⎩9
x2y2
14.
设椭圆C:
+
a2b2
=1（a>b>0）的左右焦点为F1，F2，作F2作x轴的垂线与C交于
A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.
【答案】
3
2b2
【解析】因为AB为椭圆的通径，所以AB=，则由椭圆的定义可知：
a
AF1
=2a-b，
a
2b2b2b22c
又因为AD⊥F1B，则AF1=AB，即a
=2a-
a
，得=，又离心率e=，结合
a23a
a2=b2+c2
得到：
e=
3
15.x，y∈R，若x+y+x-1+y-1≤2，则x+y的取值范围为.
【答案】0≤x+y≤2
【解析】
x+x-1≥1
y+y-1≥1
要使x+x-1+y+y-1≤2
只能x+x-1+y+y-1=2
x+x-1=1y+y-1=1
∴0≤x≤10≤y≤1
∴0≤x+y≤2
三、解答题：
本大题共6小题，学科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
ç⎪
已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f⎛π⎫=0，其中
4
⎝⎭
a∈R，θ∈（0，π）.
（1）求a，θ的值；
⎛α⎫2
⎛π⎫
⎛π⎫
（2）若fç⎪=-
，α∈ç，π⎪，求sinçα+
⎪的值.
⎝4⎭5
⎝2⎭
⎝3⎭
⎛π⎫⎛π⎫
【解析】解;
（1）fç⎪=（a+1）cosç+θ⎪=-（a+1）sinθ=0
⎝⎭⎝⎭
Qθ∈（0，π）,∴sinθ≠0,∴a+1=0,∴a=-1……………………………………2分
Q函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数
∴f（0）=（a+2）cosθ=cosθ=0……………………………………4分
π
∴θ=……………………………………5分
2
（2）有
（1）得f（x）=（-1+2cos2x）cos⎛2x+π⎫=-cos2xgsin2x=-1sin4x………………
ç2⎪2
⎝⎭
7分
⎛α⎫124
Qfç4⎪=-2sinα=-5
∴sinα=……………………………………8分
5
⎛π⎫3
Qθ∈ç，π⎪，∴cosα=-……………………………………10分
⎝⎭
⎛π⎫ππ413
∴sinçα+3⎪=sinαcos3+cosαsin3=⨯-⨯2=10
………………………
⎝⎭525
…12分
17.（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和Sn=
3n2-n
2
，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：
对任意n>1，都有m∈N*，使得a，a，a
成等比数列.
1nm
解析：
（1）当n=1时a=S=1
当n≥2时
11
an=Sn-Sn-1=
3n2-n-
2
3（n-1）2-n+1
2
=3n-2
1
检验当n=1时a=1
∴an=3n-2
（2）使a1，an，am成等比数列.则a2=aa
n1m
∴（3n-2）2=3m-2
即满足3m=（3n-2）2+2=9n2-12n+6
所以m=3n2-4n+2
则对任意n>1，都有3n2-4n+2∈N*
所以对任意n>1，都有m∈N*，使得a，a，a
成等比数列.
1nm
18.（本小题满分12分）
已知函数f（x）=（4x2+4ax+a2）
，其中a<0.
（1）当a=-4时，求f（x）的单调递增区间;
（2）若f（x）在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.
【解析】解:
（1）当a=-4时，f（x）=（2x-4）2
f（x）的定义域为[0,+∞）
=2（x-2）2，
f'（x）=4（x-2）
（x-2）2
=
（x-2）（5x-2）
令f'（x）>0得0≤x<2,x>2
5
所以当a=-4时，f（x）的单调递增区间为⎡0,2⎫和（2，+∞）
⎪
⎭
（2）f（x）=（2x+a）2
f'（x）=2（2x+a）
2x+a2
+=
（2x+a）（10x+a）
2
令f'（x）=0，得x=-a,x=-a
12210
Qa<0，∴x1>x2>0
所以，在区间⎛0,-a⎫,⎛-a,+∞⎫上，f'（x）>0，f（x）的单调递增；
ç10⎪ç2⎪
⎝⎭⎝⎭
在区间⎛-a,-a⎫上，f'（x）<0，f（x）的单调递减；
ç102⎪
⎝⎭
又易知f（x）=（2x+a）2
≥0，且f⎛-a⎫=0
ç2⎪
⎝⎭
①当-a≤1时，即-2≤a<0时，f（x）在区间[1,4]上的最小值为f
（1），由
2
f
（1）=4+4a+a2=8，得a=-2±2,均不符合题意。
a
f⎛-a⎫=0
②当1<-≤4时，即-8≤a<-2时，f（x）在区间[1,4]上的最小值为
ç2⎪
，不符
2⎝⎭
合题意
2
③当-a>4时，即a<-8时，f（x）在区间[1,4]上的最小值可能为x=1或x=4处取到，而
f
（1）≠8，
f（4）=2（64+16a+a2）=8，得a=-10或a=-6（舍去），当a=-10时，f（x）在区间[1,4]上单调递减，f（x）在区间[1,4]上的最小值f（4）=8符合题意，
综上，a=-10
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC,A1B⊥BB1.
（1）求证：
；
（2）若AB=2,AC=
3,BC=
，问AA1为何值时，三棱柱
ABC-A1B1C1体积最大，并求此最大值。
19.
（1）证明：
三棱柱ABC-A1B1C1中，
AA1⊥BC
∴BB1⊥BC，又BB1⊥A1B
且BCA1B=C
∴BB1⊥面BCA1，
又BB1∥CC1
∴CC1⊥面BCA1，
又∴AC1⊂面BCA1，
，所以A1C⊥CC1.（4分）
（2）设AA1
=x，在Rt△A1BB1中，AB=
AB-BB2=
同理，A1C==,在△A1BC中
AB2+AC2-BC2x2
cos∠BA1C=11=-，
sin∠BA1C=
2A1BA1C
（4-x2）（3-x2）
，（6分）
1
所以SABACsinBAC
1
，（7分）
2
1
从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S⋅l=S△ABC⋅AA1=
（8分）
2
因x==
（10分）
故当x=
7
时即AA1=7时体积V取到最大值
（12分）
7
试题分析：
本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系，属于容易题，大部分考生可以轻松解决，第二小问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题，有一定的综合性，属于中档题，解决该类问题关键在于合适的引入变量，建立函数模型，另外在计算过程中应谨慎小心，避免粗心。
20.（本小题满分13分）
如图，已知抛物线C:
x2=4y，过点M（0,2）任作一直线与C相交于A,B两点，过点B作
y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）.
（1）证明：
动点D在定直线上；
（2）作C的任意一条切线l（不含x轴）与直线y=2相交于点N1，与
（1）中的定直线相
21
交于点N2，证明：
|MN
|2-|MN
|2为定值，并求此定值.
20
（1）解：
根据题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y，得x2=（4kx+2），
即x2-4kx-8=0，设A（x，y），B（x，y），则有：
xx=-8，（2分）
112212
⎧x=x2
直线AO的方程为y=y1x；BD的方程为x=x，解得交点D的坐标为⎪yx
x2⎨y=12
1⎪⎩x
1
（4分）
，注意到xx=-8及x2=4y，则有y=y1x1x2=-8y1=-2，（5分）
1211
14y1
因此D点在定直线y=-2上（x≠2）（6分）
（2）依据题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0）
代入x2=4y得x2=（4ax+b）,即x2-4ax-4b=0，由∆=0得16a2+16b=0,
化简整理得b=-a2，（8分）
故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2、y=-2得
2
N,N的坐标为N（2+a,2）,N（-+a,-2），（11分）
121a2a
则MN
2-MN
2=（2-a）2+42-（2+a）2=8,
aa
即MN2-MN1为定值8.（13分）
试题分析：
本题考查了直线与抛物线的位置关系，对学生的分析和转化能力要求较高，解决该类问题应抓住问题的实质，充分合理的运用已知条件是解决该题的关键。
21.（本小题满分14分）
将连续正整数1,2,,n（n∈N*）从小到大排列构成一个数123n，F（n）为这个数的位数
（如n=12时，此数为123456789101112，共有15个数字，f（12）=15），现从这个数中随机取一个数字，p（n）为恰好取到0的概率.
（1）求p（100）；
（2）当n≤2014时，求F（n）的表达式；
（3）令g（n）为这个数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）=
S={n|h（n）=1,n≤100,n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值.
f（n）-g（n），
21.解：
（1）当n=100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取
11
到0的概率为p（100）=
192
;（2分）
⎧n,1≤n≤9,
⎪
⎪2n-9,10≤n≤99,
（2）F（n）=⎨
⎪3n-108,100≤n≤999,
⎪⎩4n-1107,1000≤n≤2014.
（5分）
（3）当n=b（1≤b≤9，b∈N+）,g（n）=0；
当n=10k+b（1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N+,b∈N）时，g（n）=k;
⎪
⎧0,1≤n≤9,
n=100时g（n）=11，即g（n）=⎨k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N+,b∈N,（8分）
⎩
⎪11,n=100
⎧0,1≤n≤8,
⎪k,n=10k+b,1≤k≤9,0≤b≤9,k∈Nb∈N,
⎨n-80,89≤n≤98,
同理有f（n）=⎪
⎪
⎪⎩20,n=99,100
+,（10分）
由h（n）=f（n）-g（n）=1，可知n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90
所以当n≤100时，S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90
当n=9时，p（9）=0，
}（11分）
当n=90，p（90）=
g（90）1
=
F（90）19
g（n）kk
当n=10k+9（1≤k≤8,k∈N+,）时，p（n）=F（n）=2n-9=20k+9（13分）
由y=
k
20k+9
关于k单调递增，故当当n=10k+9（1≤k≤8,k∈N+,
）时，
P（n）的最大值为p（89）=
8
169
8
，又
169
11
＜,所以最大植为
1919
.（14分）
试题分析：
本题为信息题，也是本卷的压轴题，考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力，本题的命题新颖，对学生能力要求较高，难度较大，解决本题的关键首先
在于审清题意，搞清楚F（n）、p（n）的含义，这样就可以解决前两问，同时为
第三问做好铺垫，第三问在前两问的基础上再加以深入，考查学生综合分析问题的能力。
本题由易到难，层层深入，是一道难得的好题.
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