中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方程和方程组的应用.docx

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中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方程和方程组的应用

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

方程和方程组的应用

◆知识讲解

1．行程问题的几种类型及等量关系:

（1）相遇问题：

全路程=甲走的路程+乙走的路程．

（2）追及问题：

若甲为快者，则被追路程=甲走的路程－乙走的路程．

（3）流水问题：

船速+水速，逆流航速=船速－水速．

2．工程问题的基本等量关系:

甲的工作量+乙的工作量=甲乙合作的工作总量，工程问题通常把总工作量看作“1”，解工程问题的关键是先找出单位时间内的工作效率．

3．浓度问题的基本等量关系:

浓度=

×100%溶液质量=溶质质量+溶剂质量．

4．数学问题的等量关系:

n位数

=a1×10n－1+a2×10n－2+…+an．

5．增长率等量关系:

增长率=（增量÷基础量）×100%．

6．利润问题:

利润=销售价－进货价；利润率=

；销售价=（1+利润率）×进货价．

7．利息问题:

利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息．

8．其他经济类问题

◆例题解析

例1（2004，黄冈市）某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：

（1）若一次购物少于200元，则不予优惠；

（2）若一次购物满200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；

（3）若一次购物超过500元，其中500元以下部分（包括500元）给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠．

小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买同样多的物品，他需付多少元？

【分析】首先要求出小李两次去超市购物付款198元和554元的实际购物所值金额，因为付款198元时，小李购物可能不超过200元，也可能超过200元，而付款554元时，小李购物肯定超过554元，所以小李两次购物中，第一次购物有两种情况，因此本题应分类求解．

【解答】

（1）小李第一次购物付款198元．

①当小李购买的物品不超过200元时，不予优惠，此时实际购买198元的物品；

②当小李购买的物品超过200元时，设小李购买x元的物品，依题意可得：

x×90%=198，解之，得x=220即小李实际购买220元的物品．

（2）小李第二次购物付款554元，因为554>500，故第二次小李购物超过500元，设第二次小李购物y元，依题意可得：

（y－500）×80%+500×90%=554，解之得y=630，即小李实际购买630元的物品．

当小张决定一次性购买和小李分两次购买同样多的物品时，小张应购买的物品为：

198+630=828（元）或者220+630=850（元），此时应付款为：

500×90%+（828－500）×80%=712.4（元）

或者：

500×90%+（850－500）×80%=730（元）

答：

小张应付款712.4元或730元．

【点评】解答本例要注意三点：

（1）由于超市实际购物优惠，所以顾客购买物品时，所付金额数与购物金额数不一定相等；

（2）要根据付款金额数正确确定顾客购物时所符合的优惠条款，从而利用该条款求出该顾客的购物金额；（3）若顾客所付金额数属于两种或两种以上优惠条款时，应分情况讨论求解，切忌遗漏．

例2（2004，哈尔滨市）某通信器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种手机每部1800元，乙种手机每部600元，丙种手机每部1200元．

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买；

（2）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号的手机的购买数量．

【分析】

（1）题中将60000元恰好用完容易理解，即所选的两种手机的总钱数等于60000元；共有三种不同型号的手机，购其中两种不同型号的手机共40部，需要分三种情况考虑：

①选甲，丙两种手机共40部；②选甲，丙两种手机共40部；③选乙，丙两种手机共40部；

（2）题中告诉了乙种手机买数的范围，可得乙种手机的购买数量可能的取值为6，7，8，若设甲种手机购x部，丙种手机购y部，则可列3个不同的方程组，即

①

②

③

【解答】

（1）①选购甲，乙两种型号的手机，设甲种手机购x部，乙种手机购y部．

依题意：

，解这个方程组得

②选购甲，丙两种型号的手机，设甲种手机购a部，丙种手机购b部．

依题意，得

解这个方程组，得

③选购乙，丙两种型号的手机，设购乙种手机m部，购丙种手机n部，依题意得

解这个方程组，得

（不合实际，舍去）．

答：

有两种购买方案：

①甲种手机购30部，乙种手机购买10部；②甲种手机购20部，丙种手机购20部．

（2）由乙种手机的购买数量不少于6部且不多于8部，则乙种手机的购买数量有三种可能，即6部，7部，8部．

设购甲种手机x部，丙种手机y部，由以上分析可列三个方程组：

①

②

③

解方程组①得：

，解方程组②：

得

，解方程组③得：

．

答：

若购买乙种手机6部，则甲种手机购26部，丙种手机购8部；若购买乙种手机7部，则甲种手机购27部，丙种手机购6部；若购买乙种手机8部，则甲种手机购28部，丙种手机购4部．

【点评】在现有的可能条件下，运用所学知识探寻最佳、最优方案，以获取最佳效益，是每个经营者所追求的目标，也是每个学生走进社会后所应具备的基本素质，这类题体现了素质教育的要求，必奖是今后中考的热点题型．同时，本题只有题设条件，结论不具体、不唯一，这对解题思路的探寻也是一种挑战，解题者必须具备创造性思维，不能囿于传统解法的限制．

本例的解题关键在于依题合理分类考虑，不能漏掉存在的任何一种可能，其次是对所得的结果检验，看其是否满足生活实际．

例3为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？

【分析】这是一道工程问题．本题提供的关键信息有：

①甲班种150棵树所用的天数=乙班种120棵树所用的天数+2天；②甲班每天植树的棵树+10棵=乙班每天植树的棵树．

我们可以从不同的角度入手．

【解答】

（1）从工作时间入手，寻求解题的途径（直接设解法）：

设甲班每天植树x棵，那么乙班每天植树（x+10）棵．

由①中的数量关系列方程，得

=

+2．

150（x+10）=120x+2x（x+10）．

150x+1500=120x+2x+20x．

2x2－10x－1500=0．

x2－5x－750=0．

（x－30）（x+25）=0，x1=30，x2=－25．

经检验知：

x1=30，x2=－25都是原方程的解．但x=－25不符合题意舍去．

∴当x=30时，x+10=40．

（2）从工作效率入手，寻求解题途径（间接设解法）：

设乙班植树x天，那么甲班植树（x+2）天，甲班每天植树

棵，乙班每天植树

棵．

由②中的数量关系列方程得

+10=

．

去分母，整理，得x2+5x－24=0．

解得x1=－8，x2=3，经检验：

x1=－8，x2=3都是原方程的解．

又∵x>0，

∴x=－8舍去，只取x=3．

∴

=30（棵），

=40（棵）．

答：

甲班每天植树30棵；乙班每天植树40棵．

◆强化训练

一、填空题

1．某班学生为希望工程共捐款131元，比每人平均2元还多35元，设这个班的学生有x人，根据题意，列方程为_______．

2．一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是_______．

3．轮船顺水航行40km所需的时间和逆水航行30km所需的时间相同，已知水流速度为3km/h，设轮船在静水中的速度xkm/h，可列方程_______．

4．杉杉打火机厂生产某种型号的打火机．每只的成本为2元，毛利润为25%．工厂通过改进工艺，降低成本，在售价不变的情况下，毛利率增加了15%，则这种打火机每只的成本降低了_____元（精确到0.01元，毛利率=

×100%）．

5．高温煅烧石灰石（CCO3）可以制取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2），如果不考虑杂质及损耗，生产生石灰14t就需要煅烧石灰石25t．那么生产生石灰224t，需要石灰石_______t．

6．为了绿色北京，北京市在执行严格的机动车尾气排放标准，同时正在不断设法减少工业及民用燃料所造成的污染．随着每年10亿m3的天然气输到北京，北京每年将少烧300万t煤，这样，到2006年底，北京的空气质量将会基本达到发达国家城市水平．某单位1个月用煤30t，若改用天然气，1年大约要用_______m2的天然气．

7．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．

解题方案

设李明原计划平均每天读书x页，用含x的代数式表示：

（1）李明原计划读完这本书需用_____天；

（2）改变计划时，已读了_____页，还剩____页；

（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需______天；

（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程________；

（5）李明原计划平均每天读书_______页（用数字作答）．

8．依法纳税是公民应尽的义务，根据我国税法规定，工资所得不超过1600元不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算：

全月应纳税所得额

税率

不超过500元部分

5%

超过500元至2000元的部分

10%

超过2000元至5000元的部分

15%

……

…

某人本月纳税150.1元，则他本月的工资收入为______元．

二、选择题

9．一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元．设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（）

A．x×40%×80%=240B．x（1+40%）×80%=240

C．240×40%×80%=xD．x×40%=240×80%

10．刘刚同学买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元和2元，共用10元，设刘刚买的两种贺卡分别为x张，y张，则下面的方程组正确的是（）

A．

B．

C．

D．

11．小萍要在一幅长90cm，宽40cm的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（图4－5），使风景画的面积是整个挂图面积的54%．设金色纸边的宽为xcm，根据题意所列方程为（）

A．（90+x）（40+x）×54%=90×40

B．（90+2x）（40+2x）×54%=90×40

C．（90+x）（40+2x）×54%=90×40

D．（90+2x）（40+x）×54%=90×40

12．某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x，则依题意列方程为（）

A．25（1+x）2=82.75B．25+50x=82.75

C．25+75x=82.75D．25[1+（1+x）+（1+x）]=82.75

13．为了贫困家庭子女能完成初中作业，国家给他们免费提供教科书，下表是某中学免费提供教科书补助的部分情况：

七

八

九

合计

每人免费补助金额/元

109

94

47.5

－－－

人数/人

40

120

免费补助总金额/元

1900

10095

若设获得免费提供教科书补助的七年级为x人，八年级为y人，根据题意列出方程组为（）

A．

B．

C．

D．

14．古代有这样一个寓言故事：

驴和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的．驴抱怨负担太重，骡子说：

“你抱怨干吗？

如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！

”那么驴原来所驮货物的袋数是（）

A．5B．6C．7D．8

15．A，B两地相距450km，甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120km/h，乙车速度为80km/h，经过th两车相距50km，则t的值是（）

A．2或2.5B．2或0C．10或12.5D．2或12.5

16．某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：

（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；

（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，给九折优惠；

（3）一次购买超过3万元的，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠．

某厂因库容原因，第一次在该供应商处购买原料付示7800元，第二次购买付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付金额为（）

A．1460元B．1540元C．1560元D．2000元

三、解答题

17．（2005，湘潭市）2004年年底，东南亚地区发生海啸，给当地人民带来了极大的灾难，听到这个消息，某校初中毕业班中的30名同学踊跃捐款，支援灾区人民．其中女同学共捐款150元，男同学共捐款120元，男同学比女同学平均每人少捐款2元，男，女同学平均每人各捐款多少元？

18．（2008，温州）某皮鞋专卖店老板对第一季度男女皮鞋的销售收入进行统计，并绘制了扇形统计图（图4－6），由于三月份开展促销活动，男，女皮鞋的销售收入分别比二月份增长了40%，64%，已知第一季度男女皮鞋的销售总收入为200万元．

（1）一月份销售收入___万元，二月份销售收入____万元，三月份销售收入____万元；

（2）二月份男，女皮鞋的销售收入各是多少万元？

19．（2005，海南省）在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．图4－7所示是小明爸爸，妈妈的一段对话．请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入．（收入－投资=净赚）

20．（2005，武汉市）武汉江汉一桥维修工程中，拟由甲，乙两个工程队共同完成某项目．从两个工程队的资料可以知道：

若两个工程队合做24天恰好完成；若两个工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：

（1）甲，乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？

（2）又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？

21．（2008，连云港）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲，乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍，1.5倍，恰好按时完成了这项任务．

（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？

（2）现要将这批帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，由于两市通往A，B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同，已知运送帐篷每千顶所需的车辆数，两地所急需的帐篷数如表所示：

A地

B地

每千顶帐篷

所需车辆数

甲市

4

7

乙市

3

5

所急需帐篷数（单位：

千顶）

9

5

请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数．

22．（2008，广州市）2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度．

答案

1．2x+35=1312．10%3．

=

4．0.215．4006．1.2×105

7．

（1）

（2）5x，200－5x（3）

（4）

－（

+5）=1

（5）20

8．31019．B10．D11．B12．D13．A14．A15．A16．A

17．设男同学平均每人捐款x元，则女同学平均每人捐款为（x+2）元

依题得：

=30

化简得：

x2－7x－8=0

解之得x=－1或x=8

经检验它们都是原方程的根，但x=－1<0（舍去）

答：

男同学平均每人捐款8元，女同学平均每人捐款10元．

18．

（1）50；60；90

（2）解：

设二月份男，女皮鞋的销售收入分别为x万元，y万元，根据题意，得

解得

答：

二月份男，女皮鞋的销售收入分别为35万元，25万元．

19．设小明家去年种植菠萝的收入为x元，投资y元，依题意，得

解方程组，得

∴小明家今年菠萝的收入应为：

（1+35%）x=1.35×12000=16200元

20．

（1）设甲工程队单独完成该项目需x天，乙工程队单独完成该项目需y天．

依题意得

，解之得

经检验

是原方程的解，并且符合题意．

答：

甲，乙两工程队单独完成此项目各需40天，60天．

（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天时总的施工费用不超过22万元，

根据题意得

解之得b≥40

答：

要使该项目总的施工费用不超过22万元，乙工程队最少施工40天．

21．

（1）设总厂原来每周制作帐篷x千顶，分厂原来每周制作帐篷y千顶．

由题意，得

解得

所以1.6x=8（千顶），1.5y=6（千顶）．

答：

在赶制帐篷的一周内，总厂，分厂各生产帐篷8千顶，6千顶．

（2）设从（甲市）总厂调配m千顶帐篷到灾区的A地，则总厂调配到灾区B地的帐篷为（8－m）千顶，（乙市）分厂调配到灾区，A，B两地的帐篷分别为（9－m）千顶和（m－3）千顶．甲，乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆．

由题意，得n=4m+7（8－m）+3（9－m）+5（m－3）（3≤m≤8），

即n=－m+68（3≤m≤8）．

因为－1<0，所以n随m的增大而减小．

所以，当m=8时，n有最小值60．

答：

从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为1千顶，5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆．

22．设抢修车的速度为xkm/h，则吉普车的速度为1．5xkm/h．

由题意得

，解得x=20．

经检验，x=20是原方程的解，且x=20，1.5x=30都符合题意．

答：

抢修车的速度为20km/h，吉普车的速度为30km/h．