解答题（共30小题）

1．（2012•昌平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．

（1）若∠BAC=45°，求证：

①AF平分∠BAC；②FC=2HD．

（2）若∠BAC=30°，请直接写出FC与HD的等量关系．

2．（2012•香坊区二模）已知：

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，D是线段AC上一点，E是线段CD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）当点D是线段AC的中点时（如图1），求证：

BF﹣DF=

CF：

（2）当点D与点A重合时，在线段EF上取点G，使GF=

DF，连接DG并延长交CF于点H，交BC延长线相交于点P（如图2），CH：

HF=4：

5，EG=

，求PH的长．

3．（2012•西青区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．

（Ⅰ）如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：

△A′CD是等边三角形；

（Ⅱ）如图②，连接AA′、BB′，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S1、S2．求证：

S1：

S2=1：

3；

（Ⅲ）如图③，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP．求当θ为何值时，EP的长度最大，并写出EP的最大值（直接写出结果即可）．

4．（2012•南岗区校级二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE相交于点H，连接DE．

（1）如图1，△ABC为锐角三角形时，求证：

AE﹣CE=

DE；

（2）如图2，在

（1）的条件下，作∠AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=

CF，AE=6，求GH的长．

5．（2012•徐汇区校级模拟）在△OAC中，∠AOC=90°，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°，M、N分别在线段AB、AC上．

（1）填空：

cosC=　　　　　　．

（2）如图1，当AM=4，且△AMN与△ABC相似时，△AMN与△ABC的面积比为　　　　　　；

（3）如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，△EMN与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值围．

6．（2012•道外区二模）已知：

如图1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC，tan∠CAD=

，过点D作DE⊥AB，点E为垂足．

（1）求证：

AE+BC=DE；

（2）连接BD，设BD与AC交于点F，DE与AC交于点G，若AG：

FG=3：

2，AE=6（如图2），求线段BC的长．

7．（2012•路南区一模）如图①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，直线AA1分别交直线PB、直线BB1于点E，F．

（1）如图①，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△APA1与△BPB1始终存在　　　　　　关系（填“相似”或“全等”），同时可得∠A1AP　　　　　　∠B1BP（填“=”或“＜”“＞”关系）．请说明△BEF与△AEP之间具有相似关系；

（2）如图②，设∠ABP=β，当120°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？

若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）如图③，当α=120°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设AP=x，S=△A1BB1面积，求S关于x的函数关系式

8．（2012•上虞市模拟）复习完“四边形”容后，老师出示下题：

如图1，直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线AB于点Q，连接QC．求证：

∠PQC=∠DBC．

（1）请你完成上面这道题；

（2）完成上题后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，如：

①如图2，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？

②如图3，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？

请你对上述反思①和②作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：

①　　　　　　；②　　　　　　．并对①、②中的判断，选择其中一个说明理由．

9．（2012•模拟）已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．

（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；

（2）如图2，当点G在点F的右侧时；

①求证：

△BDF∽△BGD；

②设AE=x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值围；

（3）如果△DFG的面积为

，求AE的长．

10．（2012•道外区一模）已知：

点P为正方形ABCD部一点，且∠BPC=90°，过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．

（1）如图1，当PC=PB时，则S△PBE、S△PCFS△BPC之间的数量关系为　　　　　　；

（2）如图2，当PC=2PB时，求证：

16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；

（3）在

（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF于点N，若S△bpc=80，BE=6．求线段DN的长．

11．（2012•一模）如图1，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．

（1）判断并说明BH和AF的数量关系；

（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°），设AB=a，EH=b，且a＜2b．

①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值围；当x取最大值时，直接写出θ的值；

②如果四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系．

12．（2012•模拟）

（1）如图1，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD：

DE：

CE=1：

2：

3，线段FG∥BC，分别交线段AD，AE于M、N两点，则有FM：

MN：

NG=　　　　　　

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点有△ABC的三边上，线段FG分别交线段AD，AE于M、N两点，若BD=4，EC=9，求MN的长？

（3）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点在△ABC的三边所在的直线上，DA与EN的延长线分别交直线FG于M、N两点，求证：

MN2=MF•NG．

13．（2012•香坊区校级模拟）已知，等边△ABC中，D为BC上一点，DE∥AC交AB于C，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连DM，作DN平分∠MDC交AC于N．

（1）若BD=DC（如图1），求证：

EM+NC=DM；

（2）在

（1）的条件下，如图2，作DF⊥AC于F，若NF：

FC=3：

5，AM=4，连接MN将∠DMN沿MN翻折，翻折后的射线MD交AC于P，连接DP交MN于点Q，求PQ的长．

14．（2012•香坊区一模）已知：

在△ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PC=2PB，连接AP，作∠APD=∠B交AB于点D．连接CD，交AP于点E．

（1）如图1，当∠BAC=90°时，则线段AD与BD的数量关系为　　　　　　；

（2）如图2，当∠BAC=60°时，求证：

AD=

BD；

（3）在

（2）的条件下，过点C作∠DCQ=60°交PA的延长线于点Q如图3，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若CQ=

．求线段AK的长．

15．（2012秋•大丰市期末）探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：

（1）如图1，已知：

等边△ABC和等边△ADE，根据　　　　　　（指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：

　　　　　　．

（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：

的值；

（3）如图3，矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC，AE=kEF，求：

的值．（用k的代数式表示）

16．（2012秋•东城区期末）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P，Q．

（1）如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；

（2）如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：

在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

17．（2012秋•道外区期末）已知：

△ACB与△DCE为两个有公共顶点C的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC．把△DCE绕点C旋转，在整个旋转过程中，设BD的中点为N，连接CN．

（1）如图①，当点D在BA的延长线上时，连接AE，求证：

AE=2CN；

（2）如图②，当DE经过点A时，过点C作CH⊥BD，垂足为H，设AC、BD相交于F，若NH=4，BH=16，求CF的长．

18．（2012春•泰兴市校级期中）在平面直角坐标系中，四边形ABOC是边长为1的正方形，其中点B、C分别在x轴和y轴上，点M为y轴负半轴上一动点，点N为x轴正半轴上一动点，且∠NAM=45°．

（1）试说明△OAN∽△OMA；

（2）随着点N的变化，探求△OMN的面积是否发生变化？

如果△OMN的面积不变，求出△OMN的面积；如果面积发生变化，请说明理由；

（3）当△AMN为等腰三角形时，请求出点N的坐标．

19．（2012秋•亭湖区校级期中）已知：

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=8，BC=12，∠ACB=30°，E为BC边上一点，以BE为边作正△BEF，使正△BEF和梯形ABCD在BC的同侧．

（l）当正△BEF的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将

（1）问中的正△BEF沿BC向右平移，记平移中的正△BEF为正△B′E′F′，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为x，正△B′E′F′的边B′E′和E′F′分别与AC交于点M和点N，连接DM、DN：

①设正△B′E′F′与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围，当DN取得最小值时，求出S的值；

②是否存在这样的x，使三角形DMN是直角三角形？

若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

20．（2012秋•江阴市校级期中）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：

矩形ABCD中，点C与A、B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A、B两点的勾股点．同样，点D也是A、B两点的勾股点．

（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，边CD上A，B两点的勾股点的个数为　　　　　　个；

（2）如图1，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M、N两点的勾股点，且点H在直线l上，求PH的长；

（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12，BC=6，将纸片折叠，折痕分别与CD、AB交于点F、G，若A、E两点的勾股点为BC边的中点M，求折痕FG的长．

21．（2012春•沧浪区校级期中）已知，正方形DEFG接于△ABC中，且点E，F在BC上，点D，G分别在AB，AC上，

（1）如图①，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠A=90°，S△ADG=2，则S△ABC=　　　　　　．

（2）如图②，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长．

（3）如图③，若△ABC是任意三角形，S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，则正方形的边长为　　　　　　．

（4）如图④，若△ABC是任意三角形，求证：

．

22．（2012秋•月考）如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，BC边上的中垂线AM交BC边于点M．△CDE绕着点C旋转，点D落在直线AM上（点D不与点A、M重合）时停止，△CDE在CD边的下方，连接BE．

（1）如图1所示，当点D在线段AM上，求证：

BE+DM=

BC；

（2）在

（1）的条件下，设直线BE交直线AM于点N，如图2所示，若

，且△CDE的面积为

，求线段BN的长．

23．（2012秋•南岗区校级月考）如图1，BD为矩形ABCD的对角线，∠DBC的平分线BE交DC于点E，DK⊥BE交BE的延长线于K．

（1）若tan∠DBC=

，求证：

BE=

DK．

（2）如图2，在

（1）的条件下，∠BED绕点E顺时针旋转至∠B′ED′，∠B′ED′的两边分别交BD、DK于点I、L，若已知：

DL：

LK=5：

3，IL=5，求IB的长？

24．（2012秋•靖江市校级月考）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N，设BP=x．（如图1）

（1）求证：

AM=AN；

（2）若BM=

，求x的值；

（3）连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15°？

并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．

25．（2011•北塘区二模）如图1，在△ACD中，AC=2DC，AD=

DC．

（1）求∠C的度数；

（2）如图2，延长CA到E，使AE=CD，延长CD到B，使DB=CE，AB、ED交于点O．求证：

∠BOD=45°；

（3）如图3，点F、G分别是AC、BC上的动点，且S△CFG=S四边形AFGB，作FM∥BC，GN∥AC，分别交AB于点M、N，线段AM、MN、NB能否始终组成直角三角形？

给出你的结论，并说明理由．

26．（2011•一模）

（1）如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．

求证：

AB=DE，AB⊥DE；

（2）如果将

（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且

=

=

，则AB与DE的数量关系与位置关系会发生什么变化？

请说明你的看法和理由．

（3）如果将

（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠BCE=∠ACD=90°，且

=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．

27．（2011•）已知：

在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．

（1）如图1，当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为　　　　　　；

（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：

DE=3CE；

（3）如图3，在

（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．

28．（2011•模拟）在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，点G为线段DF上一点（点G不与D、F重合），AG的延长线交BC于点K，交ED的延长线于点H，连接BH．

（1）如图1：

若∠BAC=90°，写出图中所有与∠HBD相等的角，并选取一个给出证明．

（2）如图2：

若∠BAC≠90°，在

（1）中与∠HBD相等的角中找出一个仍然与∠HBD相等的角，并给出证明．

29．（2011•模拟）已知：

如图，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠A=90°，CD=CB=2AD．点Q是AB边中点，点P在CD边上运动，以点P为直角顶点作直角∠MPN，∠MPN的两边分别与AB边、CB边交于点M、N．

（1）若点P与点D重合，点M在线段AQ上，如图

（1）．求证：

．

（2）若点P是CD中点，点M在线段BQ上，如图

（2）．线段MQ、CN、BC的数量关系是：

　　　　　　，并证明你的猜想．

30．（2011•南岗区校级三模）已知：

梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于点E．DP⊥CB于点P，连接AP、AE．

（1）如图1，若∠C=45°，求证：

AP=

AE．

（2）如图2，若∠C=60°，直接写出线段AP、AE的数量关系　　　　　　．

（3）在

（1）的条件下，将线段EA绕点E顺时针旋转得到线段EA′，使∠DEA′=∠DEA，直线EA′分别与线段BA延长线、线段BC交于点N、点K，已知AD=1，EK=

．求线段NE的长．