线性代数教学设计Word格式文档下载.doc
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第二章向量空间
n维向量空间
20XX年3月12日
5
线性相关性
20XX年3月14日
6
向量组的秩
20XX年3月19日
7
线性方程组的解的结构
20XX年3月21日
8
第三章行列式
二阶和三阶行列式
n阶排列
20XX年3月26日
9
n阶行列式的定义
20XX年3月28日
10
行列式的性质与计算
20XX年4月2日
11
行列式按一行（列）展开公式
矩阵的秩与行列式
20XX年4月9日
12
克拉默法则
20XX年4月11日
13
第四章矩阵
矩阵的运算
20XX年4月16日
14
逆矩阵
20XX年4月18日
15
矩阵的分块
20XX年4月23日
16
初等矩阵
20XX年4月25日
17
几种常用的特殊矩阵
20XX年4月30日
18
第五章特征值与特征向量
特征值与特征向量
20XX年5月2日
19
相似矩阵和矩阵对角化的条件
20XX年5月7日
20
实对称矩阵的对角化
20XX年5月9日
21
非负矩阵
20XX年5月14日
22
二次型
20XX年5月16日
23
二次型的标准形
20XX年5月21日
24
正定二次型
主任签字：
年月日
教案（课时计划）
课程名称
计划学时
2学时
教学内容
20XX年2月27日
授课节次
3、4节
公共管理学本科
教学大纲要求
掌握
线性方程组的概念及其应用
熟悉
如何求解一般的线性方程组
了解
线性方程组解的三种情况
教材分析
重点
初等变换解线性方程组
难点
消元法求解线性方程组
教学方法
启发式、互动式教学，以求解线性方程组为出发点，将此内容作为容易接受和容易使用的工具（PBL）
教学手段
多媒体、图片等
新内容新知识（注明来源及所占比例）
线性方程组在经济学中的英语20%
外语关键词
LinearEquations;
LinearAlgebra;
Linearsystem;
solutionset;
equivalent;
matrix;
consistent;
inconsistent;
Replacement;
Scaling;
Interchange
参考资料
高等代数，LinearAlgebraAndItsApplication
课堂时间设计
主要内容题目
拟用时间
表达方式
导课
5分钟
讲述、多媒体
35分钟
初等变换求解线性方程组
总结
讲述
教学进程
标明提问、演示、重点、难点、教具、教法、时间分配、互动等
一.导课
解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上这个方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．
二.消元法求解线性方程组
例1．求解线性方程组
（1）
解：
交换第一、三两个方程的位置：
第一个方程乘以（–1）加于第二个方程，第一个方程乘以（–3）加于第三个方程，得：
第二个方程乘以（–5）加于第三个方程，得
（2）
第三个方程乘以（–），求得x3=–1，再代入第二个方程，求出x2=–1，最后求出x1=2．这样就得到了方程组
（1）的解：
方程组
（2）称为阶梯形方程组．
如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x1–3x2+x3=6，得到一个新的方程组
（3）
用类似的方法，可以把方程组化为
（4）
即
显然，此方程组有无穷多个解．
如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x1–3x2+x3=5，作出新的方程组
（5）
用类似的方法，可得到
（6）
显然方程组无解．
上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：
1.交换方程组中某两个方程的位置；
2.用一个非零数乘某一个方程；
3.用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．
这三种变换称为线性方程组的初等变换．
用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．
方程组（I）的全部解称为（I）的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．
现在证明：
初等变换把方程组变成与它同解的方程组．
考虑线性方程组
（I）
我们只对第三种变换来证明．为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k后加到第一个方程上，这样，得到新方程组
（I'
）
设xi=ci（i=1，2，…，n）是（I）的任意一个解．因（I）与（I'
）的后m–1个方程是一样的，所以，xi=ci（i=1，2，…，n）满足（I'
）的后m–1个方程．又xi=ci（i=1，2，…，n）满足（I）的前两个方程，所以有
把第二式的两边乘以k，再与第一式相加，即为
这说明xi=ci（i=1，2，…，n）又满足（I'
）的第一个方程，故xi=ci（i=1，2，…，n）是（I'
）的解．类似地可以证明（I'
）的任意一个解也是（I）的解，这就证明了（I）与（I'
）是同解的．容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组．
三.初等变换求解线性方程组
下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．
对于方程组（I），首先检查x1的系数．如果x1的系数a11，a21，…，am1全为零，那么方程组（I）对x1没有任何限制，x1就可以任意取值，而方程组（I）可看作x2，…，xn的方程组来解．如果x1的系数不全为零，不妨设a11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的倍加到第i个（i=2，3，…，m）方程，于是方程组（I）变成
（Ⅱ）
其中
显然方程组（Ⅱ）与（Ⅰ）是同解的．
对方程组（Ⅱ）再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为
（Ⅲ）
其中cii≠0，i=1，2，…，r．方程组（Ⅲ）中“0=0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．
我们知道，（I）与（Ⅲ）是同解的，根据上面的分析，方程组（Ⅲ）是否有解就取决于第r+1个方程
0=dr+1
是否矛盾，于是方程组（I）有解的充分必要条件为dr+1=0．在方程组有解时，分两种情形：
1）当r=n时，阶梯形方程组为
（Ⅳ）
其中cii≠0，i=1，2，…，n．由克莱姆法则（Ⅳ）有唯一解，从而（I）有唯一解．
例如前面讨论过的方程组
（1）
经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组
这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是
2）当r<
n时，这时阶梯形方程组为
其中cii≠0，i=1，2，…，r，写成如下形式
（Ⅴ）
由克莱姆法则，当xr+1，…，xn任意取定一组值，就唯一确定出x1，…，xr值，也就是定出方程组（Ⅴ）的一个解，一般地，由（Ⅴ）可以把x1，x2…，xr的值由xr+1，…，xn表示出来．这样表示出来的解称为方程组（I）的一般解，因xr+1，…，xn可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，（Ⅴ）有无穷多个解，即（I）有无穷多个解．
如上面讨论过的方程组（3）
经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组
将x1，x2用x3表示出来即有
这就是方程组（3）的一般解，而x3是自由未知量．
用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0=0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；
如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．
当线性方程组
（1）中的常数项b1=b2=…=bm=0时，即
（Ⅵ）
称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x1=x2=…=xn=0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？
把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．
定理在齐次线性方程组（Ⅵ）中，如果m<
n，则它必有非零解．
证明：
因为（Ⅵ）一定有解，又r≤m<
n，所以它有无穷多个解，因而有非零解
5分钟多媒体
35分钟多媒体，习题
▲难点
提问：
线性方程组消元法的条件
方程组的初等变换有哪几种？
※重点
35分钟，多媒体
如何利用初等变换求解线性方程组
什么是克莱姆法则？
线性方程组解的情况？
课堂小结
这节课我们学习了消元法求解线性方程组，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0=0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；
主板书设计
▲二.消元法求解线性方程组
※三.初等变换求解线性方程组
教案（课时计划）
20XX年2月29日
线性方程组的系数矩阵
增广矩阵化为阶梯形矩阵
初等变换求线性方程组
讲授新课
多媒体
线性方程组在经济学中的英语20%
elementarymatrix;
elementaryrowoperations;
lineartransformation;
standardmatrix;
Linearmodels
线性方程组的矩阵表示
25分钟
增广矩阵化阶梯型矩阵
45分钟
一.导课
从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．
二.线性方程组的矩阵表示
通常把方程组（I）的系数和常数项写成下列表格的形式
表中的第i行代表方程组（I）的第i个方程，第j列表示xj的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组（I）的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表
它称为线性方程组的系数矩阵．
定义1由数域P中m×
n个数aij（i=1，2，…，m；
j=1，2，…，n）排成m行n列的长方形表
称为数域P上的一个m×
n矩阵．aij称为矩阵的元素，m×
n矩阵记为Amn或Am×
n，有时还记作A=（aij）m×
n．
三.增广矩阵化阶梯型矩阵
已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是
1）交换矩阵的某两行的位置；
2）用一个非零的数去乘矩阵的某一行；
3）用一个数乘某一行后加到另一行上．
这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有
1’）交换矩阵的某两列的位置；
2’）用一个非零的数去乘矩阵的某一列；
3’）用一个数乘某一列后加到另一列上．
1’），2’），3’）称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．
利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．
例2求解线性方程组
对它的增广矩阵作初等行变换
→→
最后一个矩阵就是一个阶梯形矩阵．对这个阶梯形矩阵，还可进一步化简．把第二行乘1加到第一行上，第三行乘1加到第一行上，第三行乘2加到第二行上，得
它所表示的方程组为
这样，就得到方程组的一般解：
其中x4为自由未知量．
思考题：
当a与b取什么值时，线性方程组
有解？
在有解的情况下，求它的一般解．
25分钟，多媒体
什么是线性方程组的常数项？
什么是线性方程组的系数？
45分钟，多媒体
线性方程组的增广矩阵指的是什么？
什么是阶梯矩阵？
这节课我们学习了消元法解线性方程组，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．
用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是
3）用一个数乘某一行后加到另一行上
※二.线性方程组的矩阵表示
▲三.增广矩阵化阶梯型矩阵
线性方程组无解,有唯一解或有无限多个解的充分必要条件（包括非齐次线性方程组有解的充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件）
用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法
矩阵方程有解的充要条件
启发式、互动式教学
多媒体等
Basicvariables;
freevariable;
linearcombination;
weight;
subset
30分钟
齐次线性方程组有解判别定理
40分钟
这一节我们利用n维向量和矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况．
设线性方程组
（1）
的系数矩阵和增广矩阵分别为和，
即=，=．
则有下面的定理
二.线性方程组有解判别定理
定理1线性方程组
（1）有解的充分必要条件是：
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r（）=r（）
证：
必要性
如果方程组
（1）有解，则b可由a1，a2，…，an线性表出，从而向量组a1，a2，…，an，b可由a1，a2，…，an线性表出．
又显然a1，a2，…，an可由a1，a2，…，an，b线性表出，
于是{a1，a2，…，an}{a1，a2，…，an，b}．
所以r{a1，a2，…，an}=r{a1，a2，…，an，b}，
因此r（）=r（）
充分性若r（）=r（），
则有r{a1，a2，…，an}=r{a1，a2，…，an，b}，
又向量组a1，a2，…，an可由a1，a2，…，an，b线性表出，于是由§
4的定理4知@，因此b可由线性表出，这就表明线性方程组
（1）有解．
此定理与前面§
1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：
或者
其中cii≠0，i=1，2，…，r，dr+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当dr+1≠0时，r（）≠r（），方程无解；
当dr+1=0时，r（）＝r（），方程组有解．
例1判断方程组有解还是无解．
显然，r（）=3，而r（A）=2，所以方程组无解．
下面讨论线性组在有解的条件下解的情况．
设线性方程组
（1）有解，则r（A）=r（）=r，因而A必有一个r阶子式D≠0（当然它也是的不为零的r阶子式）．为方便叙述起见，不妨设D位于A的左上角．显然这时D所在的行是的一个极大无关组，第r+1，r+2，…，m行都可由它们线性表出．因此方程组
（1）与
（2）
同解．
当r=n时，由克莱姆法则，方程组
（2）有唯一解，即线性方程组有唯一解．
当r<
n时，把方程组
（2）改写为
（3）
此方程组作为x1，x2，…，xr的方程组时，其系数行列式正是D，而D≠0，由克莱姆法则，对于xr+1，xr+2，…，xn的任意一组值，方程组（3）都有唯一解，也就是方程组
（1）都有唯一解．xr+1，xr+2，…，xn就是方程组
（1）的一组自由未知量．对于（3）用克莱姆法则，可解出x1，x2，…，xr：
（4）
这就是线性方程组
（1）的一般解．
从上面的讨论可得：
定理2当线性方程组有解时，
（1）若r（A）=r=n，则方程组有唯一解．
（2）若r（A）=r<
n，则方程组有无穷多解．
例2求解方程组
对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵
由于r（）=r（A）=2<
4，所以方程组有解无穷多解，而且方程的全部解为
x3、x4为自由未知量．
对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？
将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．
推论1齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是：
系数矩阵的秩r（A）=r<
推论2齐次线性方程组
系数行列式D=0
例3l取何值时方程组
有非零解？
并求其一般解．
计算系数行列式
=l2（l–1）
令D=０，知l=0或l=1时，方程组有非零解．
（1）当l=０时，易求得一般解为
x3为自由未知量．
（2）当l=1时，易求得一般解为
x3为自由未知量．
三.齐次线性方程组解的结构
设齐次线性方程组为
我们要研究当
（1）有非零解时，这些非零解之间有什么关系，如何求出全部解？
为此，先讨论齐次线性方程组的解的性质．为了讨论的方便，将
（1）的解
写成行向量的形式
性质1如果a=（c1，c2，…，cn），b=（d1，d2，…，dn）是方程组
（1）的两个解，则a+b=（c1+d1，c2+d2，，…，cn+dn）也是
（1）的解．
因为a=（c1，c2，…，cn）与b=（d1，d2，…，d
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