新课标全国卷2高考理科数学试题与答案解析.docx
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新课标全国卷2高考理科数学试题与答案解析
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）
A.（-3，1）B.（-1，3）C.（1，+∞）D.（-∞，-3）
2.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}，则A∪B=（）
A.{1}B.{1，2}
C.{0，1，2，3}D.{-1，0，1，2，3}
3.已知向量=（1，m），=（3，-2），且（+）⊥，则m=（）
A.-8B.-6C.6D.8
4.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（）
A.-B.-C.D.2
5.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者
活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）
A.24B.18C.12D.9
6.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A.20πB.24πC.28πD.32π
7.若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）
A.x=-（k∈Z）B.x=+（k∈Z）C.x=-（k∈Z）D.x=+（k∈Z）
专业技术参考资料
8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框
图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输
出的s=（）
A.7B.12C.17D.34
9.若cos（-α）=，则sin2α=（）
A.B.C.-D.-
10.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，⋯，xn，y1，y2，⋯，yn构成n个
数对（x1，y1），（x2，y2）⋯（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有
m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（）
A.B.C.D.
11.已知F1，F2是双曲线E：
-=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x
轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）
A.B.C.D.2
12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，
y1），（x2，y2），⋯，（xm，ym），则（xi+yi）=（）
A.0B.mC.2mD.4m
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=______．
14.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m?
α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是______（填序号）
15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的
卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同
的数字不是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______．
16.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=______．
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三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）
17.Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整
数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．
18.某保险的基本保费为a（单位：
元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保
费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险
次数
01234≥5
保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险
次数
01234≥5
概率0.300.150.200.200.100.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，
点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点M，将
△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
（Ⅰ）证明：
D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-D′A-C的正弦值．
专业技术参考资料
20.已知椭圆E：
+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，
M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
21.（Ⅰ）讨论函数f（x）=ex的单调性，并证明当x＞0时，（x-2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：
当a∈[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值
为h（a），求函数h（a）的值域．
22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且
DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：
B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）
2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的
斜率．
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24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：
当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（理科）
答案和解析
【答案】
1.A2.C3.D4.A5.B6.C7.B8.C9.D10.C11.A12.B
13.
14.②③④
15.1和3
16.1-ln2
17.解：
（Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．
可得a4=4，则公差d=1．
an=n，
bn=[lgn]，则b1=[lg1]=0，
b11=[lg11]=1，
b101=[lg101]=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
b1=b2=b3=⋯=b9=0，b10=b11=b12=⋯=b99=1．
b100=b101=b102=b103=⋯=b999=2，b10，00=3．
数列{bn}的前1000项和为：
9×0+90×1+900×2+3=1893．
18.解：
（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：
元），
上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，
∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p1=1-0.30-0.15=0.55．
（Ⅱ）设事件A表示“一续保人本年度的保费高于基本保费”，事件B表示“一续保人本年度的保
费比基本保费高出60%”，
由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出60%的概率：
p2=P（B|A）===．
（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
=1.23，
∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．
专业技术参考资料
25.（Ⅰ）证明：
∵ABCD是菱形，
∴AD=D，C又AE=CF=，
∴，则EF∥AC，
又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，
∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH=，则DH=D′H=3，
∴|OD′|
2=|OH|2+|D′H|
2
，则D′H⊥OH，
又OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：
以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，-3，0），，
，
设平面ABD′的一个法向量为，
由，得，取x=3，得y=-4，z=5．
∴．
同理可求得平面AD′C的一个法向量，
设二面角二面角B-D′A-C的平面角为θ，
则|cosθ|=．
∴二面角B-D′A-C的正弦值为sinθ=．
26.解：
（Ⅰ）t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（-2，0），
2
2+16k2x+16k2-12=0，直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k）x
解得x=-2或x=-，则|AM|=?
|2-|=?
，
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由AN⊥AM，可得|AN|=?
=?
，
由|AM|=|AN|，k＞0，可得?
=?
，
22
整理可得（k-1）（4k-k+4）=0，由4k-k+4=0无实根，可得k=1，
即有△AMN的面积为|AM|
2=（?
）2=；
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，
可得（3+tk
2）x2+2tk2x+t2k2-3t=0，
解得x=-或x=-，
即有|AM|=?
|-|=?
，
|AN|═?
=?
，
由2|AM|=|AN|，可得2?
=?
，
整理得t=，
由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，
可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．
27.解：
（1）证明：
f（x）=
f'（x）=e
x（）=
∵当x∈（-∞，-2）∪（-2，+∞）时，f'（x）＞0
∴f（x）在（-∞，-2）和（-2，+∞）上单调递增
∴x＞0时，＞f（0）=-1
即（x-2）e
x+x+2＞0
（2）g'（x）==
a∈[0，1]
专业技术参考资料
由
（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（-1，+∞），只有一解使得，t∈[0，
2]
当x∈（0，t）时，g'（x）＜0，g（x）单调减；
当x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）单调增；
h（a）===
记k（t）=，在t∈（0，2]时，k'（t）=＞0，
故k（t）单调递增，
所以h（a）=k（t）∈（，]．
28.（Ⅰ）证明：
∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴=，
∵DE=D，GCD=BC，
∴=，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=18°0，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，
∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S四边形BCG=F2S△BCG=2××1×=．
29.解：
（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）
2+y2=25，
∴x
22
+y+12x+11=0，
∵ρ
2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ
2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴直线l的一般方程y=tanα?
x，
∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（-6，0），半径r=5，
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∴圆心C（-6，0）到直线距离d==，
解得tan
2
α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
30.解：
（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：
-x-x-＜2，
解得：
x＞-1，
∴-1＜x＜，
当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：
-x+x+=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴≤x≤，
当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：
-+x+x+＜2，
解得：
x＜1，
∴＜x＜1，
综上可得：
M=（-1，1）；
证明：
（Ⅱ）当a，b∈M时，
22
（a-1）（b-1）＞0，
2222
即ab+1＞a+b，
即a
2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）
2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
【解析】
2.解：
z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，
可得：
，解得-3＜m＜1．
故选：
A．
利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
本题考查复数的几何意义，考查计算能力．
3.解：
∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x-2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：
C．
先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．
专业技术参考资料
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
31.解：
∵向量=（1，m），=（3，-2），
∴+=（4，m-2），
又∵（+）⊥，
∴12-2（m-2）=0，
解得：
m=8，
故选：
D．
求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．
本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
32.解：
圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心坐标为：
（1，4），
故圆心到直线ax+y-1=0的距离d==1，
解得：
a=，
故选：
A．
求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
33.解：
从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42=6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31=3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．
故选：
B．
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最
短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从
F到G，最短的走法，有C31=3种走法，利用乘法原理可得结论．
本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
34.解：
由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：
C．
空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中
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圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的
高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记
去掉，求表面积就有这样的弊端．
35.解：
将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），
由2x+=kπ+（k∈Z）得：
x=+（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），
故选：
B．
利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
本题考查函数yy=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对
称性质，属于中档题．
36.解：
∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，
故选：
C
根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行
过程，可得答案．
本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
37.解：
∵cos（-α）=，
∴sin2α=cos（-2α）=cos2（-α）=2cos
2（-α）-1=2×-1=-，
故选：
D．
利用诱导公式化sin2α=cos（-2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档
题．
38.解：
由题意，，∴π=．
故选：
C．
以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个
数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
39.解：
设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，
∵MF1与x轴垂直，
∴（2a+x）2=x2+4c2，
∴x=
专业技术参考资料
∵sin∠MF2F1=，
∴3x=2a+x，
∴x=a，
∴=a，
∴a=b，
∴c=a，
∴e==．
故选：
A．
设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，
求出a=b，即可得出结论．
本题考查双曲线的定义与方程，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
40.解：
函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），
即为f（x）+f（-x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，
（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，
⋯
则有（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+⋯+（xm+ym）
=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+⋯+（xm+ym）+（-xm+2-ym）]
=m．
故选B．
由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的
图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，计算即可得到所
求和．
本题考查抽象函数的运用：
求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档
题．
41.解：
由cosA=，cosC=，可得
sinA===，
sinC===，
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sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b=
==．
故答案为：
．
运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦
定理可得b=，代入计算即可得到所求值．
本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，
考查运算能力，属于中档题．
42.解：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l?
α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m?
α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
故答案为：
②③④
根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．
43.解：
根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2
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