．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
22、23题为选考题，考生根据要求作答.
rrrp2sin2x,2cos2x，b=（cosq,sinq）（q<），若f（x）=a×b，且函2p数f（x）的图象关于直线x=对称.6
17.已知向量a=
r
（
）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调递减区间；
C的对边分别为
a、b、c，（Ⅱ）在DABC中，角
A、B、若f（A）=2
求DABC外接圆的面积.，且b=5，c=23，
18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC^BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点.
（Ⅰ）求证：
当点Q为线段A1B的中点时，PQ^平面A1BC；
l，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角（Ⅱ）设BQ=lBA1，试问：
是否存在实数
的余弦值为
uuur
uuur
30？
若存在，求出这个实数l；若不存在，请说明理由.10
19.手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：
步性别数（0,2500）
[2500,5000）
[5000,7500）[7500,10000）
男女
01
23
47
73
21
（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”.根据题意完成下面的2´2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型男女总计消极型总计
n（ad-bc）2附：
K=.（a+b）
（c+d）
（a+c）
（b+d）
2
P（K2³k0）
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.01
6.635
k0
20.已知倾斜角为
p2的直线经过抛物线G：
y=2px（p>0）的焦点F，与抛物线G相交于
A、4
B两点，且AB=8.
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）过点P（12,8）的两条直线l1、l2分别交抛物线G于点
C、D和
E、F，线段CD和EF的中点分别为
M、N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：
直线MN经过一定点.
21.已知函数f（x）=ax-lnx.（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若aÎç-¥,-
æè
1ùax-1，求证：
f（x）³2ax-xe.2úeû
请考生在
22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.
[选修4-4：
坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C的圆心为ç22,æè
pö
÷，半径为22.以极点为原点，极轴方向为x轴4ø
1ìïx=t+3正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为í（t为aïîy=1-t
参数，aÎR且a¹0）.（Ⅰ）写出圆C的极坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C交于
A、B两点，求AB的最小值.
23.
[选修4-5：
不等式选讲]设不等式x+1-x-1<2的解集为A.（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）若"mÎA，不等式mx2-2x+1-m<0恒成立，求实数x的取值范围.荆州市2018届高三年级质量检查（Ⅲ）数学（理科）参考答案
一、选择题1-
5:
CBBBA
二、填空题6-
10:
CDCAC
11、12：
DC
20
13.-3
三、解答题
x2y2+=1
14.248
15.[-4,3]
16.2018
17.解：
（Ⅰ）f（x）=a×b=2sin2xcosq+2cos2xsinq=2sin（2x+q），∵函数f（x）的图象关于直线x=∴q=kp+∴f（x）=
rr
p
6
对称，∴2´，∴q=
p
6
+q=kp+
p
2，kÎZ，p
6，kÎZ，又q<
p
2
p
6.
2sin（2x+）.6
p
∵函数y=sinx的单调递减区间为ê2kp+
éë
p
2,2kp+
3pù，kÎZ.2úû
令2x+
p
p3pùp2pùéé.Îê2kp+,2kp+ú，∴xÎêkp+,kp+6ë22û63úëû
éë
∴f（x）的单调递减区间为êkp+（Ⅱ）∵f（A）=
p
6,kp+
2pù，kÎZ.3úû
2sin（2A+）=2，∴sin（2A+）=1.66
p
p
∵AÎ（0,p），∴2A+
p
æp13pÎç,6è66
pppö÷，∴2A+6=2，∴A=6.ø
222在DABC中，由余弦定理得a=b+c-2bccosA=25+12-2´5´23cos
p
6
=7，∴a=
7.
a7，∴R=7，∴S=7p.=2R=1sinA2
由正弦定理得
18.
（Ⅰ）证明：
法1：
连接AB1、AC1，显然
A、Q、B1三点共线.∵点
P、Q分别为B1C1和A1B的中点，∴PQ//AC1；在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC^BC，∴BC^平面ACC1A1，∴BC^AC1，又AC=AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1^AC1，BCÌ平面ACC1A1，∴AC1^平面A1BC，∵AC
1、而PQ//AC1，∴PQ^平面A1BC.法2：
（用向量法同等给分）.（Ⅱ）解：
以C为原点，分别以
CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，连接A1P、B1Q，设Q（x,y,z），ìx=2luuuruuurïy=2-2l，∴Q（2l,2-2l,2l）.∵BQ=lBA1，∴（x,y-2,z）=l（2,-2,2），∴íïz=2lî
当点Q在线段A1B上运动时，∴平面A1PB的法向量，1PQ的法向量即为平面A
uruuururìïn1×BP=0ì2x-y=0设平面A1PB的法向量为n1=（x,y,z），由íuruuur得í，-y+2z=0n×PA=0îïî11ur令y=2得n1=（1,2,1），uuruuuruurìïn2×PB1=0ìy=0设平面B1PQ的法向量为n2=（x,y,z），由íuu得í，ruuurlx+（l-1）z=0n×BQ=0îïî21
令z=1得n2=（uur
1-l
l,0,1）=
1
l
（1-l,0,l），取n2=（1-l,0,l），uur
1
∵cos=
uruur
（1,2,1）×（1-l,0,l）6（1-l）+l
22
=
62l-2l+1
2
=
30，10
2∴9l-9l+2=0，∴l=
12或l=.3362=.155
19.解：
（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为
X可能取值分别为0，1，2，3，003∴P（X=0）=C3（）（）=
275412132，P（X=1）=C3（）（）=，125551252336832330P（X=2）=C32（）2（）1=，P（X=3）=C3（）（）=，5512555125
25积极型男女总计9413
消极型61117
总计151530
X的分布列为
X
0123
275412512527543686+1´+2´+3´=.则E（X）=0´1251251251255
P
（Ⅱ）完成2´2列联表
36125
8125
k2的观测值k0=
30（9´11-6´4）2750=»
3.394<
3.841.22115´15´13´17
据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.
20.解：
（Ⅰ）由题意可设直线AB的方程为y=x-
p，令A（x1,y1），B（x2,y2）.2
pìp2ïy=x-2=0，∴x1+x2=3p，联立í2得x-3px+4ïy2=2pxî
根据抛物线的定义得，又AB=x1+x2+p=4p，又AB=8，∴4p=8，∴p=2.则此抛物线的方程为y=4x.
2
（Ⅱ）设直线l1、l2的倾斜角分别为a、b，直线l1的斜率为k，则k=tana.由于直线l1与l2的倾斜角互余，则
sin（-a）pcosa112，tanb=tan（-a）====psinatana2sinacos（-a）2cosa1则直线l2的斜率为.k
于是直线CD的方程为y-8=k（x-12），即y=k（x-12）+8，联立í
p
ìy=k（x-12）+8îy=4x
2
2得ky-4y+32-48k=0，∴yC+yD=
4，k则xC+xD=24+同理将k换成
416282-，∴M（12+2-,），2kkkkk
1得：
N（12+2k2-8k,2k），k12（-k）1k∴kMN=.=1112（2-k2）-8（-k）+k-4kkk1则直线MN的方程为y-2k=[x-（12+2k2-8k）]，1+k-4k
即ç
æ1ö+k-4÷y=x-10，显然当x=10，y=0.èkø
所以直线MN经过定点（10,0）.
21.解：
（Ⅰ）f'
（x）=a-
1ax-1=，xx
∵a£0，f'
（x）<0在（0,+¥）上恒成立，即f（x）在（0,+¥）上单调递减.当a>0时，由f'
（x）>0，得x>
11；由f'
（x）<0，得0 aa
综上：
当a£0时，f（x）在（0,+¥）上单调递减；当a>0时，f（x）在ç0,æè
1öæ1ö÷上单调递减，在ç,+¥÷上单调递增.aøèaø
ax-1
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2ax+xe则g'
（x）=e
ax-1
=xeax-1-ax-lnx，+axeax-1-a-
11öæ=（ax+1）çeax-1-÷，xxøè
由于e
ax-1
-
1xeax-1-1=，设r（x）=xeax-1-1，r'
（x）=（1+ax）eax-1，xx
11öæ，所以r（x）在ç0,-÷上单调递增；
aaøè1æ1ö，所以r（x）在ç-,+¥÷上单调递减.aèaø
由r'
（x）>0Þ1+ax>0Þx<-
由r'
（x）<0Þ1+ax<0Þx>-
∴r（x）max=rç-
111æ1öax-1-£
0.，从而e÷=-（2+1）£0（因为a£-e2）xaeèaø则g（x）在ç0,-
æè
1öæ1öæ1ö÷上单调递减；在ç-,+¥÷上单调递增，∴g（x）min=gç-÷，aøèaøèaø
设t=-
1tæ1öÎ（0,e2ù，gç-÷=h（t）=2-lnt+1（0 2ûet
ax-1
h'
（t）=
∴g（x）³0，故f（x）³2ax-xe说明：
判断e
ax-
1.
1的符号时，还可以用以下方法判断：
x11-lnx1-lnxlnx-2ax-1-=0得到a=由e，设p（x）=，p'
（x）=，xxxx2-
当x>e时，p'
（x）>0；当0 （x）<0.
22
2从而p（x）在（0,e2）上递减，在（e2,+¥）上递增.∴p（x）min=p（e）=-
1.e2
当a£-
11-lnx1ax-1-£
0.时，a£，即e2exx
22.解：
（Ⅰ）法一：
在极坐标系中，令ÐBOX=q，ÐAOX=在DABC中，AC为直径，OB=r=42cos（q-
p
4，p
4），1ìïx=t+3∵í消去参数t得直线l的普通方程为：
ax+y-3a-1=0.aïîy=1-t
法二：
在直角坐标系中，圆C的圆心为（2,2），则方程为（x-2）+（y-2）=8.
22
即x+y-4x-4y=0，∴r-4rcosq-4rsinq=0，222
即r=4cosq+4sinq=42sin（q+
p
4）.
（Ⅱ）法一：
直线过圆C内一定点P（3,1），当CP^AB时，AB有最小值，∴AB=2R-CP
22
=28-2=26.
1-aa2+1，法二：
点C（2,2）到直线l的距离d=
∴AB=2R-CP
2
2
（1-a）22a.=28-2=27+2a+1a+1当a=1时，AB有最小值26.
ì2（x³1）ï
23.解：
（Ⅰ）由已知，令f（x）=x+1-x-1=í2x（-1 由f（x）<2得A={x|-1
（1）=（x-1）´1-2x+1£0
2ììïx+2x-2³0ïx£-1-3或x³3-1∴í2，∴í，∴3-1£x£2.ïïî0£x£2îx-2x£0
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