抽象函数的单调性.doc

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抽象函数的单调性

抽象函数的含义：

没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。

思路：

添项法。

类型：

一次函数型，幂函数型，指数函数型，对数函数型。

一类：

一次函数型函数满足：

或

例1、对任意都有：

，当，判断在R上的单调性。

例2、f（x）对任意实数x与y都有,当x>0时,f（x）>2

（1）求证:

f（x）在R上是增函数；

（2）若f

（1）=5/2,解不等式f（2a-3）<3

【专练】：

1、已知函数对任意有，当时，，，

求不等式的解集。

2、定义在R上的函数f（x）满足：

对任意x，y∈R都有，且当

（1）求证f（x）为奇函数；

（2）若f（k·3）+f（3-9-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

二类：

对数函数型函数满足：

或

例1、f（x）是定义在x>0的函数,且f（xy）=f（x）+f（y）;当x>1时有f（x）<0;f（3）=-1.

（1）求f

（1）和f（1/9）的值；

（2）证明f（x）在x>0上是减函数；（3）解不等式f（x）+f（2-x）<2。

例2、定义在上函数对任意的正数均有：

，且当时，,（I）求的值;（II）判断的单调性,

【专练】：

1、定义在上的函数f（x）对任意的正实数有且当时，.求:

（1）的值.

（2）若,解不等式；

2、函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，

（1）求证：

是偶函数；

（2）在上是增函数（3）解不等式

3、设是定义在上的函数，对任意，满足且当时，。

（1）求证：

；

（2）若，解不等式

三类：

指数函数型函数满足：

或

例1、定义在R上的函数，满足当时，且对任意有

又知

（1）求的值；

（2）求证：

对任意都有；（3）解不等式；

【专练】：

1、定义在上的函数对任意的都有，且当时，，（I）证明：

都有；（II）求证：

在上为减函数；（III）解不等式f（x）·f（2x-x2）>1。

2、若非零函数对任意实数均有，且当时，；

（1）求证：

；

（2）求证：

为减函数（3）当时，解不等式；

四类：

幂函数型函数满足：

或

例1、已知函数满足：

①对任意，都有，②时，。

（I）判断的奇偶性，（II）判断在上的单调性，并证明。

（III）若，且，求的取值范围。

五类：

其他类数函数型

例1、定义在上的奇函数有,且当时,总有:

（I）证明:

在上为增函数,（II）解不等式:

（III）若对所有,恒成立,求实数的取值范围.

例2、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当时，有，

（1）试判断的奇偶性；

（2）判断的单调性；

【专练】：

1、已知定义在上的奇函数满足：

①；②对任意的，均有；③对任意的，均有；

（1）试求的值；

（2）求证：

在上是单调递增；（3）已知对任意的，不等式恒成立，求的取值范围，

2、已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（xy）=成立，且f（a）=1（a为正常数），当00．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f（x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．

3、已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，总有．

（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；

（2）解不等式：

；（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．

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