一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案.docx
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一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案
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一、选择题
1
、设
、
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
2
、下列命题：
①若
，则
；②若
，则一元二次方程
有两个不
相等的实数根；③若
，则一元二次方程
有两个不相等的实数根；④若
，
则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是
2或3.其中正确的是（
）
Ａ．只有①②③
Ｂ．只有①③④
Ｃ．只有①④
Ｄ．只有②③④
3
、若一次函数
的图象过第一、三、四象限，则函数
（
）
A．有最大值B．有最大值－C．有最小值D．有最小值－
4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：
①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
5、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是
（）
A．1B．12C．13D．25
二、填空题
6、设、是方程的两根，则代数式=。
7、已知关于一元二次方程有一根是，则。
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三、计算题
8、已知：
关于
的方程
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；（
2）若方程的一个根是
，求
另一个根及
值．
9、解方程：
四、综合题
10、已知关于
的一元二次方程
的两个整数根恰好比方程
的两个根都大
1，求
的值.
11、如图：
抛物线
与
轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与
轴交于点C．
（1
）求抛物线的对称轴和点
B的坐标；
（2
）过点C作CP⊥对称轴于点
P，连接BC交对称轴于点
D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式。
12、已知关于
x的二次函数
2
2
y=x-（2m-1
）x+m+3m+4.
（1）探究m满足什么条件时，二次函数
y的图象与x轴的交点的个数.
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且+=5，与y轴的交点为C，它的顶点为
M，求直线CM的解析式.
13、如图，已知点
，直线
交
轴于点
，交
轴于点
（1
）求对称轴平行于
轴，且过
三点的抛物线解析式；
（2
）若直线平分∠ABC，求直线
的解析式；
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（3）若直线产（>0）交
（1）中抛物线于两点，问：
为何值时，以为边的正方形的面积为
9？
14、如图，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结，是线段上一动点，
以为一边向右侧作正方形，连结，交于点．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）求证：
；
（3）连结，记的面积为，的面积为，若，试探究的最小值．
2
D为抛物线的顶点，
15、如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点
点E在抛物线上，点
F在x轴上，四边形
OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？
请说明理由．
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五、简答题
16、已知的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
第三边的长是．
（1）
为何值时，
是以
为斜边的直角三角形；
（2）
为何值时，
是等腰三角形，并求
的周长
17、已知关于
的一元二次方程：
．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为
（其中
）．若
是关于
的函数，且
，求这个函数的解析
式；
（3）在
（2）的条件下，结合函数的图象回答：
当自变量的取值范围满足什么条件时，．
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18、已知抛物线
y
=
ax
2－
x
+
c
经过点
（－2，
），且它的顶点
P
的横坐标为－1．设抛物线与
x
轴相交于
、
Q
AB
两点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．
19、如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）、抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点.
点P是x轴上的一个动点.
（1）求此抛物线的解析式.
（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
20、已知二次函数的部分图象如图7所示，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴
为直线.
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（1）若，求的值；
（2）若实数，比较与的大小，并说明理由.
参考答案
一、选择题
1、C
2、B
3、B
4、考点：
二次函数图象与系数的关系。
分析：
首先根据二次函数图象开口方向可得a＞0，根据图象与y轴交点可得c＜0，再根据二次函数的对称轴x=﹣，结
合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1，结合对称轴公式可判断出①的正误；根据对称轴公式结合a的取值可判定出
b＞0，根据a、b、c的正负即可判断出②的正误；利用b﹣2a=0时，求出a﹣2b+4c＜0，再利用当x=4时，y＞0，则
16a+4b+c＞0，由①知，b=﹣2a，得出8a+c＞0．
解答：
解：
根据图象可得：
a＞0，c＞0，
对称轴：
x=﹣＞0，
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①∵它与x轴的两个交点分别为（﹣
1，0），（
3，0），
∴对称轴是x=1，
∴﹣=1，
∴b+2a=0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∴abc＜0，故②正确；
③a﹣2b+4c＜0；
∵b+2a=0，
∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c，
∵a﹣b+c=0，
∴4a﹣4b+4c=0，
∴﹣4b+4c=﹣4a，
∵a＞0，
∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=﹣2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
故正确为：
①②③三个．
故选：
A．
点评：
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此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，
抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
当a与b
同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：
左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
5、C
二、填空题
6、1
7、4
三、计算题
8、解：
（1），
，
无论取何值，，所以，即，
方程有两个不相等的实数根．
（2）设的另一个根为，
则，，解得：
，，
的另一个根为
，的值为1．15．
9、解：
由题意得：
由方程
（2）得：
代人
（1）式得
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四、综合题
10≤
5
10
29.
20
111
A10ABx=2
B30
2A10B30
AB=2
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∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC=
∵，
∴BD=，
，
∵∠BPD=∠PCB且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，
∴BP2=BD?
BC，
即
∴
=
，
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∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0，），
∴y=ax2-4ax-3，
∵过点（1，0），
∴a-4a-3=0，
解得：
a=．
∴解析式是：
22
12、解：
（1）令y=0，得：
x-（2m-1）x+m+3m+4=0
22
△=（2m-1）-4（m+3m+4）=-16m-15
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0
∴m＜-
此时，y的图象与x轴有两个交点
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0
∴m=-
此时，y的图象与x轴只有一个交点
当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0
∴m＞-
此时，y的图象与x轴没有交点
∴当m＜-时，y的图象与x轴有两个交点；
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当=-
时，
y
的图象与
x
轴只有一个交点；
m
当m＞-时，y的图象与x轴没有交点.
（评分时，考生未作结论不扣分）
（2）由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4
1
2
2
1
2
2
2
2
+=（x
+x）
-2xx
=（2m-1）
-2（m+3m+4）=2m-10m-7
∵+
2
2
=5，∴2m-10m-7=5
，∴m-5m-6=0
解得：
1=6，2=-1
mm
∵m＜-，∴m=-1
∴y=x2+3x+2
令x=0，得y=2，∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为（0，2）
2
2
，∴顶点M的坐标为（-
，-
）
又y=x+3x+2=（x+
）-
设过C（0，2）与M（-，-）的直线解析式为y=kx+b
则2=bk=
-=k+b，b=2
∴所求的解析式为y=x+2
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13、解：
（1）直线
交
轴于
点，交
轴于
点。
由此，得
点坐标为
，
点坐标为
。
由于抛物线过
，
，
故可设抛物线解析式为
。
∵抛物线过点
，∴
，∴
∴抛物线解析式为
，即
。
（2）过
点作
，交直线
于点
∵平分
，∴
∴
，∴
点坐标为
设的解析式为
，∴
解这个方程组，得
∴直线的解析式为
。
（3）设两点的横坐标分别为
由题意知，是方程
，即
的两根，
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则
∵
∴，∴时，以EF为边的正方形的面积为9。
14、
（1）令，得，
令，得，
，
（２）如图，，是正方形
，
，
（３），
∽
，设，则，
，
＝
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∴当时，有最小值7
15、考点：
二次函数综合题。
专题：
代数几何综合题。
分析：
（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．
（2）根据
（1）的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．
（3）首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．解答：
解：
（1）∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为（0，3），点E的坐标为（2，3）．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，
得，
解得，
∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；
（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），
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∴△ABD中AB边的高为4，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
所以AB＝3－（－1）＝4，
∴△ABD的面积＝×4×4＝8；
（3）△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由
（2）可知OA＝1，
∴点A对应点G的坐标为（3，2），
当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以点G不在该抛物线上．点评：
这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．
五、简答题
16、解：
由题意得：
．
（1），
，
整理得：
（不合题意，舍去）
（2）若
当
时．
；则
是以
为斜边的直角三角形；
，
，结果，；
注；
此问用根的判别式做也可以．
若,则
，
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解得：
，
当时，；当时，；
若，同样时．：
当时，；
∴当或时．是等腰三角形，其周长为14或16
注：
不论或都说明是方程的一个根，也可以把代入方程解得值．
17、
（1）证明：
是关于的一元二次方程，
．
当时，，即．方程有两个不相等的实数根．..3分
（2）解：
由求根公式，得．
或．，．
，，．．
即为所
求．7分
（3）解：
在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象．
由图象可得，当时，．
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9分
18、
（1）由题意得解得，．
∴抛物线的解析式为．
（2）令y=0，即，整理得x2+2x－3=0．
变形为（x+3）（x－1）=0，解得x1=－3，x2=1．
∴A（－3，0），B（1，0）．
（3）将x=－l代入中，得y=2，即P（－1，2）．
设直线PB的解析式为y=kx+b，于是2=－k+b，且0=k+b．解得k=－1，b=1．
即直线PB的解析式为y=－x+1．
令x=0，则y=1，即OC=1．
又∵AB=1－（－3）=4，
∴S△ABC=×AB×OC=×4×1=2，即△ABC的面积为2．
19、解：
（1）∵抛物线顶点坐标为（1,4）
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y=a（x-1）2+4
B（03）
3=a（0-1）2+4
a=-1
y=-（x-1）2+4
y=-x2+2x+3
2BxE0-3AExP.
AEy=kx+b
yAE=7x-3
y=0x=
P（
0）
201
x
-1,01
.
2
=1.3
=11
x3,0
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2
2
.
3
4
.
.
5
6
.
7
8
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