平面应力问题.docx

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平面应力问题

平面域A内的基本方程:

平衡微分方程（在A内）几何方程（在A内）

物理方程（在A内）

⎫即:

σ=E（ε+με）xxy⎪2

1-μ⎪⎪Eσy=（ε+με）⎬yx1-μ2⎪

⎪Eτ=γxyxy

2（1+μ）S上边界条件:

应力边界条件在σ上）

⎫∂σx∂τyx+=0,⎪

∂x∂y⎪

⎬常体力时方程的解为特解叠加下面方程的通解∂σy∂τxy

+=0.⎪

⎪∂y∂x⎭2

∂2Φ

xσy=2-Yy,2

xy∂x

σ=

∂Φ∂y

-Xx,

τ=-∂x∂y

二、基本假设1、连续性假定

假定物体是连续的。

因此，各物理量可用连续函数表示。

2、完全弹性假定

a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余变形。

b.线性弹性—应力与应变成正比。

即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。

3、均匀性假定

假定物体由同种材料组成,因此，E、μ等与位置无关。

4、各向同性假定

假定物体各向同性。

E、μ与方向无关。

由3、4知E、μ等为常数符合1-4假定的称为理想弹性体。

5、小变形假定

假定位移和形变为很小。

a.位移＜＜物体尺寸，例：

梁的挠度v＜＜梁高h。

例：

梁的≤10－3＜＜1,＜＜1弧度。

小变形假定的应用：

a.简化平衡条件：

考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。

b.简化几何方程：

在几何方程中，由于（ε,γ）>>（ε,γ

）2>>（ε,γ）3⋅⋅⋅⋅,可略去2等项,使几何方程成为线性方程。

弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:

理想弹性体的小变形问题。

第二节有限元方法概述1分析思路是：

将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。

2离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：

组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。

但要满足变形协调条件，单元之间只能通过结点来传递内力。

通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。

当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。

3弹性力学的基本概念①体力：

分布在物体体积内的力，如常见的重力、惯性力②、面力是指分布在物体表面的力，如流体的压力和接触力。

P5,6例题1：

试分析AB薄层中的应力状态

zzxzy

在近表面很薄一层内zzxzy

故接近平面应力问题

（ε,γ）

（σ,τ

）=0.

（σ,τ

）→0.

因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。

当x（y）变化时，式（b）的左，右均应=常数，由此解出。

可得

σ显然，边界条件要求在x=±a上，x也成抛物线分布。

3、混合边界条件：

⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；⑵同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。

例4列出的边界条件：

x=a

0,fy=例5考虑两端固定的一维杆件。

图（a），只受重力作用，fx=ρg。

试用位移法求

解。

解：

为了简化，设位移

按位移求解，位移应满足式（b）,（c）,（d）。

代入式（b）,xy2x2

x2y2y

xyxy

将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为（b）⎫E∂2u1-μ∂2u1+μ∂2v

（++）+X=0⎪1-μ2∂x22∂y22∂x∂y⎪

⎬222

E∂v1-μ∂v1+μ∂u⎪（++）+Y=0⎪1-μ2∂y22∂x22∂x∂y⎭

位移边界条件（c）ss

用位移表示的应力边界条件（d）

EE∂u∂v⎫σ=（ε+με）=（+μ）,⎪1-μ1-μ∂x∂y⎪EE∂v∂u⎪σ=（ε+με）=（+μ）,⎬1-μ1-μ∂y∂x⎪

⎪EE∂v∂u

τ=γ=（+）.⎪2（1+μ）2（1+μ）∂x∂y⎭

（u）=u,⎫⎪

⎬

（v）=v.⎪⎭

解出

y=0,l

得

y=0

（v）=0,

得y=l

例6三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在D点共点（连续），变形后三连杆在

移分量。

（v）=0,

解:

=±（a）在主要边界yh/2应精确满足下列边界条件：

在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚=1时h/2

xx=0

-h/2h/2

xx=0

-h/2h/2

xyx=0s

-h/2

在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。

xxyxxy

在小边界y=0，列出3个积分的边界条件，当板厚时，b3F

（σy）y=0dx=-,02

b3F

（σy）y=0xdx=-b,04

bF（τyx）y=0dx=-。

注意在列力矩的条件时两边均是对原点o的力矩来计算的。

对于y=h的小边界可以不必校核例8厚度=1悬臂梁，受一端的集中力F的作用。

已求得其位移的解答是δFx2yμFy3Fy3Fl2Fh2

u=--++（-）y,

2EI6EI6IG2EI8IG

⎰⎰⎰

（σ）（σ）

dy=F,

ydy=M,dy=F。

（τ）

x=0σ=-ρgy,τ=0;

x=lσ=0,τ=-q。

δ=1

⎰⎰⎰

μFxy2Fx3Fxl2Fl3

v=+-+。

2EI6EI2EI3EI试检查此组位移是否是图示问题的解答

（a）ε=Axy,ε=By,γ=C-Dy;（b）ε=Ay,ε=Bxy,γ=Cxy;（c）ε=ε=0,γ=Cxy。

解：

此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:

（1）区域内用位移表示的平衡微分方程

（2）应力边界条件，在所有受面力的边界上。

其中在小边界上可以应用圣维南原理，用3个积分的边界条件来代替。

（3）位移边界条件。

本题在x=l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使3个积分的应力边界条件已经满足。

（4）应变协调方程

例9试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在32

xyxy

22xyxy

xyxy222

yxy解：

应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即x

22（a）相容；

（b）须满足B=0,2A=C；（c）不相容，只有C=0。

例10在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：

xyxy

2222

xyxy

解：

弹性体中的应力，在单连体中必须满足：

（1）平衡微分方程；

（2）相容方程；

S=S（3）应力边界条件（当）σ。

（a）此组应力满足平衡方程。

为了满足平衡微分方程，必须A=-F,D=-E.此外，还应满足应力边界条件。

（b）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0。

为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。

∂ε∂ε∂γ

+=∂x∂y∂y∂x

（a）σ=Ax+By,σ=Cx+Dy,τ=Ex+Fy;（b）σ=A（x+y）,σ=B（x+y）,γ=Cxy;

上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。

f（x,y）是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程∇2f=0.例11若

22试证明函数

都满足重调和方程

因而都可以作为应力函数使用。

解：

上述函数作为应力函数，均能满足相容方程（重调和方程）

例12图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，

σx=-3（6x2y-4y3h

2q3

（a）σy=-3y-C1y+h

6qxy

τxy=+C1x。

解：

本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足

（1）平衡微分方程；

（2）相容方程∇2（σx+σy）=0;（3）应力边界条件（在S=Sσ上）。

将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足再校核边界条件，在主要边界上h6qh2

y=±,τxy=0,即x（3⋅+C1）=0,得

2h4

3qC1=-;2h

f,xf,yf,（x+y）f

∇Φ=0,

∇Φ=0.

将C，C代入（a）,得到应力公式，

h2qhhy=-,σy=-q,即-3（-）+C1+C2=-q,得

2h82

C2=-.

hy=,σy=0,将C1，C2代入后满足。

122qy⎫

σx=-3（3x2-2y2）,⎪

⎪13yy3⎪

σy=-q（-+23）,⎬（b）

22hh⎪

⎪3qxy2

τxy=（42-1）。

⎪

2hh⎭

再将式（b）表达式代入次要边界条件，y3

σx=4q3,

其主矢量为（σx）x=0dy=0,-h/2h/2qh2

⎰（σx）.x=0ydy=而主矩为-h/220

3qly2

x=l,τxy=（42-1）,

2hh

h/2

（xy）dy=-ql.其主矢量为x=0-h/2

q23

σ=-（6ly-4y）,x3

其主矢量为0，而主矩为h/2ql2qh2

（σx）-）.x=lydy=-（-h/2220

由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。

因此，式（b）是图示问题之解。

例13在材料力学中，当矩形截面梁（宽度）

M（x）受任意的横向荷载q（x）作用而弯曲时，弯曲应力公式为σ=y.（a）x

（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出

τ切应力xy和挤压应力σ的公式。

MydFsd

=F=-qs（提示：

注意关系式dxdx

积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。

）（b）当q为常数时，试检验应力分量是否

满足相容方程，试在中加上一项对平衡没有影响的函数f（y），再由相容方程确定f（y）,并

校核梁的左右边界条件。

解：

本题引用材料力学的弯应力的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。

应力分量必须满足

（1）平衡微分方程；

（2）相容方程；

（3）应力边界条件（在Sσ上）。

S=（a）不计体力，将σx=M（x）y代入平衡微分方程第一式，

yxx

⎰

h/2

⎰

δ=1

∂τyxyFsy得:

=-=-∂ydxII两边对y积分，得2

Fys=-+f1（x）,（b）yx

2I再由上下的边界条件

yxy=±h/2

Fsh2

得f1（x）=,代入τyx,得8IFsSh2y2τ=,其中S=（-）.（c）yxI82

∂σy∂τxy将τ代入平衡微分方程的第二式,

yx+=0,∂σ∂τ

+=0,∂x∂y

（τ）=0,

得

q23对y积分，得

σy=（y-y）+f2（x）.

I86qh3q

（σy）y=h/2=0,得f2（x）=-=-;

（σy）y=-h/2=-q,同样得f2（x）=-

232qhh1313yy3

+y-y）=-q（-+23）.（d）由此得σy=（-

I248622hh

hy=σ上述解答x及式（c）,（d）已经满足平衡微分方程及±的边界条件；但一般不满足相容方

程，且尚未校核左右端的小边界条件。

22232（b）若q为常数，则M=ql（x-x，得6qlyy）σx=3（-2）y,σy=-q（-+23）.2ll2

hlh代入相容方程

24q2∇（σx+σy）=-3y≠0.

h为了满足相容方程6ql2xx2

令σx=3（-2）y+f（y）,

hl此式σ和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，

得2

24qdf（y）2∇（σx+σy）=-3y+=0,2hdy

积分得

由次要边界条件

h/2

（σx）x=ldy=0,得B=0;

-h/2

h/2

（σx）x=0ydy=0,满足。

-h/2

h/23q（σ）ydy=0,得A=-xx=0，l-h/25h

由此得

6ql2xx24q3q

σx=3（-2）y+3y3-y,（e）

hllh5h读者可检测，式（c），（d），（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x=0,l小边界上的剪力即为主矢量），因而是该问题之解。

一、逆解法和半逆解法多项式解法

1当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足

∂σydFs2y2q2y2

=-（-）=（-）.∂ydxI82I82

f（y）=y+Ay+B.

⎰⎰⎰

⑴A内相容方程∇Φ=0.（a）⑵S=上应力边界条件,

lσx+mτyx=fx,mσy+lτxy=fy.（b）

⑶多连体中的位移单值条件。

（c）

对于单连体，（c）通常是自然满足的。

只须满足（a）,（b）。

由求应力的公式是2Φσx=2-fxx,∂y2

σy=-fyy,2∂x（d）

2τxy=-

2.逆解法──先满足（a）,再满足（b）。

步骤:

⑴先找出满足的解∇Φ=0.（a）⑵代入（d）,求出

xyxy

⑶在给定边界形状S下，由式（b）反推出各边界上的面力，

x=（lσx+mτxy）s,

y=（mσy+lτxy）s.（e）

Φ=axc对应于无体力，无面力，无应力状态。

故应力函数加减例14一次式+by+一次式，不影响应力例15

例16设图中所示的矩形长梁，l>>h

，试考察应力函数

F22能解决什么样的受力问题？

Φ=3xy（3h-4y）2h

（）（）

σ,σ,τ;

解：

按逆解法

1.将Φ

有可能成为该问题的解。

2.由求出应力分量

3.由边界形状和应力分量反推边界上的面力。

在主要边界（大边界）上

因此，在的边界面上，无任何面力作用，即在x=0，l的次要边界（小边界）上，

在

（b）

所示。

x=0处受集中力F作用的问步骤：

⑴假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；⑵由应力（d）式，推测Φ的函数形式

⑶代入∇Φ=0，解出Φ；⑷由式（d），求出应力；

⑸校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。

=±h/2

y=±h/2

如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解二、矩形梁的纯弯曲

梁l×h×1

上的应力

σ边界条件

求解步骤：

⑴由逆解法得出，可取=ay3，且满足Φ⑵

⑶检验应力边界条件，原则是:

a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。

b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替主要边界

（τxy）y=±h/2=0.（b）yy=±h/2

从式（a）可见，边界条件（b）均满足。

次要边界x=0,l（c）满足。

xyx=0,l

式（d）最终得应力解

当l>>hx端部分上的应力。

三、位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？

以纯弯曲问题为例，已知

y=±h/2,

（σ）=0,

（τ）

=0,

试求解其位移

2.代入几何方程求位移

⑴对式（a）两边乘dx

⑵对式（b）两边乘d

⑶再代入（c）,

上式对任意的x,y都必须成立，故两边都必须为同一常量由此解出

3.待定的刚体位移分量

须由边界约束条件来确定

归纳：

从应力求位移步骤：

1由物理方程求出形变

2.代入几何方程，积分求

3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量u0,v0,。

纯弯曲问题的讨论1.弯曲应σx

2.x处，平面截

面假设成立

同材料力学的结果。

故在纯弯曲情况3.四、简支梁受均布荷载简支梁2l⨯h⨯1，受均布荷载及两端支撑反力

u,v

按半逆解法求解⑴假设应力分量。

由材料力学xsy

因为σx∝M=q（l+x）-q（l+x）,

σ=xf1（y）+xf2（y）+f3（y）;x所以，可假设

因为xys所以，可假设

xy12

因为y

所以，可假设

现采用此假设

=σy=f（y）,⑵由应力分量推出应力函数的形式。

由∂x2

对x积分∂Φ=xf（y）+f1（y）,

∂x

f（y）+对x再积分Φ=2⑶将代入相容方程，求解

相容方程对于任何均应满足,故的系数均应等于0，由此得三个常微分方程解出:

（b）

将式（b）代入式（a），即得。

⑷由Φ求应力在无体力下，应力公式如书中式（f）,（g）,（h）所示。

对称性条件─由于结构和荷载对称于轴，故Φ,σy应为的偶函数，xy为σx,x

的奇函数，故⑸

σ∝M,τ∝F,σ∝q,

τ∝F=-ql+q（l+x）,

=xf（y）+f（y）;

σ∝q=常数,

σ=f（y）。

x,y

E=F=G=0y

次要边界

由此解出H，K.

另一次要边界（x=-l）的条件，自然满足

6q2yy23最后应力解答：

σx=3（l-x）y+q（42-）

hhh5

yy2=y+q4-）,

FSS6q22

-y）=xy=-3x（4bIh

qy2y2

σy=-（1+）（1-.

2hh五、楔形体受重力及液体压力

设有楔形体，左面垂直，顶角为α，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。

（1）用量纲分析法因为应力ρg,ρg,而应力的量纲只比假设应力:

2高一次（L）1，

所以应力=（ρg,ρg）⨯（x,y一次式）,

即可假设应力为x,y的一次式。

（

2）由应力~关系式，应为x,y的三次式Φ

4（3）满足相容方程

（4）由求应力

x=l,

ρg,ρg

∝

（5）考察边界条件--本题只有两个大边界，均应严格满足应力边界条件。

x=0铅直面

xx=02解出

x=0

斜边界上

由式（b）解出a、b,最后的应力解答

σx=-ρ2gy,⎫

⎪3σy=（ρ1gcotα-2ρ2gcotα）x⎪

⎬（c）2

+（ρ2gcotα-ρ1g）y,⎪

⎪

τxy=-ρ2gxcot2α.

例题17

图3-5，试用应力函数求解应力分量。

解

（σ）

=-ρgy,

）

=0,

（a）

本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解1.将代入相容方程，显然是满足的2.将

主要边界（2-15）

（σy）y=±h/2=0,满足；

（xy）y=±h/2=0,得A+Dh2=0.（a）

在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。

注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的的正方向，

xxy

由此得h/2

（σx）x=0dy=-FN,得B=-;-h/22h

h/2xx=03-h/2

h/23xYx=0ss-h/2由（a）,（b）解出

最后一个次要边界条件（x=l上），在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核

代入应力公式，得

例题18挡水墙的密度为，厚度为b,图示,水的密度为，试求应力分

σ和τ

⎰

（σ）

⎰

（τ）dy=-F,得Ah+Dh=F.（b）

2Mydy=-M,得C=-;

解用半逆解法求解

1假设应力分量的函数形式。

0因为在y=-b/2边界上，σy=;y=b/2边界上，，所以可

σ=-ρgx

假设在区域内σ

沿x向也是一次式变化，即

所以

3.由相容方程求应力函数。

代入4得

d4f4

=0,得f=Ay3+By2

+Cy+D;

dyd4f2

4+2dfA5B4322

=0,得f1=-y-y+Gy+Hy+Iy;dydy106d4f24=0,得f32

2=Ey+Fy.

dy代入Φ

，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式

4.由应力函数求解应力分量。

将Φ

代入式（2-24）,注意f=ρg,f=0

x1y

5考察边界条件：

体

主要边界上,有

yxyy=±b/2

（σ）（σ（τ由上式得到

求解各系数，由

由此得又有

代入A,

代入应力分量的表达式得最后的应力解答

例题19

试问它们能否作为平面问题的应力函数

4解作为应力函数，必须首先满足相容方程

将代入（a）其中A=0，才可能成为应力函数；

（b）必须满足3（A+E）+C=0,才可能成为应力函数。

Fb例题20图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩M=的作用，试

用应力函数32

求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零

均已满足

考察次要边界条件，在y=0上

满足

xyy=0

byy=0

-bbFb（σ）d=-,得xx-byy=0

∇Φ=0.

Φ=Ax+Bx,

=0,

（τ）

⎰

（σ）dx=-F,

⎰

（4）

（5）求位移分量∂uμF3x由=ε=（1+）,对x积分得x

由=εy=-（1+）,对y积分得

将u,v代入几何方程的第三式

两边分离变量，并全都等于

常数，即

代入u,v,得

再由刚体约束条件∂u（=）x0,y

=h=0,得

∂y

x=0,y=h得ω

（u）

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