因式分解二.docx

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因式分解二

北　京　四　中

　　编　稿：

史卫红　　审　稿：

谷　丹　　责　编：

赵云洁　　

因式分解

（二）

　　一、学习指导

　　1．代数中常用的乘法公式有：

　　平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

　　完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2

　　2．因式分解的公式：

　　将上述乘法公式反过来得到的关于因式分解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：

　　平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

　　完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2

　　3．①应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。

②明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。

③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。

④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。

　　二、因式分解公式的结构特征。

　　1.平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）的结构特征

　　1）公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。

　　2）公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a是完全相同的，即为左边式子中被减数a2的底数，另一项b和-b是互为相反数，即b是左边式子中减数b2的底数。

　　3）要熟记1——20的数的平方。

　　2、完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2的结构特征.

　　1）公式的左边是一个三项式,首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为正号（负号）时右边的两项式中间符号为正（为负）,2ab中的“2”是一个固定的常数。

　　2）公式的右边是两数和或差的平方形式。

　　3）要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a和b在这里是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab或-2ab，如果是的，才可以分解为两数和或差的平方形式。

初学时中间的过渡性步骤不要省掉。

　　三、例题分析：

　　例1．分解因式：

（1）4a2-9b2　　

（2）-25a2y4+16b16

　　分析：

①∵4a2=（2a）2,9b2=（3b）2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b即可。

　　②将两项交换后，这两项式是平方差的形式。

　　解：

（1）4a2-9b2

　　=（2a）2-（3b）2

　　=（2a+3b）（2a-3b）

　　注：

为保证解题正确要将中间步骤（2a）2-（3b）2写上，即先化为公式的左边形式。

　　分析：

①这是个两项式，且两项符号相反

　　②∵16b16=（4b8）2　　25a2y4=（5ay2）2那么可将4b8和5ay2看作平方差公式中的a和b即可。

　　解：

（2）-25a2y4+16b16

　　=16b16-25a2y4

　　=（4b8）2-（5ay2）2

　　=（4b8+5ay2）（4b8-5ay2）

　　注：

要先将原式写成公式左边的形式，写成（4b8）2-（5ay2）2

　　例2．分解因式：

（1）36b4x8-9c6y10　

（2）（x+2y）2-（x-2y）2

　　（3）81x8-y8　（4）（3a+2b）2-（2a+3b）2

　　分析：

（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。

（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y和x-2y分别为公式中的a和b。

（3）题也是两项式，9x4和y4是公式中的a和b。

（4）题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。

　　解：

（1）36b4x8-9c6y10

　　=9（4b4x8-c6y10）

　　=9[（2b2x4）2-（c3y5）2]

　　=9（2b2x4+c3y5）（2b2x4-c3y5）

　　注：

解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。

（2）（x+2y）2-（x-2y）2

　　=[（x+2y）+（x-2y）][（x+2y）-（x-2y）]

　　=（x+2y+x-2y）（x+2y-x+2y）

　　=（2x）（4y）=8xy

　　注：

此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。

　　（3）81

　　=（9x4）2-（y4）2

　　=（9x4+y4）（9x4-y4）

　　=（9x4+y4）[（3x2）2-（y2）2]

　　=（9x4+y4）[（3x2+y2）（3x2-y2）]

　　=（9x4+y4）（3x2+y2）（3x2-y2）

　　注：

①第一次应用平方差公式后的第二个因式9x4-y4还可以再用平方差公式分解②3x2-y2在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。

　　（4）（3a+2b）2-（2a+3b）2

　　=[（3a+2b）+（2a+3b）][（3a+2b）-（2a+3b）]

　　=（3a+2b+2a+3b）（3a+2b-2a-3b）

　　=（5a+5b）（a-b）

　　=5（a+b）（a-b）

　　注：

（5a+5b）这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。

　　例3．分解因式：

①（2m-n）2-121（m+n）2　②-4（m+n）2+25（m-2n）2

　　分析：

（1）题的第二项应写成[11（m+n）]2就可以用平方差公式分解，2m-n和11（m+n）为公式中的a和b，

（2）题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别为5（m-2n）和2（m+n），再应用平方差公式分解。

　　解：

（1）（2m-n）2-121（m+n）2

　　=（2m-n）2-[11（m+n）]2

　　=[（2m-n）+11（m+n）][（2m-n）-11（m+n）]

　　=（2m-n+11m+11n）（2m-n-11m-11n）

　　=（13m+10n）（-9m-12n）

　　=-3（13m+10n）（3m+4n）

　　注：

（-9m-12n）这项应提取公因式-3

（2）-4（m+n）2+25（m-2n）2

　　=25（m-2n）2-4（m+n）2

　　=[5（m-2n）]2-[2（m+n）]2

　　=[5（m-2n）+2（m+n）][5（m-2n）-2（m+n）]

　　=（5m-10n+2m+2n）（5m-10n-2m-2n）

　　=（7m-8n）（3m-12n）

　　=3（7m-8n）（m-4n）

　　注：

利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。

例如:

-2（m+n）=-2m-2n≠-2m+2n

　　例4.分解因式:

（1）

b-ab

（2）a4（m+n）-b4（m+n）

　　（3）-

　　分析：

这三道题都有公因式,应先提取公因式再应用平方差公式。

注意要分解到不能分解为止。

　　解：

（1）a5b-ab　

　　=ab（a4-1）

　　=ab（a2+1）（a2-1）

　　=ab（a2+1）（a+1）（a-1）

　　注：

a2+1在有理数范围不能分解，a2-1可以分解。

（2）a4（m+n）-b4（m+n）

　　=（m+n）（a4-b4）

　　=（m+n）（a2+b2）（a2-b2）

　　=（m+n）（a2+b2）（a+b）（a-b）

　　（3）-

　　=-

（a2-16）

　　=-

（a+4）（a-4）

　　注：

提取分数公因式-

便于后面用公式法分解。

　　例5．计算1.22222×9-1.33332×4

　　分析:

这是数字的计算问题,若按运算顺序一步步做很繁,我们认真观察,寻求简便算法,发现题中的两项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再可以用平方差公式进行因式分解,这样可以使计算简化。

　　解：

1.22222×9-1.33332×4

　　=（1.2222×3）2-（1.3333×2）2

　　=（1.2222×3+1.3333×2）（1.2222×3-1.3333×2）

　　=（3.6666+2.6666）（3.6666-2.6666）

　　=6.3332×1=6.3332

　　例6．分解因式：

（1）x（x2-1）-x2+1　

（2）（x2+x+2）（x2+x+7）-6

　　分析：

（1）可看成二项式：

将-x2+1变形为-（x2-1）则可提取公因式（x2-1）再将公因式用平方差公式分解。

　　解：

（1）x（x2-1）-x2+1

　　=x（x2-1）-（x2-1）=（x2-1）（x-1）

　　=（x+1）（x-1）（x-1）

　　=（x+1）（x-1）2

　　分析：

（2）题若将此式展开一定繁琐，注意到x2+x+2与x2+x+7的平均数为x2+x+

，故可用换元法解：

　　解：

设y=

=x2+x+

　　则（x2+x+2）（x2+x+7）-6

　　=（y-

）（y+

）-6=y2-

-6

　　=y2-

=（y+

）（y-

）

　　=（x2+x+

+

）（x2+x+

-

）=（x2+x+8）（x2+x+1）

　　注：

此题也可以展开式子（x2+x）2+9（x2+x）+8再应用十字相乘法进行。

　　例7．若（248-1）可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。

　　分析：

首先应分析248-1的特殊形式为平方差，由题意248-1能被两个数整除说明248-1能分解成哪两个数与其它因式的积，并将248-1进行因式分解。

并注意这两个整数的取值范围是大于60且小于70。

　　解：

248-1

　　=（224）2-12=（224+1）（224-1）

　　=（224+1）（212+1）（212-1）

　　=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）

　　∵26+1=65为整数，26-1=63为整数，224+1和212+1都为整数

　　∴

=（224+1）（212+1）（26-1）为整数。

=（224+1）（212+1）（26+1）也为整数。

　　∴248-1被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。

　　说明：

此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式。

将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1的因式，26+1=65，及出现26-1=63。

因为23+1=9，23-1=8，这两个数已经不符合本题的要求了。

　　例8．求证：

任意两个连续整数之积是2的倍数，

　　证明：

设这两个连续整数分别为n和n+1

　　则这两个连续整数之积为：

n（n+1）

（1）如果n为偶数，可设n=2k（k为整数）

　　则n（n+1）=2k（2k+1）

　　∴

=k（2k+1）

　　∵k为整数，∴k（2k+1）为整数

　　∴n（n+1）是2的倍数

（2）如果n为奇数，可设n=2k+1（k为整数）

　　则n（n+1）=（2k+1）（2k+1+1）=（2k+1）（2k+2）=2（2k+1）（k+1）

　　∴

=（2k+1）（k+1）

　　∵k为整数，∴（2k+1）（k+1）也为整数

　　∴n（n+1）是2的倍数

　　∴任意两个连续整数之积是2的倍数。

　　注：

本题的证明，主要是明确以下几点：

（1）连续整数的表示法，注意数之间差为1，

（2）2的倍数是什么意思；即被2整除，也就是说除以2所得的商是一个整数。

　　（3）要进行分类讨论，将n分为偶数和奇数来进行讨论。

　　例9、分解因式：

（1）x2+6ax+9a2　　

（2）-x2-4y2+4xy　　（3）9（a-b）2+6（a-b）+1

　　分析：

这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。

（1）题的x2=（x）2，9a2=（3a）2，且这两项的符号相同，可写成平方和。

这样x和3a就为公式中的a和b了。

另外6ax正好是2（x）（3a）即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解。

　　解：

（1）x2+6ax+9a2

　　=（x）2+2（x）（3a）+（3a）2

　　=（x+3a）2

　　注：

再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和（3a）2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。

　　分析：

（2）题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+（2y）2]，4xy正好是2（x）（2y）是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式。

注意提取负号时4xy要变号为-4xy。

　　解：

（2）-x2-4y2+4xy

　　=-（x2-4xy+4y2）

　　=-[x2-2（x）（2y）+（2y）2]

　　=-（x-2y）2

　　分析：

（3）题9（a-b）2+1可写成平方和[3（a-b）]2+12，就找到公式中的a和b项为3（a-b）和1，6（a-b）正好是2×3（a-b）×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。

　　解：

（3）9（a-b）2+6（a-b）+1

　　=[3（a-b）]2+2×3（a-b）×1+12

　　=[3（a-b）+1]2

　　=（3a-3b+1）2

　　例10、分解因式：

（1）a4x2-4a2x2y+4x2y2

（2）（x+y）2-12（x+y）z+36z2　　　（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16

　　（4）

（x2-2y2）2-2（x2-2y2）y2+2y4

　　分析：

（1）题有公因式x2应先提取出来，剩余因式（a4-4a2y+4y2）正好是（a2-2y）2

　　解：

（1）a4x2-4a2x2y+4x2y2

　　=x2（a4-4a2y+4y2）

　　=x2[（a2）2-2（a2）（2y）+（2y）2]

　　=x2（a2-2y）2

　　分析：

（2）中可将（x+y）看作一个整体，那么这个多项式就相当于（x+y）的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a和b分别为（x+y）和（6z），中间项-2ab为-2（x+y）（6z），正好适合完全平方公式。

　　解：

（x+y）2-12（x+y）z+36z2

　　=（x+y）2-2（x+y）（6z）+（6z）2

　　=（x+y-6z）2

　　注：

此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项（或一部分）作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。

如此题中将（x+y）代换完全平方公式中的a，6z换公式中的b。

　　分析：

（3）的题型与

（2）题相同，只不过公式中的a和b为x2+4x和4，分解为（x2+4x+4）2后再将x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。

　　解：

（x2+4x）2+8（x2+4x）+16

　　=（x2+4x）2+2（x2+4x）×4+42

　　=（x2+4x+4）2

　　=[（x+2）2]2=（x+2）4

　　分析：

（4）题把x2-2y2和y2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数

提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。

注意分解到不能分解为止。

　　解：

（x2-2y2）2-2（x2-2y2）y2+2y4

　　=

[（x2-2y2）2-4（x2-2y2）y2+4y4]

　　=

[（x2-2y2）2-2（x2-2y2）（2y2）+（2y2）2]

　　=

（x2-2y2-2y2）2

　　=

（x2-4y2）2

　　=

[（x+2y）（x-2y）]2

　　=

（x+2y）2（x-2y）2

　　例11、分解因式：

（1）9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+b）2

（2）3a4-6a2+3　（３）an+1+an-1-2an　　（4）（m2+n2+1）2-4m2n2

　　分析：

（1）题中的9（a-b）2=[3（a-b）]2，

　　4（a+b）2=[2（a+b）]2而中间项

　　12（a2-b2）=12（a+b）（a-b）=2×3（a-b）×2（a+b）

　　正好是公式中的2ab项。

　　解：

（1）9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+ｂ）2

　　＝[3（a-b）]2+12（a+b）（a-b）+[2（a+b）]2

　　=[3（a-b）]2+2×3（a-b）×2（a+b）+[2（a+b）]2

　　=[3（a-b）+2（a+b）]2

　　=（3a-3b+2a+2b）2

　　=（5a-b）2

　　分析：

（2）此题的三项式可看作a2的二次三项式,且应先提取公因式3，再用公式进行分解。

　　解：

（2）3a4-6a2+3　　　　　　　

　　=3（a4-2a2+1）　　　

　　=3（a2-1）2　

　　=3[（a+1）（a-1）]2

　　=3（a+1）2（a-1）2

　　注：

应用完全平方公式后注意再将因式a2-1再用平方差公式分解。

注意用积的乘方法则。

　　分析：

（3）题有公因式an-1，先提取公因式再用公式。

注意先按降幂排列好顺序。

　　解：

（3）an+1+an-1-2an

　　=an+1-2an+an-1

　　=an-1（a2-2a+1）

　　=an-1（a-1）2

　　分析：

（4）题是一个二项式，符合平方差公式。

用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差公式。

　　解：

（4）（m2+n2-1）2-4m2n2

　　=（m2+n2-1+2mn）（m2+n2-1-2mn）

　　=[（m2+2mn+n2）-1][（m2-2mn+n2）-1]

　　=[（m+n）2-12][（m-n）2-12]

　　=（m+n+1）（m+n-1）（m-n+1）（m-n-1）

　　例12：

分解因式：

（m2-1）（n2-1）+4mn.

　　分析：

将（m2-1）（n2-1）展开得m2n2-m2-n2+1=（m2n2+1）-（n2+m2）可将m2n2+1与n2+m2均配成完全平方则可用平方差公式分解。

　　解：

（m2-1）（n2-1）+4mn

　　=（m2n2-m2-n2+1）+4mn

　　=（m2n2+1）-（n2+m2）+4mn

　　=（m2n2+2mn+1）-（m2-2mn+n2）

　　=（mn+1）2-（m-n）2

　　=（mn+1+m-n）（mn+1-m+n）

运用公式法

　　中考考点　

　　1．理解因式分解的平方差公式、完全平方公式、立方和（差）公式的意义。

　　2．掌握每个公式的特点，并能熟练运用公式将多项式进行因式分解。

　　考点讲解　

　　利用因式分解与整式乘法之间的关系，把乘法公式反过来，就是因式分解的公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式，难点是灵活运用公式进行因式分解。

　　1．平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）　

　　其特点是：

①多项式为二项式。

②两项符号相反。

③每项都可以化为某数或某式的平方的形式。

　　2．完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2。

　　其特点是：

①多项式为三项式；②两项同号且能写成某数或某式的完全平方的形式；③另一项是这两项写成的某数或某式的积的2倍，符号可正可负。

　　3．考察运用公式法进行因式分解这部分知识，比较简单的题型是直接运用公式，

　　如：

①分解因式：

x3-8，x2+4x+4，x2-64等；

　　②填空：

x2+　　x+64=（x+　　）2，　27x3+　　=（　　+2）2（9x2-　　　+　　）等。

　　比较复杂的题型是几个公式的混合多次运用，如分解因式：

a6-b6等，这就要求同学们要掌握每个公式的特点。

在应用时应注意：

①各项有公因式时，应先提因式；②熟记1——20的平方数；③完全平方公式有两个，是加是减看中间项符号；④立方和（差）公式的结果中，右边第二个因式的中间项的符号与第一个因式第二项的符号相反。

　　考题例析　

　　1．（贵阳市）．因式分解：

x2-4y2=　　　　　　　　　　.　

　　考点：

公式法因式分解　

　　评析：

要正确使用公式，注意先将多项式转化为公式并分解，即x2-4y2=x2-（2y）2=（x+2y）（x-2y）。

　　2．（长沙市）分解因式：

ma2+2ma+m=　　　　　　　　　　　.　

　　考点：

提公因式，公式法分解因式。

　　评析：

对于三项式的因式分解，首先观察有无公因式，提出公因式后，再观察是否符合完全平方公式或十字相乘法，直至不能再分解为止。

　　答案：

m（a+1）2　

　　3．（河北省）分解因式：

=_____________________。

　　考点：

提公因式、公式法因式分解　

　　评析：

思路先提出公因式2xy，剩下的是符合完全平方公式的二次三项式，然后利用完全平方公式可分解彻底。

　　答案：

2xy（x+2y）2　

　　4．（北京市东城区）分解因式：

2a3b+8a2b2+8ab3=_________________;　

　　考点：

公式法分解因式　

　　评析：

因多项式是三项多项式，所以若有公因式先提公因式，剩余的三项可用完全平方公式或十字相乘法分解，此题用完全平方公式法分解。

　　答案：

2ab（a+2b）2　　　　

　　5.（辽宁）方程2x（x-3）=5（x-3）的根为（　　）　

　　A、x=

;　　B、x=3;　　C、x1=3,x2=

;　　D、x=-

　　考点：

因式分解，解方程　

　　评析：

此题是一道解一元二次方程的问题，在解方程的过程中，如果用因式分解来解的话，会很容易求出解的。

具体步骤如下：

　　解：

因为2x（x-3）=5（x-3）　

　　所以2x（x-3）-5（x-3）=0　

　　即（x-3）（2x-5）=0　

　　解得：

x1=3，x2=

　　答案：

C　

　　真题实战　

　　1．（苏州市）分解因式：

ma2-4ma+4m=　　　　　　　　　。

　　答案：

m（a-2）2　

　　2．（扬州市）分解因式：

　　　　　　　　。

　　答案：

x3（x+1）（x-1）　

　　3．（石家庄市）等式

成立的条件是　　　　　　　。

　　答案：

a=0或b=0

　　4．（山西省）下列各式中，正确的是（　　）　

　　A．a2+2ab+4b2=（a+2b）2　　　　B．（0.1）-1+（0.1）0

　　C．

　　　　　　D．a3+b3=（a+b）（a2+ab+b2）　

　　答案：

C　

　　5．（昆明）x2-x+_________=（x-

）2。

　　答案：

　　6．（石家庄）分解因式：

a2+4b2-4ab-c2=______.　

　　解：

a2+4b2-4ab-c2=（a-2b）2-c2=（a-2b+c）（a-2b-c）　

　　答：

应填（a-2b+c）（a-2b-c）

　　7．（河北省）选择题：

分解因式x4-1的结果为（　）　

　　A、（x2-1）（x2+1）　　　B、（x+1）2（x-1）2　　

　　C、（x-1）（x+1）