实际问题与二元一次方程组.docx
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实际问题与二元一次方程组
某单位新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室。
进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：
当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。
（1）求一道正门和一道侧门平均每分钟各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假如这栋大楼每间教室最多有45名学生，问建这4道门是否符合安全规定？
请说明理由。
某基地生产一种绿色蔬菜，若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润为4500元，精加工后，每吨利润为7500元，
当地一家公司收获这种蔬菜140吨，该公司的加工能力为：
粗加工，每天加工16吨，精加工，每天加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节约束，公司必须在15天内将这批菜全部销售或加工完毕，为此，公司研究了三种方案：
方案一：
将蔬菜全部粗加工；
方案二：
尽可能地对蔬菜精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售；
方案三：
将部分精加工，其余进行粗加工，恰好15天完成；
你认为哪种方案获利最多，为什么?
某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听单价比书包单价的4倍少8元
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？
若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：
甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，
1：
若商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案
2：
若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视可获利200元，销售一台丙种电视可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案。
某中学组织七年级学生春游，原计划租用48台客车若干辆，但有12人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知48座客车每日租金为每辆220元，60座客车每日租金为每辆280元;
1：
七年级人数是多少？
原计划租用48座客车多少辆？
2：
若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租用更合算？
“利海”通讯器材商场计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：
甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种手机每部1200元。
若商场同时购进其中两种不同型号手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买？
2012年鞍山
24．某实验学校为开展研究性学习，准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌，如果购买3张两人学习桌，1张三人学习桌需220元；如果购买2张两人学习桌，3张三人学习桌需310元．
（1）求两人学习桌和三人学习桌的单价；
（2）学校欲投入资金不超过6000元，购买两种学习桌共98张，以至少满足248名学生的需求，设购买两人学习桌x张，购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为W元，求出W与x的函数关系式；求出所有的购买方案．
2012本溪市
22、某商店购进甲、乙两种型号的滑板车，共花费13000元，所购进甲型车的数量不少于乙型车数量的二倍，但不超过乙型车数量的三倍。
现已知甲型车每辆进价200元，乙型车每辆进价400元，设商店购进乙型车x辆。
（1）商店有哪几种购车方案？
（2）若商店将购进的甲、乙两种型号的滑板车全部售出，并且销售甲型车每辆获得利润70元，销售乙型车每辆获得利润50元，写出此商店销售这两种滑板车所获得的总利润y（元）与购进乙型车的辆数x
（辆）之间的函数关系式？
并求出商店购进乙型车多少辆时所获得的利润最大？
16．（黑龙江龙东地区）现要将228吨物资从某地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
运往地
车型
甲地（元/辆）
乙地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在
（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
24．（10分）某儿童服装店欲购进A、B两种型号的儿童服装．经调查：
B型号童装的进货单价是A型号童装的进货单价的两倍，购进A型号童装60件和B型号童装40件共用去2100元．
（1）求A、B两种型号童装的进货单价各是多少元？
（2）若该店每销售1件A型号童装可获利4元，每销售1件B型号童装可获利9元，该店准备用不超过6300元购进A、B两种型号童装共300件，且这两种型号童装全部售出后总获利不低于1795元．问该店应该怎样安排进货，才能使总获利最大？
最大总获利为多少元？
2013年中考数学复习专题讲座十：
方案设计型问题
一、中考专题诠释
方案设计型问题，是指根据问题所提供的信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案的一类数学问题。
随着新课程改革的不断深入，一些新颖、灵活、密切联系实际的方案设计问题正越来越受到中考命题人员的喜爱，这些问题主要考查学生动手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的核心内容之一。
二、解题策略和解法精讲
方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：
测量、购物、生产配料、汽车调配、图形拼接等。
所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。
这类问题的应用性非常突出，题目一般较长，做题之前要认真读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，通过数学求解，最终解决问题。
解答此类问题必须具有扎实的基础知识和灵活运用知识的能力，另外，解题时还要注重综合运用转化思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类讨论等各种数学思想。
三、中考考点精讲
考点一：
设计测量方案问题
这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。
所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例1（2012•河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：
tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：
设AB=x米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到BE=AB=x，然后在Rt△ABD中得到tan31°=
．求得x=24．然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC即可．
解答：
解：
设AB=x米．
∵∠AEB=45°，∠ABE=90°，
∴BE=AB=x
在Rt△ABD中，tan∠D=
，
即tan31°=
．
∴x=
≈
=24．
即AB≈24米
在Rt△ABC中，
AC=
=25．
即条幅的长度约为25米．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
考点二：
设计搭配方案问题
这类问题不仅在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。
它一般给出两种元素，利用这两种元素搭配出不同的新事物，设计出方案，使获利最大或成本最低。
解题时要根据题中蕴含的不等关系，列出不等式（组），通过不等式组的整数解来确定方案。
例2（2012•内江）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A、B两种园艺造型共60个，摆放于入城大道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示，结合上述信息，解答下列问题：
造型花卉
甲
乙
A
80
40
B
50
70
（1）符合题意的搭配方案有几种？
（2）如果搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种造型的成本为1500元，试说明选用那种方案成本最低？
最低成本为多少元？
考点：
一元一次不等式组的应用。
专题：
应用题；图表型。
分析：
（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，根据“4200盆甲种花卉”“3090盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可．
（2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案．
解答：
解：
（1）设需要搭配x个A种造型，则需要搭配B种造型（60﹣x）个，
则有
，
解得37≤x≤40，
所以x=37或38或39或40．
第一方案：
A种造型37个，B种造型23个；
第二种方案：
A种造型38个，B种造型22个；
第三种方案：
A种造型39个，B种造型21个．
第四种方案：
A种造型40个，B种造型20个．
（2）分别计算三种方案的成本为：
①37×1000+23×1500=71500元，
②38×1000+22×1500=71000元，
③39×1000+21×1500=70500元，
④40×1000+20×1500=70000元．
通过比较可知第④种方案成本最低．
答：
选择第四种方案成本最低，最低位70000元．
点评：
此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性，
（1）根据图表信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答；
（2）为最优化问题，根据
（1）的结果直接计算即可．
考点三：
设计销售方案问题
在商品买卖中，更多蕴含着数学的学问。
在形形色色的让利、打折、买一赠一、摸奖等促销活动中，大家不能被表象所迷惑，需要理智的分析。
通过计算不同的销售方案盈利情况，可以帮助我们明白更多的道理。
近来还出现运用概率统计知识进行设计的问题。
例5（2012•广安）某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．
（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过2700000元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？
（3）上面的哪种购买方案最省钱？
按最省钱方案购买需要多少钱？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析：
（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得等量关系：
①买1块电子白板的钱=买3台笔记本电脑的钱+3000元，②购买4块电子白板的费用+5台笔记本电脑的费用=80000元，由等量关系可得方程组，解方程组可得答案；
（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得不等关系：
①购买笔记本电脑的台数≤购买电子白板数量的3倍；②电子白板和笔记本电脑总费用≤2700000元，根据不等关系可得不等式组，解不等式组，求出整数解即可；
（3）由于电子白板贵，故少买电子白板，多买电脑，根据
（2）中的方案确定买的电脑数与电子白板数，再算出总费用．
解答：
解：
（1）设购买1块电子白板需要x元，一台笔记本电脑需要y元，由题意得：
，
解得：
．
答：
购买1块电子白板需要15000元，一台笔记本电脑需要4000元．
（2）设购买电子白板a块，则购买笔记本电脑（396﹣a）台，由题意得：
，
解得：
99≤a≤101
，
∵a为正整数，
∴a=99，100，101，则电脑依次买：
297台，296台，295台．
因此该校有三种购买方案：
方案一：
购买笔记本电脑295台，则购买电子白板101块；
方案二：
购买笔记本电脑296台，则购买电子白板100块；
方案三：
购买笔记本电脑297台，则购买电子白板99块；
（3）解法一：
购买笔记本电脑和电子白板的总费用为：
方案一：
295×4000+101×15000=2695000（元）
方案二：
296×4000+100×15000=2684000（元）
方案三：
297×4000+99×15000=2673000（元）
因此，方案三最省钱，按这种方案共需费用2673000元．
解法二：
设购买笔记本电脑数为z台，购买笔记本电脑和电子白板的总费用为W元，
则W=4000z+15000（396﹣z）=﹣11000z+5940000，
∵W随z的增大而减小，∴当z=297时，W有最小值=2673000（元）
因此，当购买笔记本电脑297台、购买电子白板99块时，最省钱，这时共需费用2673000元．
点评：
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
考点四：
设计图案问题
图形的分割、拼接问题是考查动手操作能力与空间想能力的一类重要问题，在各地的中考试题中经常出现。
这类问题大多具有一定的开放性，要求学生多角度、多层次的探索，以展示思维的灵活性、发散性、创新性。
例6（2012•遵义）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有13
种．
考点：
利用轴对称设计图案．
分析：
根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
解答：
解：
如图所示：
故一共有13种做法，
故答案为：
13．
点评：
此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
四、真题演练
一、选择题
2．（2012•本溪）下列各网格中的图形是用其图形中的一部分平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2012•丽水）在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（2012•广元）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
5．（2012•杭州）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为（-1，1），（-2，-2），（0，2），（-2，-3）
．
6．（2012•漳州）利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为1的方格纸中，有如图所示的四边形（顶点都在格点上）．
（1）先作出该四边形关于直线l成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕0点按顺时针方向旋转90°后的图形；
（2）完成上述设计后，整个图案的面积等于20
．
三、解答题
7．（2012•山西）实践与操作：
如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．
（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．
（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．
9．（2012•丹东）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船距A岛的距离AB长为10海里．此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？
（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
10．（2012•长春）如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA、OB的长均为108cm，支架OA与水平晾衣杆OC的夹角∠AOC为59°，求支架两个着地点之间的距离AB．（结果精确到0.1cm）[参考数据：
sin59°=0.86，cos59°=0.52，tan59°=1.66]
12．（2012•河池）随着人们环保意识的不断增强，我市家庭电动自行车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2009年底拥有家庭电动自行车125辆，2011年底家庭电动自行车的拥有量达到180辆．
（1）若该小区2009年底到2012年底家庭电动自行车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2012年底电动自行车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？
试写出所有可能的方案．
15．（2012•丹东）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样．规定：
顾客在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一个球，第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客消费刚好满300元，则在本次消费中：
（1）该顾客至少可得10
元购物券，至多可得80
元购物券；
（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率．
17．（2012•铁岭）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
18．（2012•南充）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车一辆小车共需租车费1100元．
（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
19．（2012•朝阳）为支持抗震救灾，我市A、B两地分别有赈灾物资100吨和180吨，需全部运往重灾区C、D两县，根据灾区的情况，这批赈灾物资运往C县的数量比运往D县的数量的2倍少80吨．
（1）求这批赈灾物资运往C、D两县的数量各是多少吨？
（2）设A地运往C县的赈灾物资数量为x吨（x为整数）．若要B地运往C县的赈灾物资数量大于A地运往D县赈灾物资数量的2倍，且要求B地运往D县的赈灾物资数量不超过63吨，则A、B两地的赈灾物资运往C、D两县的方案有几种？
20．（2012•北海）某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：
5．
（1）求出该班男生与女生的人数；
（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：
①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上．请问男、女生人数有几种选择方案？
21．（2012•温州）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．
（1）当n=200时，①根据信息填表：
A地
B地
C地
合计
产品件数（件）
x
2x
200
运费（元）
30x
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？
（2）若总运费为5800元，求n的最小值．
23．（2012•深圳）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如表所示：
价格
种类
进价
（元/台）
售价
（元/台）
电视机
5000
5500
洗衣机
2000
2160
空调
2400
2700
（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？
（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在
（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出多少张？
24．（2012•黔西南州）某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品
B种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在
（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？
并求出最大利润．
25．（2012•攀枝花）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划．某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A、B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/t•km”表示：
每吨煤炭运送一千米所需的费用）：
厂别
运费（元/t•km）
路程（km）
需求量（t）
A
0.45
200
不超过600
B
a（a为常数）
150
不超过800
（1）写出总运费y（元）与运往A厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）
26．（2012•凉山州）某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．相关信息如下表：
进价（元/台）
售价（元/台）
冰箱
a
2500
彩电
a﹣400
2000
（1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用6
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