北师大版八年级上第一章勾股定理导学案.docx

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北师大版八年级上第一章勾股定理导学案

1.1探索勾股定理

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程．

2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系．

【重点难点】

1、了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题．

2、勾股定理的发现．

知识概览图

勾股定理的内容：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2

a2=c2-b2

b2=c2-a2

新课导引

【问题链接】如右图所示的是正方形瓷砖拼成的地面的示意图，观察图中阴影部分，很显然，两个小正方形P，Q的面积之和等于大正方形R的面积，即AC2+BC2＝AB2，这说明在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方．在一般直角三角形中，两条直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?

【点拨】对于任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这就是本节要学习的．

教材精华

知识点1勾股定理

如图1-l所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形，通过观察、探索，发现正方形面积之间存在这样的关系：

C的面积＝B的面积+A的面积．现将面积问题转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理．

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2＝c2．

拓展

（1）由勾股定理的基本关系式a2+b2＝c2还可得到一些变形关系式，如：

a2＝c2-b2＝（c+b）（c-b），b2＝c2-a2＝（c+a）（c-a）等．

（2）在方格中，利用数格子计算面积的方法判断：

①在钝角三角形中，三边长分别为a，b,c，c为最大边长，则a2+b2＜c2；②在锐角三角形中，三边长分别为a,b,c，则a2+b2＞c2．

知识点2勾股定理的证明

如图1-2所示，将四个全等的直角三角形拼成正方形．

（1）如图l-2

（1）所示，S正方形ABCD＝（a+b）2＝c2+4×

ab，所以a2+b2＝c2．

（2）如图l-2

（2）所示，S正方形EFGH＝c2＝（a-b）2+4×

ab，所以c2＝a2+b2．

如图1-3所示，将两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形．S梯形ABCD＝

＝2×

ab+

c2，所以a2+b2＝c2．

规律方法小结

（1）数形结合思想：

把问题中有关数的关系转化为图形的关系来解决．

（2）方程思想：

列方程解决问题．

（3）割补方法：

由图形的分割或补充，寻找题目中条件与结论的联系，进一步得出结论，．

课堂检测

基础知识应用题

1、在△ABC中，∠C＝90°．

（1）若a＝8，b＝6，求c；

（2）若c＝41，b＝40，求a．

2、如图1-4所示，某人欲横渡一条河，由于水流影响，实际上到达的地点C偏离欲到达地点B24m，结果他在水中实际游了40m，求该河流的宽度．

综合应用题

3、有一根70cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm，30cm，40cm的木箱中，能放进去吗?

4、如图1-9所示，A，B两点都与平面镜相距4米，即AC＝BD＝4米，且A，B两点相距6米，即AB＝6米，一束光由A点射向平面镜，反射之后恰好经过B点，求B点与入射点的距离．

5、如图1-10所示，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?

若楼梯宽2米，每平方米地毯需30元，那么买这块地毯需花多少元?

探索创新题

6、在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，若∠C=90°，如图1-12

（1）所示，根据勾股定理，得a2+b2=c2；若△ABC不是直角三角形，如图1-12

（2）（3）所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2大小关系，并说明你的结论．

体验中考

1、已知直角三角形两边长为3和4，则第三边长为．

2、如图l-13所示，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高线，若AB＝5cm，BC＝6cm，则AD＝cm．

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析本题考查勾股定理及其变式的简单应用．

解：

在△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2．

（1）∵a2+b2＝c2，∴c2＝a2+b2＝82+62＝64+36＝100，∴c＝10．

（2）∵a2+b2＝c2，∴a2＝c2-b2＝412-402＝（41+40）（41-40）＝81，

∴a＝9，

规律．方法已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是弄清已知什么边长，求什么边长，用平方和还是用平方差．若用平方差，则注意运用平方差公式，使计算简便．

2、解：

如图1-4所示，∵∠ABC＝90°，

∴由勾股定理，得AB2＝AC2-BC2，

即AB2＝402-242＝1024，∴AB＝32，

∴该河流的宽度为32m．

3、分析由于木棒长为70cm，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．

解：

能放进去．理由如下：

如图l-6所示，连接A1C1，AC1，

在Rt△A1BlCl中，

A1C12＝A1Bl2+B1C12＝502+302＝3400．

在Rt△AA1C1中，

ACl2＝AAl2+AlC12＝402+3400＝5000，

∵5000＞702，∴AC1＞70（cm）．

∴70cm长的木棒能放入这个木箱中．

【解题策略】解决此题的关键在于明确ACl的长即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各相邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养空间想象力．

4、分析解决此题的关键是找出入射点O，利用光的反射知识及轴对称知识，可找到入射点O，再运用勾股定理进行求解．

解：

作出B点关于CD的对称点B′，

连接AB′，交CD于O点，则O点就是光的入射点，连接OB．

∵AC＝BD，∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC＝∠BOD，

∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD＝

AB＝3米．

在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，∴OB2＝32+42＝25，∴OB＝5（米）．

即B点与入射点的距离是5米．

【解题策略】勾股定理在日常生活中应用广泛，涉及许多知识，必须融会贯通，灵活运用．

5、分析从表面上看，每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度和为AC的长，竖直方向的长度和为BC的长，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出AC的长，再求AC+BC即可．

解：

在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，

∴AC2＝AB2-BC2＝52-32＝16，∴AC＝4（米）．

∴地毯长度为AC+BC＝4+3＝7（米），

∴地毯的总面积为7×2＝14（平方米），

∴需花30×14＝420（元）．

6、解：

若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；若△ABC为钝角三角形（∠C为钝角），则有a2+b2＜c2．理由如下：

（1）当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a-x.

根据勾股定理，得b2-x2＝c2-（a-x）2，即b2-x2＝c2-a2+2ax-x2,

∴a2+b2＝c2+2ax．

∵d＞0，x＞O，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．

（2）当△ABC是钝角三角形时（∠C为钝角），过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D．设CD＝x，则BD2＝a2-x2．

根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2，即b2+2bx+x2+a2-x2＝c2，

∴a2+b2+2bx＝c2．

∵b＞0,x＞0,∴2bx＞0．∴a2+b2＜c2．

【解题策略】通过作辅助线构造直角三角形，设未知数，运用勾股定理列方程，

休现了几何知识代数化的解题方法和数形结合的思想．

体验中考

1、分析直角三角形中已知两边长求第三边长，显然要用勾股定理，不过第三边不一定是斜边，所以要分情况讨论．①当第三边为斜边时，32+42＝52，第三边长为5；②当4为斜边长时，42-32＝7，所以第三边长为

.故填5或

.

2、分析在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝

BC＝

×6＝3（cm）．在Rt△ABD中，AD2＝AB2-BD2＝52-32＝16，∴AD＝4（cm）．故填4．

规律·方法解决等腰三角形中线段长的问题常利用“三线合一”转化为直角三角形，然后利用勾股定理求解．

1.2能得到直角三角形吗

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用．

2、进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．

3、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．

【重点难点】

1、探索并掌握直角三角形的判别条件．

2、运用直角三角形判别条件解题．

知识概览图

内容：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形

勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数

新课导引

【问题链接】小明的爸爸为了画直角三角形，找来了长度分别为12cm，40cm的两条线，采用固定三边的方法，画出了两个图形，如下图所示，小明的爸爸所画的两个三角形是直角三角形吗?

怎样判定一个三角形是直角三角形呢?

点拨它们都是直角三角形．判定方法就是本节要学习的内容了．

教材精华

知识点1勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

拓展

（1）勾股定理与其逆定理的关系：

勾股定理是已知直角三角形，得到三边长的关系，它是直角三角形的重要性质之一；而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形，这是直角三角形的判定，也是判断两直线垂直的方法之一，二者的条件和结论刚好相反．

（2）勾股定理的逆定理的延伸：

如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；如果a2+b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形；如果a2+b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形．

（3）勾股定理的逆定理的应用：

应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形．在实际应用时，可用较小两边长的平方和与较长边长的平方作比较（数较大时，运用平方差公式计算较为简便），若它们正好相等，则三角形为直角三角形，且较长边所对的角为直角．

知识点2勾股数

满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

拓展

（1）对于任意两个正整数m，n（m＞n＞0），m2+n2，m2-n2和2mn这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组．

（2）常见的勾股数组有：

①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9,2，15。

应熟记．

（3）3，4，5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为凡是三个连续整数都是勾股数．

（4）每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数．

课堂检测

基础知识应用题

1、判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形．若是，请指出哪个角是直角．

（1）在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；

（2）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝6；

（3）一个三角形三边长a，b，c满足a2-b2＝c2．

2、若△ABC的三边长a，b，c满足条件a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状．

综合应用题

3、如图1-24所示，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．

4、如图1-25所示，在正方形ABCD中，E是BC边的中点，F在AB上，且BF＝

AB．

（1）请你判断EF与DE的位置关系，并说明理由；

（2）若此正方形的面积为16，求DF的长.

5、甲、乙两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道甲船沿东北方向航行，你能知道乙船沿哪个方向航行吗?

探索创新题

6、古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2-1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为对吗?

如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?

体验中考

1、如图1-27所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．

（1）试说明B′E＝BF；

（2）设AE＝a，AB＝b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并说明理由。

2、已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）

A．21B．15C．6D．以上答案都不对

学后反思

附：

课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、解：

（1）因为AC2+BC2＝122+162＝400，AB2＝400，

所以AC2+BC2＝AB2，

所以△ABC是直角三角形，AB边所对的∠C是直角．

（2）因为AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝36，所以AC2+BC2≠AB2，

所以△ABC不是直角三角形．

（3）因为a2-b2＝c2，所以a2＝b2+c2，

所以这个三角形是直角三角形，且长为a的边所对的角是直角．

【解题策略】因为题目中所给条件是与三角形的边长有关的，所以可利用勾股定理的逆定理进行判断．注意要计算两条较小边长的平方和是否等于较长边长的平方．

2、分析由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．

解：

由已知得a2+b2+c2-12a-16b—20c+200＝0，

∴（a2-12d+36）+（b2-16b+64）+（c2-20c+100）＝0，

∴（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2＝0．

∵（a-6）2≥0，（b-8）2≥0，（c-10）2≥0，

∴a-6＝0，b-8＝0，c-10＝0，∴a＝6，b＝8，c＝10，

∴a2+b2＝62+82＝36+64＝100＝102＝c2，

∴△ABC是直角三角形．

【解题策略】在此类题中，要判断的三角形一般都是特殊的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形．解这类题时，要善于把已知的条件等式变形（配方或因式分解等），另外注意全面考虑问题．

3、分析由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，想到连接AC，则Rt△ABC的面积可求，且可求出AC的长．在△ACD中，三边长已知，利用勾股定理的逆定理判断可知其是直角三角形，面积可求．

解：

连接AC．∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5．

在△ACD中，AC2+CD2＝52+122＝25+144＝169，

而AD2＝132＝169，∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．

∴S△ABC＝

×3×4＝6，S△ACD＝

×5×12＝30，

∴四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD＝36．

【解题策略】本题综合运用了勾股定理及其逆定理．将不规则图形转化为规则图形是常用的解题方法．在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意：

如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是不是直角三角形．

4、分析平面内不重合的两直线的位置关系有两种：

平行和相交，EF和DE都过E点，说明它们相交，若只考虑相交还不够，需考虑相交的特殊情况——垂直，从图中观察EF与DE是垂直的，设正方形边长为a，利用勾股定理，用含a的代数式分别表示DE2，EF2，DF2，再利用勾股定理的逆定理判定△DFE为直角三角形，由此得到DE⊥EF.

解：

（1）EF⊥DE.理由如下：

设正方形边长为a，

则AD＝DC＝a，AF＝

a，BF＝

a，BE＝EC＝

a．

在Rt△DAF中，DF2＝AD2+AF2＝a2+（

a）2＝a2+

a2＝

a2．

在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝a2+（

a）2＝a2+

a2＝

a2．

在Rt△EFB中，EF2＝FB2+BE2＝（

a）2+（

a）2＝

a2+

a2＝

a2．

∵DE2+EF2＝

a2+

a2＝

a2＝DF2，

∴△DFE为直角三角形，∠DEF＝90°，∴EF⊥DE．

（2）∵正方形的面积为16，

∴a2＝16．

∵DF2＝

a2＝

×16＝25，∴DF＝5．

【解题策略】此题考查的是勾股定理与其逆定理的综合运用，也可以用相似三角形的知识去解．

5、分析根据题意画出图1-26，由于甲船的航向已知，若能求出两船航向所成的角，就能知道乙船的航向了．

解：

如图1-26所示，PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里）．

因为242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，

所以∠QPR＝90°．

又因为∠QPS＝45°，所以∠RPS＝45°，

即乙船沿西北方向航行．

同理，乙船也可能沿东南方向航行．

所以乙船沿西北或东南方向航行．

【解题策略】由勾股定理的逆定理，我们得到了∠QPR的度数，从而求得了乙船的航向．

6、分析显然c最大，只要验证a2+b2＝c2是否成立即可．

解：

对，理由如下：

当m＞1且m为整数时，c-a＝m2+1-2m＝（m-1）2＞0，则c＞a，又c-b＝（m2+1）-（m2-1）＝2＞0，则c＞b，从而得知c最大．

a2+b2＝（2m）2+（m2-1）2＝4m2+m4-2m2+1＝m4+2m2+1＝（m2+1）2＝c2，即a2+b2＝c2．又由题意知a，b，c均为正整数，

所以a，b，c为勾股数．

当m＝2时，a＝4，b＝3，c＝5；

当m＝3时，a＝6，b＝8，c＝10；

当m＝4时，a=8，b＝15，c＝17；

……

体验中考

1、解：

（1）由题意得B′F=BF，∠B′FE＝∠BFE，

在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠B′EF＝∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，

∴B′F＝B′E．∴B′E＝BF．

（2）a，b，c三者存在的一种关系是a2+b2＝c2．理由如下：

连接BE，则BE=B′E，

由

（1）知B′E＝BF=c，由已知AE2+AB2＝BE2．

∵AE＝a，AB＝b，∴a2+b2＝c2．

【解题策略】a，b，c三者之间的关系不唯一，还可以是：

a，b，c三者存在的一种关系是a+b＞c．理由如下：

连接BE，则BE＝B′E，由

（1）知B′E＝BF＝c,∴BE＝c，在△ABE中，AE+AB＞BE，∴a+b＞c．

2、分析此题分两种情况．△ABC为钝角三角形．当∠BAC为钝角时，可利用勾股定理求出BD＝15，CD＝6，所以BC＝BD+CD＝21．当∠ACB为钝角时，D在BC的延长线上，可利用勾股定理求出BD＝15，CD＝6，所以BC＝BD-CD＝9．故选D．

1.3蚂蚁怎样走最近

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题．

2、学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．

3、在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．

【重点难点】

1、探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．

2、利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．

知识概览图

验证

应用

直角三角形的判定一勾股定理的逆定理一应用

新课导引

【问题链接】如右图所示，一架25米长的云梯AB斜靠在一面墙上，梯子底端B距墙脚O为7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米到C，则梯子的底部在水平方向上是否也滑动4米呢?

【点拨】图中有两个直角三角形，运用勾股定理可建立这两个直角三角形的边的关系．梯子在滑动前后的长度是不变的．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，BO＝7，AB＝25，AO2＝AB2-BO2＝252-72＝576，∴AO＝24，∴CO=AO-AC＝24-4＝20．在Rt△COD中，OD2＝DC2-OC2＝252-202＝225，∴OD＝15，∴BD＝OD-OB＝15-7＝8（米），∴梯子的底部在水平方向上滑动了8米．

教材精华

知识点应用勾股定理解决实际问题

（1）解决两点距离问题：

正确画出图形，已知直角三角形两边长，利用勾股定理求第三边长．

（2）解决航海问题：

理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用勾股定理或其逆定理解题．

（3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：

以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题．

（4）解决折叠问题：

正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题．

（5）解决梯子问题：

梯子架到墙上，梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题．

（6）解决侧面展开问题：

将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题．

规律方法小结运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活运用所学的知识．其中利用勾股定理列方程是常用方法之一．

课堂检测

基础知识应用题

1、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，则梯子最短需多少米?

2、节日庆典，需用彩灯装饰人民广场内的圆柱形建筑物，已知它的高为5米，底面周长为2米，用彩灯环绕6周正好到达建筑物的顶端，则彩灯的长度至少是多少米?

综合应用题

3、如图1-37所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．

4、在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处（认为是沿直线跃），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树有多高?

探索创新题

5、如图l-39所示，直线MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路的垂直距离分别为AA1＝20km，BB1＝40km，已知A1B1＝80km，现要在A1B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定P点位置，并求这个最短距离．

体验中考

1、如图1-43所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD＝90°，且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是.

2、如图1-44所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环，该圆环的面积为.

3、“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图1-45所示是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角