高考真题汇编理科数学解析版14推理与证明1560.docx
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高考真题汇编理科数学解析版14推理与证明1560
2012高考真题分类汇编：
推理与证明
1.
【
2012
高
考
真
题
江
西
理
6
】
观察
下
列
各
式
：
a
b
1,a2
b2
3,a3
b3
4,a4
b4
7,a5
b5
11,
则a10
b10
A．28
B．76
C．123
D．199
【答案】C
【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。
【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即
anan1
an2，所以可推出a10123，选C.
2.【2012高考真题全国卷理12】正方形ABCD的边长为
1，点E在边AB上，点F在边BC上，
AE＝BF＝
7
.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反
3
弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12（D）10
【答案】B
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是
平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.
3.【2012高考真题湖北理
10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：
置积尺数，
以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径
.“开立圆术”相当于给出了已知球的
体积V，求其直径d的一个近似公式
d
316V.人们还用过一些类似的近似公式
.根据
9
π=3.14159
判断，下列近似公式中最精确的一个是
11.
3
16
V
B．d
3
2V
C．d
3
300
V
D．d
3
21
V
d
9
157
11
【答案】D
【解析】
由
4
d3
36V
设选项中常数为
a
则
6b
6
9
，
V
（
）
，得
d
=
；中代入得
=
b
A
=3.375
3
2
a
16
中代入得
=
61
，C中代入得
=
6157
中代入得
=
6
11
，
B
2
=3
=3.14,D
21
=3.142857
300
由于D中值最接近的真实值，故选择D。
4.【2012高考真题陕西理
11】观察下列不等式
1
1
3
22
2
1
1
1
5
，
22
33
3
1
1
1
1
7
22
32
42
4
⋯⋯
第-1-
页共6
页
照此规律，第五个不等式为.
．．．
1
1
1
1
1
11
【答案】1
2
32
42
52
62
.
2
6
【解析】通过观察易知第五个不等式为
1
1
1
1
1
11
1
2
32
42
52
62
.
2
6
5.【2012高考真题湖南理16】设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,⋯，xN依次放入编号为
1,2，⋯，N的N个位置，得到排列P0=x1x2⋯xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，
并按原顺序依次放入对应的前
N
和后N个位置，得到排列
P1=x1x3⋯xN-1x2x4⋯xN，将此操作称
2
2
为C变换，将P分成两段，每段
N
个数，并对每段作
C变换，得到p2；当2≤i≤n-2时，
1
2
N
i
将Pi分成2
段，每段2i个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，
此时x
位于P中的第4个位置.
7
2
（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.
【答案】
（1）6；
（2）32n
4
11
【解析】
（1）当N=16时,
P0
x1x2x3x4x5x6
x16,可设为（1,2,3,4,5,6,,16）,
P1
x1x3x5x7
x15x2x4x6
x16,即为（1,3,5,7,9,
2,4,6,8,
16）,
P2
x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6
x16,即（1,5,9,13,3,7,11
15,2,6,
16）,x7位于P2中的第6个
位置,；
（2）方法同（
1）,归纳推理知x
173
位于P中的第3
2
n4
11个位置.
4
【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力
.
需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题
.
6【.
2012高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．
如22，121，
3443，94249等．显然2位回文数有
9个：
11，22，33，⋯，99．3位回文数有90个：
101，111，
121，⋯，191，202，⋯，999．则
（Ⅰ）4位回文数有
个；
（Ⅱ）2n
1（n
N）位回文数有
个．
【答案】90，9
10n
【解析】（Ⅰ）4
位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为
0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以
4位回文数有91090种。
答案：
90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，
2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，
所以可以算出2n+2位回文数的个数。
2n+2位回文数只用看前
n+1位的排列情况，第一位不能
第-2-页共6页
为0有9种情况，后面
n项每项有10
种情况，所以个数为9
10n.
法二、可以看出
2位数有
9个回文数，3位数90
个回文数。
计算四位数的回文数
是可以看出在2位数的中间添加成对的
“00,11,22,⋯⋯99”，因此四位数的回文数有
90个
按此规律推导
而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加
0~9
这十
个数，因此
则答案为9
10n.
7.【2012高考真题北京理
20】（本小题共
13分）
【答案】解：
（1）由题意可知r1A
1.2，r2A
1.2，c1A
1.1，c2A
0.7，c3A1.8
∴kA0.7
（2）先用反证法证明kA≤1：
若kA1
则|c1A||a
1|a11，∴a0
同理可知b
0，∴ab0
由题目所有数和为
0
即a
b
c
1
∴c
1
a
b
1
与题目条件矛盾
∴kA≤1．
易知当ab0时，kA1存在
∴kA的最大值为1
（3）kA的最大值为2t
1
.
t
2
首先构造满足k（A）
2t
1的A
{ai,j}（i
1,2,j
1,2,...,2t1）：
t
2
t
1，
a1,1a1,2...a1,t
1,a1,t1a1,t
2...
a1,2t1
t
2
第-3-页共6页
a
a...
a
t2
t
1
a
a
2
...
a
1.
2,12,2
2,t
t（t
2）
2,t1
2,t
2,2t1
经计算知，A中每个元素的绝对值都小于
1，所有元素之和为0，且
|r1（A）||r2（A）|2t1，
t
2
|c1（A）|
|c2（A）|
...
t2
t1
1
t
1
2t
1
|ct（A）|1
2）
t
2
t
，
t（t
2
|ct
1（A）||ct2（A）|...
|c2t1（A）|1
t
1
2t
1
t
2
.
t2
下面证明2t
1
是最大值.
若不然，则存在一个数表A
S（2,2t
1），使得
t
2
k（A）
2t
1
x
.
t
2
由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于
x，而两个绝对值不超过
1的
数的和，其绝对值不超过
2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间
[x,2]中.由于x
1，
故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于
x
1.
设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g
h，则g
t,h
t1.
另外，由对称性不妨设
A的第一行行和为正，第二行行和为负.
考虑A的第一行，由前面结论知
A的第一行有不超过
t个正数和不少于
t1个负数，每
个正数的绝对值不超过
1（即每个正数均不超过
1），每个负数的绝对值不小于
x
1（即每个
负数均不超过
1
x）.
因此
|r1（A）|
r1（A）
t
1
（t
1）（1
x）2t
1
（t
1）x
x
2t1
（t
2）x
x，
故A的第一行行和的绝对值小于
x，与假设矛盾.因此k
A的最大值为2t
1。
t
2
8.【2012高考真题湖北理】（本小题满分14
分）
（Ⅰ）已知函数
f（x）
rx
xr
（1
r）（x
0），其中r为有理数，且0r
1.求f（x）的
最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设a10,a2
0
，b1,b2为正有理数.若b1
b2
1
b
a2
b
a1b1a2b2；
，则a11
2
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归
纳法证明你所推广的命题.
．．．．．
注：
当为正有理数时，有求导公式
（x）
x
1.
【答案】（Ⅰ）f（x）
r
r1
r1
），令f（x）
0
，解得x
1.
rx
r（1x
第-4-
页共6
页
当
0
x
时，f（x）
0，所以f（x）在（0,1）内是减函数；
1
当x
1
时，f
（x）
0，所以f（x）在（1,
）内是增函数.
故函数f（x）在x
1
处取得最小值
f
（1）
0.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
x
（0,
）时，有f（x）
f
（1）
r
（1
r）
①
0，即xrx
若a1
，a2
中有一个为
0，则a1
b
b
a1b1
a2b2成立；
1
a22
若a1
，
a2
均不为
0，又
bb1
，可得
b1b
，于是
1
2
2
1
在①中令x
a1，r
b1，可得（a1）b1
b1
a1
（1
b1），
a2
a2
a2
b
1b
a1b1
a2（1
b
b
a1b1
a2b2.
即a1
1a2
1
b1），亦即a11a2
2
综上，对
a1
0,a2
0
，
b1
，
b2
为正有理数且
b1
b21
b1
a
b2
②
1
2
11
22
，总有a
ab
ab.
（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：
设a1,a2,
an为非负实数，b1,b2,
bn为正有理数.
若b1
b2
bn1
bb
b
a1b1
a2b2
anbn.
③
，则a1
1a22
ann
用数学归纳法证明如下：
（1）当n
1时，b1
1，有a1
a1，③成立.
（2）假设当nk时，③成立，即若
a1,a2,
ak为非负实数，b1,b2,
bk为正有理数，
且b1
b2
bk1
bb
b
a1b1
a2b2
akbk.
，则a1
1a22
ak
k
当n
k
1时，已知
a1,a2,
ak,ak
1为非负实数，
b1,b2,,bk,bk1为正有理数，
且
b1
b2
bk
bk
1
b
b
b
b
k11
b
b
a11
a2
2
akk
ak
（a1
1a22
1，此时
b
b
11
ak
k
）ak
k
0bk1
1，即1
bk
1
0
，于是
b1
b2
bk
1b
1
b
1b
1
b
b
=（a1k1
a2
k1
ak
k1
）
k1akk11.
因
b1
b2
1
bk1
1bk1
b1
b2
bk
a
1bk1
a1bk1
a1bk1
1
2
k
从而a1b1a2b2akbkakbk11
bk
1，由归纳假设可得
1
bk1
a1
b1
b2
bk
a1b1a2b2
akbk
，
a2
ak
1bk1
1bk1
1bk1
1bk1
1
bk1
a1b1
a2b2
akbk
akbk11.
1
bk1
又因（1bk1）bk11，由②得
第-5-页共6页
1bk1
a1b1
a2b2
bk1
akbk
akbk11
a1b1
a2b2
akbk
（1bk1）ak1bk1
1
1
bk1
a1b1
a2b2
akbk
ak1bk1，
b
b
b
b
a2b2
akbk
ak1bk1.
从而a1
1a22
ak
kakk11a1b1
故当n
k
1时，③成立.
由
（1）
（2）可知，对一切正整数
n，所推广的命题成立.
说明：
（Ⅲ）中如果推广形式中指出
③式对n2成立，则后续证明中不需讨论
n1的情况.
9.【2012高考真题福建理17】（本小题满分
13分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.
（1）sin213°+cos217°-sin13°c
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