中考数学专题突破导学练第13讲二次函数的图象与性质试题.docx

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中考数学专题突破导学练第13讲二次函数的图象与性质试题

2019-2020年中考数学专题突破导学练第13讲二次函数的图象与性质试题

【知识梳理】

1．二次函数

如果y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．

几种特殊的二次函数：

y＝ax2（a≠0）；y＝ax2＋c（ac≠0）；y＝ax2＋bx（ab≠0）；y＝a（x－h）2（a≠0）．

2．二次函数的图象

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线．

由y＝ax2（a≠0）的图象，通过平移可得到y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象．

3．二次函数的性质

二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：

（1）抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；

（2）若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大；当x＝，y有最小值；

若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点（x，y），当x＜，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x＝时，y有最大值；

（3）抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为（0，c）；

（4）在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：

当＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．

4．抛物线的平移

抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（下）、向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a（x－h）2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．

5.二次函数关系式的确定

⑴设一般式：

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．

若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将已知条件代入，求出a，b，c的值．

⑵设交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：

y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．

⑶设顶点式：

y＝a（x－h）2＋k（a≠0）．

若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：

y＝a（x－h）2＋k（a≠0），将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．

【考点解析】

题型一二次函数的定义

例1（xx河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　．

【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．

【解答】解：

∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，

∴代入得：

，

解得：

b=2，c=3，

∴y=﹣x2+2x+3

=﹣（x﹣1）2+4，

顶点坐标为（1，4），

故答案为：

（1，4）．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．

题型二二次函数的图象及性质

例2.（xx贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．

【解答】解：

A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；

B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；

C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；

D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．

故选C．

题型三二次函数图象与系数a，b，c的关系

例3如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：

①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【考点】H4：

二次函数图象与系数的关系；H3：

二次函数的性质；H5：

二次函数图象上点的坐标特征；HA：

抛物线与x轴的交点．

【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x=﹣1时y＞0可判断③，由x=﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x=﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．

【解答】解：

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，

∴4a﹣b=0，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，

∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，

∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；

∵由②知，x=﹣1时y＞0，且b=4a，

即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0，

所以③正确；

由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，

∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，

即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；

∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，

∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，

∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；

故选：

B．

题型四确定二次函数的解析式

例4如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点C和点D的坐标；

（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．

注：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）

【考点】H4：

二次函数图象与系数的关系；H3：

二次函数的性质；H5：

二次函数图象上点的坐标特征；H8：

待定系数法求二次函数解析式；HA：

抛物线与x轴的交点．

【分析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；

（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；

（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．

【解答】解：

（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，

解得：

，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）令x=0，则y=3，

∴C（0，3），

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）；

（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），

S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，

∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×，

∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，

解得：

x1=0（不合题意，舍去），x2=2，

∴P（2，3）．

题型五二次函数图象的平移

例5将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）

A．y=（x﹣1）2+1B．y=（x+1）2+1C．y=2（x﹣1）2+1D．y=2（x+1）2+1

【考点】H6：

二次函数图象与几何变换．

【分析】根据平移规律，可得答案．

【解答】解：

由图象，得

y=2x2﹣2，

由平移规律，得

y=2（x﹣1）2+1，

故选：

C．

题型六二次函数与不等式的关系

例6

【中考热点】

（xx山东滨州）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．

（1）求直线y=kx+b的函数解析式；

（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．

【考点】HF：

二次函数综合题．

【分析】

（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；

（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；

（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用

（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．

【解答】解：

（1）由题意可得，解得，

∴直线解析式为y=x+3；

（2）如图1，过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，

则∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，

∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，

∴△PQH∽△BOA，

∴==，

设H（m，m+3），则PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），

∵A（﹣4，0），B（0，3），

∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，

∴==，

整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+，

∴d与x的函数关系式为d=（x﹣）2+，

∵＞0，

∴当x=时，d有最小值，此时y=﹣（）2+2×+1=，

∴当d取得最小值时P点坐标为（，）；

（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，

∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，

∵C（0，1），

∴C′（2，1），

由

（2）可知当x=2时，d=×（2﹣）2+=，

即CE+EF的最小值为．

【达标检测】

一选择题：

1.（xx•玉林）对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，下列说法不正确的是（　　）

A．开口向下B．对称轴是x=mC．最大值为0D．与y轴不相交

【考点】H3：

二次函数的性质；H7：

二次函数的最值．.

【分析】根据二次函数的性质即可一一判断．

【解答】解：

对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，

∵a=﹣2＜0，

∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有最大值0，

故A、B、C正确，

故选D．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，属于基础题，中考常考题型．

2.（xx贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．

【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．

【解答】解：

A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；

B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；

C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；

D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0故本选项错误．

故选C．

3.将二次函数的图象沿轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（）

A．B．

C．D．

【考点】二次函数平移

【分析】利用二次函数平移规律：

①将抛物线解析式转化为顶点式，确定其顶点坐标；②值正右移，负左移；值正上移，负下移，概括成八字诀“左加右减，上加下减”，求出即可。

【解答】解：

变为顶点式

∵沿轴向右平移2个单位长度

∴

故选D

4.（xx乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：

①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是　②④⑤　．

【考点】H4：

二次函数图象与系数的关系．

【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a＞0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=且a﹣b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=﹣2a可判断⑤．

【解答】解：

由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，

顶点在y轴右侧，则b＜0，

抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，

∴abc＞0，故①错误；

∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，

∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），

∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，

∵a＞0，

∴10a+3b+c＞0，故②正确；

∵对称轴为x=1，且开口向上，

∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，

∴y1＜y2，故③错误；

当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c==，

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，

∴当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=0，

即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，

x=1对应的函数值为y=a+b+c，

又∵x=1时函数取得最小值，

∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，

∵b=﹣2a，

∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；

故答案为：

②④⑤．

二填空题：

5.（xx·湖北荆州·3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　﹣1或2或1　．

【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2﹣4ac=0，进而解方程得出答案．

【解答】解：

∵函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，

当函数为二次函数时，b2﹣4ac=16﹣4（a﹣1）×2a=0，

解得：

a1=﹣1，a2=2，

当函数为一次函数时，a﹣1=0，解得：

a=1．

故答案为：

﹣1或2或1．

【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．

6.（xx·四川内江）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是______．

[答案]P＞Q

[考点]二次函数的图象及性质。

[解析]∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵－＝1，∴b＞0且a＝－．

∴|2a＋b|＝0，|2a－b|＝b－2a．

∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0．∴|3b＋2c|＝3b＋2c．

由图象可知当x＝－1时，y＜0，即a－b＋c＜0．

∴－－b＋c＜0，即3b－2c＞0．∴|3b－2c|＝3b－2c．

∴P＝0＋3b－2c＝3b－2c＞0，

Q＝b－2a－（3b＋2c）＝－（b＋2c）＜0．

∴P＞Q．

故答案为：

P＞Q．

7.（xx乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：

①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是　②④⑤　．

【考点】H4：

二次函数图象与系数的关系．

【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断①；由x=3时的函数值及a＞0可判断②；由抛物线的增减性可判断③；由当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=且a﹣b+c=0可判断④；由x=1时函数y取得最小值及b=﹣2a可判断⑤．

【解答】解：

由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，

顶点在y轴右侧，则b＜0，

抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，

∴abc＞0，故①错误；

∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，

∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），

∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，

∵a＞0，

∴10a+3b+c＞0，故②正确；

∵对称轴为x=1，且开口向上，

∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，

∴y1＜y2，故③错误；

当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c==，

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，

∴当x=﹣时，y=a•（﹣）2+b•（﹣）+c=0，

即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；

x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，

x=1对应的函数值为y=a+b+c，

又∵x=1时函数取得最小值，

∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，

∵b=﹣2a，

∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；

故答案为：

②④⑤．

8.（xx湖南株洲）

如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：

①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为　①④　．

【考点】HA：

抛物线与x轴的交点；H4：

二次函数图象与系数的关系．

【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），可得c=﹣2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），可得a﹣b﹣2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．

【解答】解：

由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，

∵开口向上，

∴a＞0；

∵对称轴在y轴右侧，

∴﹣＞0，

∴﹣＞0，

∴a﹣2＜0，

∴a＜2；

∴0＜a＜2；

∴①正确；

∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），

∴c=﹣2，故③错误；

∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），

∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②错误；

∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，

∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=，

∴x2=2＞﹣1，故④正确．

故答案为：

①④．

三解答题：

9.（xx乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．

①当PE=2ED时，求P点坐标；

②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？

若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：

二次函数综合题．

【分析】

（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．

【解答】解：

（1）∵点B（4，m）在直线y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；

（2）①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），

则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（2，9）；

当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；

②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE==|x﹣4|，CE==，BC==，

当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，

当BE=CE时，则|x﹣4|=，解得x=，此时P点坐标为（，）；

当BE=BC时，则|x﹣4|=，解得x=4+或x=4﹣，此时P点坐标为（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）；

当CE=BC时，则=，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（4+，﹣4﹣8）或（4﹣，4﹣8）或（0，5）．

10.（xx张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．

（1）求c1的解析式；

（2）若直线l1：

y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；

（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：

y=n．试结合图形回答：

当n为何值时，l2与c1和c2共有：

①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．

【考点】HF：

二次函数综合题．

【分析】

（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；

（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：

y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；

（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：

y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；

（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．

【解答】解：

（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），

∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，

把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，

∴a=﹣1，

∴抛物线c1的解析式为：

y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；

（2）解得x2+3x+m﹣3=0，

∵直线l1：

y=x+m与c1仅有唯一的交点，

∴△=9﹣4m+12=0，

∴m=；

（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，

∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），

∴抛物线c2的解析式为：

y=﹣x2+2x+3，

∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线