双曲线知识点总结.docx
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双曲线知识点总结
《圆锥曲线》
双曲线
主要知识点
1、双曲线的定义：
⑴定义：
（2）数学符号：
（3）应注意问题：
2、双曲线的标准方程:
图像
标准方程
不同点
相同点
注意：
如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？
进一步，如何求出焦点坐标？
3、双曲线的几何性质
标准方程
性
隹占
八、、八、、
焦距
范围
质
顶点
实轴
虚轴
对称性
离心率
渐近线
注意：
（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？
（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？
离心率有什么作用？
（3）当a=b时，双曲线有什么特点？
4.双曲线的方程的求法
（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系
2222
1已知双曲线段的标准方程是笃-与=1（a0,b0）（或笃-每=1（a0,b0））,
abba
则渐近线方程为
>
2已知渐近线方程为bx—ay=0，则双曲线的方程可表示为
O
（2）待定系数法求双曲线的方程
22
1与双曲线牛-£=1有共同渐近线的双曲线的方程可表示为
ab
;
2若双曲线的渐近线方程是y=-x，则双曲线的方程可表示为
a
;
b2
=1共焦点的双曲线方程可表示为
X2
3与双曲线——
a
4过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为
22
5与椭圆务•与=1（ab0）有共同焦点的双曲线的方程可表示为
ab
o
5.双曲线离心率的有关问题
（1）e=C,e1，它决定双曲线的开口大小，e越大，开口越大。
a
（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2。
（3）双曲线离心率及其范围的求法。
1双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。
2双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：
a.与已知范围联系，
通过求值域或解不等式来完成；b•通过判别式厶；c•利用点在曲线内部形成的不等
式关系；d.利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算
（1）直线与双曲线的位置关系有：
、、
注意:
如何来判断位置关系？
（2）若斜率为k的直线被双曲线所截得的弦为AB,A、B两点分别为A（X1,y1）、
B（X2,y2），则相交弦长AB=
二、典型例题：
考点一：
双曲线的定义
例1已知动圆M与圆6:
（x+4）2+y2=2外切，与圆C2:
（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M
的轨迹方程
2y2
变式训练：
由双曲线—_^=1上的一点P与左、右两焦点
94
构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标•
Fi、
22
巩固训练:
（1）.Fi、F2是双曲线——孔=1的焦点，点P在双曲线上•若点P到焦点
1620
F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.
（2）.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦
点，则APF2Q的周长是.
（3）.一动圆与两定圆x2y2=1和x2•y2-8xT2=0都外切，则动圆圆心轨迹为
A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.抛物线
考点二：
双曲线的方程
例2根据下列条件，求双曲线的标准方程
2y2
（1）与双曲线—-^=1有共同的渐近线，且过点（-3,23）;
916
变式训练：
已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,
（1）若双曲线经过P（屈,2）,求双曲线方程;
（2）若双曲线的焦距是2J3，求双曲线方程;
（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程
巩固训练：
22
（1）求与椭圆y=1共焦点且过点（^.2,■.2）的双曲线的方程；
255
⑵中心在原点，一个顶点的坐标为（3,0）,且焦距与虚轴长之比为5:
4，求双曲线的标
准方程；
⑶已知双曲线的离心率eh^2，经过点M（-5,3），求双曲线的方程；
2
⑷与双曲线x-11有共同渐近线，且过点（2,2）的双曲线方程;
4
22^3
（5）已知双曲线务-岭=1（a>0,b>0）的两条渐近线方程为y-x，若顶点到渐近
ab3
线的距离为1,则双曲线方程为.
22
（6）.已知方程_^=1表示双曲线，则m的取值范围是.
2+mm+1
（7）.经过两点A（-7,-6运）,B（2J7,3）的双曲线的标准方程为.
考占三.
P八、、〜.
双曲线的几何性质
例3双曲线C:
筈-与=1（a>0,b>0）的右顶点为A,x轴上有一点Q（2a,0）,若C上ab
—•—
存在一点P，使APPQ=0,求此双曲线离心率的取值范围•
变式训练：
已知双曲线的中心在原点，焦点Fi、F2在坐标轴上，离心率为.2,且过点P
（4，-J0）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
MF）MF2
=0；（3）求厶F1MF2的面积•
22
巩固训练：
（1）已知双曲线笃-每=1（a>0,b>0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角
ab
为60。
的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是:
Xy
⑷双曲线r2=1（a0,b0）的一个焦点为F（4,0），过双曲线的右顶点作垂直于
ab
轴的垂线交双曲线的渐近线于A,
B两点，O为为坐标原点，则△AOB面积的最大值为：
A.8B.16C.20D.24
考点四：
双曲线的离心率
22
例1、已知Fi、F2分别是双曲线笃-爲=1（a0,b■0）的左、右焦点，过Fi作垂直于
ab
X轴的直线与双曲线交于A、B两点，若^\F2B是直角三角形，求双曲线的离心率。
变式训练：
1、若△AFzB是等边三角形，则双曲线的离心率为。
2、若△AFzB是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为
3、若△AFzB是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为
巩固训练：
1、已知F1、F2分别是双曲线
22
笃-每=1（a0,b0）的左、右焦点，过F2作倾斜角为
ab
60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围
22
2、已知Fi、F2分别是双曲线务-占=1（a0,b0）的左、右焦点，过F2作垂直于渐
ab
3、直线y=kx_1与双曲线x?
_y2=4没有公共点，则k的取值范围为，有两个
公共点，则k的取值范围为，有一个公共点，则k的取值范围为，与左支
有两个公共点，则k的取值范围为。
考点五：
双曲线中的焦点三角形
22
例、设Fi和F2为双曲线—--1的两个焦点，P是双曲线上一点，已知/
169
FiPF2=60°求AF1PF2的面积
2
y
已知IPF1IPF2=32,求ZF1PF2的余弦值与三角形F1PF2面积
2
y1左焦点F,的弦AB长为6,则△ABF2（F2为右焦点）的周长是
9
2、已知定点A，B，且AB=6，动点P满足PA-PB=4，则PA的最小值是
2
X2
3、设Fi和F2为双曲线y=1的两个焦点，P为双曲线上一点，若/FiPF2=900,
4
则三角形F1PF2面积是
P是双曲线上一点，已知/F1PF2=60°
4、设F1和F2为双曲线釘計的两个焦点，则P点到F1和F2两点的距离之和为
5、已知双曲线
22
Xy
C22=1（a>0,b>0）的两个焦点为F1（-2,0）,F2（2,0）,点P（3,
ab
r7）在双曲线
C上
（1）求双曲线C的方程
（2）记O在坐标原点，过Q（0,2）的
直线L与双曲线C相交于不同的两点E,F，若AOEF的面积2^2，求直线L的方程
考点六：
直线和双曲线的位置关系
双曲线于M、N两点，若OMON二-23，求直线m的方程。
变式训练：
直线丨：
y=kx-1与双曲线C:
2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.（I）
求实数k的取值范围；（n）是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
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