江苏省届高三数学第二次模拟考试试题.docx
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江苏省届高三数学第二次模拟考试试题
高三数学第二次模拟考试试题
（满分160分，考试时间120分钟）
参考公式：
圆锥的侧面积公式：
S=nrl，其中r为圆锥底面圆的半径，I为圆锥的母线长.
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1.已知集合A=｛x|x=2k+1,k€Z｝,B=｛x|x（x—5）v0｝，贝UAAB=.
2
2.已知复数z=1+2i，其中i为虚数单位，则z的模为.
3.
（第3题）
如图是一个算法流程图，若输出的实数y的值为一1，则输入的实数x的值为
TifFl
/产
输九jr/
/愉版/
[
輪瀬1
4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，
统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：
个），并绘制了如图频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有个.
5.从编号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二
次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为.
a
3
6.已知函敬f（x）是定义在R上的奇函敷，且周期为2,当x€（0,1］时，f（x）=x+
，贝Uf（a）的值为.
图象与f（x）的图象关于x轴对称，则0的最小值为.
8.在厶ABC中，AB=25,AC=.5，/BAC=90°，则△ABC绕BC所在直线旋转一周所
形成的几何体的表面积为.
9.已知数列｛an｝为等差数列，数列｛bn｝为等比数列，满足｛a1，a?
，as｝=仙，b?
，bs｝=
｛a，b，—2｝，其中a>0，b>0，则a+b的值为.
10.已知点P是抛物线x2=4y上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（0，-1），则
PF
PA的最小值为.
11.已知x,y为正实数，且xy+2x+4y=41,贝Ux+y的最小值为.
12.在平面直角坐标系xOy中，圆C:
（x—m）2+y2=r2（m>0）.已知过原点0且相互垂
直的两条直线11和丨2,其中丨1与圆C相交于A,B两点，丨2与圆C相切于点D.若AB=0D则直线11的斜率为.
13.在厶ABC中，BC为定长，|忑+2AC|=3|BC|.若厶ABC面积的最大值为2，则边BC
的长为.
1
14.已知函数f（x）=ex—x—b（e为自然对数的底数，b€R）.若函数g（x）=f（f（x）—g
恰有4个零点，则实数b的取值范围是.
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥PABC中，点D,E分别为AB,BC的中点，且平面PDE上平面ABC.
（1）求证：
AC//平面PDE
（2）若PD=AC=2,PE=K,求证：
平面PBCL平面ABC.
16.（本小题满分14分）
在厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+csinB.
（1）求B的值；
177
（2）设/BAC的平分线AD与边BC交于点D.已知AD==,cosA〒，求b的值.
725
17.（本小题满分14分）
如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米•为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB,BD,BE,湖面上的点B在线段AC上，且BD,BE均与圆C相切，切点分别为D,E，其中栈道AB,BD,BE和小岛在同一个平面上.沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道DE记/CBD为0.
⑴用0表示栈道的总长度f（0），并确定sin0的取值范围;
（2）求当0为何值时，栈道总长度最短.
18.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系
xOy中，椭圆
C:
b2
i
=1（a>b>0）的离心率为2，且过点（0,
⑴求椭圆C的方程；
（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形.
1若点B为椭圆C的上顶点，原点O为ARMN的垂心，求线段MN的长;
2若原点OBMN的重心，求原点O到直线MN距离的最小值.
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）
f（x）
=x3—x—（a—16）x,g（x）=alnx,a€R函数h（x）=g（x）的导
x
5
函数h'（x）在【2,
4］上存在零点.
20.（本小题满分16分）
已知无穷数列｛an｝的各项均为正整数，其前n项和为S.记Tn为数列｛an｝的前an项和，即Tn=ai+a2+…+an.
⑴若数列｛an｝为等比数列，且ai=1,S4=5S,求T3的值；
（2）若数列｛an｝为等差数列，且存在唯一的正整数n（n>2），使得T<2，求数列｛an｝的通
an
项公式；
（3）若数列｛Tn｝的通项为Tn=n5]"，求证：
数列｛an｝为等差数列.
高三模拟考试试卷
数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】在A,B,C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分•若多做,
则按作答的前两题计分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
A.（选修42:
矩阵与变换）
1210
已知矩阵M=[],MN=[]•
2101
⑴求矩阵N;
⑵求矩阵N的特征值.
B.（选修44:
坐标系与参数方程）
x=2t,
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为12（t为参数），以原点0为极点，
y=2t
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为pcos（0-n4）八若直线I交
曲线C于A,B两点，求线段AB的长.
C.（选修45:
不等式选讲）已知a>0,求证：
、/a2+右一羽》a+g—2.
【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22.某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满400元的商品即可抽奖一次．抽奖规则如
下：
抽奖者掷各面标有1〜6点数的正方体骰子1次，若掷得点数大于4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球与m（m>2,m€N*）个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球，若2个球均为红球，则获得一等奖；若2个球为1个红球和1个白球，则获得二等奖；否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）．
（1）若4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；
（2）若一等奖可获奖金400元，二等奖可获奖金300元，三等奖可获奖金100元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为X,若商场希望X的数学期望不超过150元，求m的最小值.
23.已知集合几={1,2,…，n},n€N*,n>2,将A的所有子集任意排列，得到一个有序集合组（M1,M,…，M），其中mp2n.记集合M中元素的个数为ak,k€N*,k（1）当n=2时，求a1+a2+・・・+am的值；
（2）利用数学归纳法证明：
不论n（n>2）为何值，总存在有序集合组（M1,M,…，M）,
满足任意i€N,iwm—1，都有|ai—ai+1|=1.
数学参考答案及评分标准
12.±攀
9
25.
3
（5+5）=
由匹=亠_所以ab=ad如3b=HxUx2=H.（10分）sinBsin/ADBsinB7105、
2一24
在厶ABC中，sinA=1—cosA=云,
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=多（I-25）=喘.a分）
bccsinB52
由=，得b==:
—=5.（14分）
sinBsinCsinC172
50
17.解：
（1）连结CD因为BD与圆C相切，切点为D,所以△BCD为直角三角形.
11
因为/CB=0，且圆形小岛的半径为1千米，所以DB=,BC=.
tan0sin0
因为岸边上的点A与小岛圆心C相距3千米,
1
所以AB=AC-BC=3—s^r.（2分）
因为0为锐角,
n
所以0=-3.（12分）
设sin00=3,
3
n
00为锐角，则0V00V3.
71
当0€（00,§）时，f'（0）V0，则f（0）在（
n
0,―）上单调递减;
n
）上单调递增.
nnn
当0€（亍，y）时，f'（0）＞0，则f（0）在（孑
n
所以f（0）在0=—时取得最小值.
3
n
答：
当0=石时，栈道总长度最短.（14分）
1c1
18.解：
（1）记椭圆C的焦距为2c,因为椭圆C的离心率为庁，所以-=：
.
2a2
因为椭圆C过点（03），所以b=.3.
因为a2—c2=b2,解得c=1,a=2,
22
故椭圆c的方程为乡+y=i.（2分）
43
⑵①因为点B为椭圆C的上顶点，所以B点坐标为（0,3）.因为OBMN的垂心，所以BOLMN即MNLy轴.
由椭圆的对称性可知M,N两点关于y轴对称.（4分）
不妨设M（xo,yo），则N（—xo,yo），其中一3vyov3.
因为MOLBN所以MO-BN=0，即（一x。
，一y。
）•（—x。
，y。
一3）=0,
得x2—y2+3yo=0.（6分）
22
又点M（xo,yo）在椭圆上，则等+学1.
43
故MN=2|xo|=冷坐，即线段MN的长为冷^.（8分）
②（解法1）设B（m,n），记线段MN中点为D.
因为OBMN的重心，所以BC=2OD则点D的坐标为（一m—号）.（1o分）
即为
若n=o，则|m|=2，此时直线MN与x轴垂直，故原点O到直线MN的距离为歹,
1.
又于v1,故原点O到直线MN距离的最小值为于.（16分）
（解法2）设M（X1,y1）,N（X2,y2）,B（xs,ys）,
因为OBMN的重心，所以X1+X2+X3=o,y1+y2+ya=o,则X3=—（x1+X2）,y3=—（y1+y2）.（1o分）
由于OB=2,所以此时原点O到直线MN的距离为1.
若直线MN的斜率存在，设为k，则其方程为y=kX+n.
y=kX+n,
由X2y2消去y得（3+4k2）X2+8knx+4n2—12=0（*）.
^-=1,
43
则△=（8kn）2—4（3+4k2）（4n2—12）>0，即3+4k2>n2.
2
8kn4n—12
由根与系数关系可得X1+X2=—3+4k?
，X1X2=3+4r2,
223n2—12k2
贝yy1y2=（kX1+n）（kX2+n）=kX1X2+kn（x1+X2）+n=厂,
3十4k
222
1H14n—1213n—12k1刚223八
2,得4x十3X3+4k2=—2即n=k十和14分）
又弓V1,故原点O到直线MN距离的最小值为~23.（16分）
19.解：
（1）因为h（X）=f（X）—g（X）=X2—x—（a—16）—alnx,
a
所以h'（x）=2x—1—-=
X
2
2x—x—a
X.
2
令h'（x）=0，得2x—x—a=0.
一一5十一25十
因为函数h'（x）在【2，4］上存在零点，即y=2x—x—a在巧,4］上存在零点,
又函数y=2x2—x—a在［|,4］上单调递增,
525
2X（;;）—~—a<0,
所以22解得10Wa<28.
2
2X4—4—a>0,
因此，实数a的取值范围是［10,28］.（2分）
⑵（解法1）因为当x€［0,b］时，函数f（x）在x=0处取得最大值,即存在实数a，当x€［0,b］时，f（0）>f（x）恒成立，
即x—x—（a—16）xW0对任意x€［0,b］都成立.（4分）
当x=0时，上式恒成立；（6分）
当x€（0,b]时，存在a€[10,28]，使得x-x+16所以x2-x+16W28,解得—3Wx<4,所以bw4.
故当a=28时，b的最大值为4.（10分）
（解法2）由f（x）=x—x—（a—16）x，得f'（x）=3x—2x—（a—16）.
设△=4+12（a—16）=4（3a—47）.
若AWO,贝Uf'（x）>0恒成立，f（x）在[0,b]上单调递增，
因此当x€[0,b]时，函数f（x）在x=0时不能取得最大值，于是△>0,（4分）
故f'（x）=0有两个不同的实数根，记为X1,X2（X1Vx2）.
若X1>0,则当x€（0,X1）时，f'（x）>0,f（x）在（0,X1）上单调递增，
因此当x€[0,b]时，函数f（x）在x=0时不能取得最大值，
所以X1w0.（6分）
2
又X1+X2=3>0,因此X2>0,
从而当x€（0,X2）时，f'（x）v0,f（x）单调递减；
当x€（X2,+^）时，f'（x）>0,f（x）单调递增，
若存在实数a，当x€[0,b]时，函数f（x）在x=0处取得最大值，
32
则存在实数a，使得f（0）>f（b）成立，即b—b—（a—16）bw0.（8分）
2
所以存在a€[10,28]，使得b—b+16Wa成立，
所以b—b+16W28,解得—3Wbw4,
故当a=28时，b的最大值为4.（10分）
B（X2,
—X1）,
（3）设直线I与曲线y=f（x）相切于点A（X1,f（x1）），与曲线y=g（x）相切于点g（x2））,
322
过点A（X1,f（x1））的切线方程为y—[X1—X1—（a—16）X1]=[3x1—2x1—（a—16）]（x
232
即y=[3x1—2x1—（a—16）]x—2x1+X1.
aa
过点B（X2,g（x2））的切线方程为y—alnx2=（x—X2），即y=x+alnx2—a.X2X2
因为直线I在y上的截距为一12,
2a—
3x1—2x1—（a—16）=①，
X2
所以—2x3+x2=—12②，（12分）
alnx2—a=—12③.
a
24—a=—,1—X2
由②解得X1=2,贝UX2消去a,得Inx2+■=0.（14分）
2X2
alnx2—a=—12,
由
（1）知10waw28,且X2>0，则X2>5.
1—x5112x—1
令p（x）=lnx+莎,x€[7,+^），贝Vp'（x）=X—云=矿.
5
因为p'（x）>0,所以函数p（x）在[7,+^）上为增函数.
因为p
（1）=0，且函数p（x）的图象是不间断的，
5
所以函数p（x）在【7，+^）上有唯一零点1,
1一X2
所以方程Inx2+=0的解为X2=1，所以a=12.
2x2
所以实数a的值为12.（16分）
20.
（1）解：
设等比数列｛an｝的公比为q,
因为S=5S,所以a1+a2+a3+a4=5（a1+a2），即a3+a4=4（a1+a2）,
2
所以a1q（1+q）=4a1（1+q）.
因为数列｛an｝的各项均为正整数，所以a1,q均为正数，所以q2=4，解得q=2.
又a1=1,所以an=21,从而a3=4,
所以T3=S4=1+2+22+23=15.（2分）
（2）解：
设等差数列｛an｝的公差为d，则an=a1+（n—1）d.
因为数列｛an｝的各项均为正整数，所以d€乙
a1
若d<0，令an>0，得n<1—，这与｛an｝为无穷数列相矛盾,
an（an—1）d_Tn（an—1）d
，因此才=a1+
an
因此d>0,即卩d€N.（4分）
因为S=na1+2，所以Tn=a1an+
（an一1｝d<2.（6分）
Tn
由—<2，得a1+
an2
即（n—1）d2<2.
2十口（n—1）d
d=0不合题意；（8
于是1+<2，
①若d=0，则存在无穷多个n（n>2），使得上述不等式成立，所以
*2
②若d€N,则n<1+孑,
因为存在唯一的正整数n（n>2），使得该不等式成立，
所以2<1+刍w3，即1d
又d€N，所以d=1,因此an=1+（n—1）x1=n.（10分）
⑶证明：
因为S+1—S=an+1>0,所以S+1>S，即数列｛Sn｝单调递增.
所以Tn+1>Tn，即Sai+1>Sai,
因为数列｛Sn｝单调递增，所以an+1>an.（12分）
又an€N，所以an+1》an+1，即卩an+1—an》1,
所以an+1—a1=（a2—a"+（a3—a2）+…+（an+1—an）》n,因此an+1》a1+n》1+n,即an》n（n》2）.
又a1》1,所以an》n①.（14分）
由Tn+1—Tn=n+1，得aan+1+aan+2+…+aan+1=n+1,因此n+1》aan+1》an+1，即卩anwn②.
由①②知an=n,因此an+1—an=1,
所以数列{an}为等差数列．（16分）
数学附加题参考答案及评分标准
1
2
_3
3
.（6
分）
2
1
3一
3
1
2
入+二
———
3
3
12
22
1
2
1
=（入+3）—（
—3）=（入-
3）（入+
一—
入+M
3
3
要证
因为|M|=1X1—2X2=—3,（4分）1—2
、—1—3二
所以N=M=
—21
二—3
（2）N的特征多项式f（入）=
1）•（8分）
1
令f（入）=o,解得入=3或一1,
1
所以N的特征值是3和1.（10分）
3
1x212
B.解：
曲线C的普通方程为y=：
（：
）=x.（2分）
228
由直线I的极坐标方程pcos（B—Z）=2，得p（cos0cos+sin0sin）=2,
444*
即-^x+#y=2,所以直线l的方程为y=—x+2.（4分）
12
y=:
x,设A（X1,y",B（X2,y2），联立方程组8
y=—x+2,
消去y,得x+8x—16=0,（6分）
贝VX1+X2=—8,X1X2=—16,
所以AB=.、1+（—1）|x1—X2|=2X,（X1+X2）2—4X1X2
（—8）2—4X（—16）=16.（10分）
1
C.证明：
（证法1）因为a>0,所以a+>2,
a
因为（a+1—（2—2）>0,
a
1
（a+1）—（2—2）
2
（4分）
所以只需证（
2>
11
即2（2—2）（a+首）>8-42，即证a+2.（8分）
1因为a+-》2成立，所以要证的不等式成立.（10分）
a
11
（证法2）令t=a+，因为a>0,所以a—》2,即t》2.
aa
要证a2+—2>a+1—2,
即证，t2—2—,2>t—2,
即证t—■t2—2<2—2,（4分）
即证———<2—J2.（6分）t+、t—2
由于f（t）=t+t2—2在[2,+^）上单调递增，则f（t）>f
（2）=2+2,
”22厂
故2w=2—2.
t+t—22+2
所以要证的原不等式成立.（10分）
22.解：
（1）设“顾客参加一次抽奖活动获得三等奖”为事件A.
42C42124
因为m=4,所以p（a）=6+6x乙=3+3X5=5.
2},{2}）,
=1,
N*,iwm-1,
因为2,m€N,所以3,
所以m的最小值为3.（10分）
23.
（1）解：
当n=2时，A的子集为？
，{1},{2},{1,2}，且m=4.所以a1+a2+…+am=0+1+1+2=4.（2分）
⑵证明：
①当n=2时，取一个集合组（M1,M,M,M）=（?
{1},{1,此时a1=0,a2=1,a3=2,a4=1，满足任意i€N,iw3,都有|ai—ai+11
所以当n=2时命题成立.（4分）
②假设n=k（k€N,k>2）时，命题成立,
即对于Ak={1,2，…，k}，存在一个集合组（M1,M,…，Mn）满足任意i€都有|ai—ai+1|=1,其中m=2k.
当
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