答案 A
解析 记A={a|不等式
+
>a的解集为R};
B={a|f(x)=-(7-3a)x在R上是减函数}.
由于函数y=
+
的最小值为1,故A={a|a<1}.
又因为函数f(x)=-(7-3a)x在R上是减函数,
故7-3a>1,即a<2,所以B={a|a<2}.
要使这两个命题中有且只有一个真命题,a的取值范围为[(∁RA)∩B]∪[(∁RB)∩A],
而(∁RA)∩B=[1,+∞)∩(-∞,2)=[1,2),
(∁RB)∩A=[2,+∞)∩(-∞,1)=∅,
因此[(∁RA)∩B]∪[(∁RB)∩A]=[1,2),故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.对于任意实数a,b,c,给出四个命题:
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件;
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中正确命题的序号是________.
答案 ②④
解析 ①∵ac=bcD⇒/a=b,∴“a=b”是“ac=bc”的充要条件是错误的,即①是错误的.又∵a>bD⇒/a2>b2,③是错误的.
易知②④正确.
5.设p:
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根,q:
方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使“p∨q”为真,“p∧q”为假的实数m的取值范围是____________.
答案 (-∞,-2]∪[-1,3)
解析 设方程x2+2mx+1=0的两个正根分别为x1,x2,
则由
,得m<-1,∴p:
m<-1.
由Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0知-2∴q:
-2由p∨q为真,p∧q为假可知,命题p和q一真一假,当p真q假时,得
此时m≤-2;
当p假q真时,得
此时-1≤m<3,
∴m的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,3).
6.下列结论:
①若命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题,则命题q一定是真命题;
②已知直线l1:
ax+3y-1=0,l2:
x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是
=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:
“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①綈p是真命题,则p为假命题,又“p或q”是真命题,则q一定是真命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确.所以正确结论的序号为①③.
三、解答题
7.(13分)已知命题p:
方程2x2+ax-a2=0在[-1,1]上有解;命题q:
只有一个实数x0满足不等式x
+2ax0+2a≤0,若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围.
解 由2x2+ax-a2=0得(2x-a)(x+a)=0,
∴x=
或x=-a,
∴当命题p为真命题时
≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x
+2ax0+2a≤0”,
即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,
∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.
∴当命题q为真命题时,a=0或a=2.
∴命题“p或q”为真命题时,|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题,∴a>2或a<-2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<-2}.