高考数学理科5年高考+3年模拟精选课件全国卷1地区通用31导数与积分.docx
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高考数学理科5年高考+3年模拟精选课件全国卷1地区通用31导数与积分
高考理数（课标专用）
五年咼考
>
A组统_命题■课标卷题组
考点导数的概念及其几何意义
1.（2018课标I,5,5分）设函数/⑴』+@・1疋+处.若心）为奇函数，则曲线）吋⑴在点（0,0）处的切线方程为（）
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
答案D本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义.
••TOXx'+a1疋+必为奇函数,/.a-1=0,解得a=1,・\/（x）=x'+兀,・••广（x）=3F+1,.*./'（0）=1,故曲线）匸金）在点（0,0）处的切线方程为）r,故选D.
解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题：
（1）首先应判断所给的点是不是切点，如果不是,那么需要设出切点.
（2）切点既在原函数的图象上，又在切线上，可先设出切线方程，再将切点代入两者的解析式建立方程组.
（3）切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
2.（2014课标II,&5分,0.660）设曲线尸ov・ln（x+l）在点（0,0）处的切线方程为则妇（）
A.OB.lC.2D.3
答案Dy=a■士j,当兀=0时,y=a・l=2,.•・d=3,故选D.
思路分析根据导数的几何意义得yJ=2,由此可求得a.
方法总结己知曲线在某点处的切线，求曲线方程中的参数时，常利用“切线的斜率等于曲线所对应的函数在该点处的导数值”列方程求解.
3.（2018课标II,13,5分）曲线尸21n（x+l）在点（0,0）处的切线方程为.
答案y=2x
解析本题主要考查导数的几何意义.
2
因为27+t?
所以卩心=2,又（o,o）为切点，
所以曲线在点（0,0）处的切线方程为尸2上
4.（2018课标III,14,5分）曲线尸@+l）e'在点（0,1）处的切线的斜率为・2,则x.
答案・3
解析本题考查导数的综合应用.
设金）=（俶+1Q,则加=@+“+lQ,所以曲线在点（0,1）处的切线的斜率k=f（0）=a+l=-2,解得d=3.
5.（2016课标III,15,5分）已知/⑴为偶函数，当兀V0时兀）=ln（・x）+3兀,则曲线）吋⑴在点（1厂3）处的切线方程是.
答案y=-2x-1
解析令兀＞0,则-x＜0,f（-x）=\nx-3x,y^f（-x）=f（x）,
••/＞）=ln炉3心＞0）,则广（兀）二-・3（兀＞0）,・•・广
（1）=-2,・•・在点（1,・3）处的切线方程为），+3=2（r1）,即尸-2x-l.
思路分析根据函数代兀）是偶函数，求出兀＞0时函数/（兀）的解析式，根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.
6＜（2016课标II,16,5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线）=ln（x+l）的切线贝Jb二
答案Mn2解析直线y=kx+b与曲线尸Inx+2,y=ln（x+1）均相切，设切点分别为4（兀』）0（兀2』2）,由y=lnx+2得
）」=丄，由）=ln（x+l）得,.I比=丄=—1—-,兀2=?
・1,・・・yi=ln^+2,y2=-ln上即A
•V"T"1X]十1KK
”A+2冋p,一两*B在直线+止
b=\-\n2,d=2・
to
思路分析先设切点，找出切点坐标与切线斜率的关系，并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组，进而求解.
加iT
7.（2014课标I,21,12分,0.244）设函数/⑴二卅Inx+——，曲线尸蚣）在点（1，/U））处的切线方程为y=e（x-l）+2.
⑴求a,b;
（2）证明：
Ax）>l・
解析⑴函数/⑴的定义域为（0,+oo）,/'（x）=6/e'lnx+-e'--^-ev,+-ex*!
.
XXX
由题意可得A1）=2,广
（1）=e.故《=1,b=2.
（2）由
（1）矢口,兀¥）=小11x+-c",从而心）>1等价于xlnx>xe
xe
设函数g（x）=xlnx,则g\x）=1+lnx
所以当炸（0,丄］时,g©）v0;当兀W（丄,+8］时,g（兀）>0・
le丿le丿
故g（JC）在fo,lU单调递减，在］丄,+』上单调递增，从而g（x）在（0,4-00）上的最小值为g（11=.1.
Ie丿\e丿（e丿e
2设函数/2（x）=xer—,则/7r（x）=ex（l-x）.
e
所以当XW（0,1）时,丹（兀）>0；当xe（i,+oo）时,h\x）<0.
故加兀）在（0,1）上单调递增，在（l,+oo）上单调递减，从而此）在（0,+oo）上的最大值为/?
（1）=--.
e
综上，当Q0时,g（x）>h（x\即/U）>1・
思路分析
（1）利用导数的几何意义及切线过切点求的值；
09
⑵利用
（1）得怒）的解析式，将心）>1等价转化为刘nx>xev-二，构造函数^（x）=xlnx,/?
（x）=xev--,再利ee
用导数分别求出gaM/gmax,进而得&（劝>此）,从而证得原不等式成立.
方法总结证明不等式，可构造函数，转化为求解函数最值的问题.
B组自主命题•省（区、市）卷题组
考点一导数的概念及其几何意义
1.（2016山东,10,5分）若函数）吋⑴的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=/U）具有T性质•下列函数中具有T性质的是（）
A.y=sinxB.y=lnxC.y=e'D.y=x3
答案A设函数图象上的两点分别为J,（矩，力），且七工七,则由题意知只需函数）泓劝满足raj•广（对=1即可•皿）5兀的导函数为门兀匸cos%,则广（0）•广（兀）二1,故函数尸血兀具有t性质；y^/（x）=ln兀的导函数为/'G）=-，贝9广（xj•广（兀2）=」一＞0,故函数y=ln兀不具有T性质;y=f（x）=cx
X
的导函数为广（兀）£,则广（七）•广（矩）=尹忑＞0,故函数尸疋不具有T性质；尸心）“的导函数为T（x）=3点则广g）•广（对=9彳球$0,故函数尸X3不具有T性质.故选A.
2.（2014江西,13,5分）若曲线尸申上点P处的切线平行于直线2x+y+l=0,则点P的坐标是.
答案（-In2,2）
解析令沧）=氏贝lj/*（x）=-e\设PC"。
）,则广（心）=严=2,解得心=ln2,所以y0=e^=e性2,所以点P的坐标为（・ln2,2）.
3.（2015陕西,15,5分）设曲线尸e'在点（0,1）处的切线与曲线尸丄（兀>0）上点P处的切线垂直，则P的
X
坐标为.
答案（1,1）
解析•・・函数的导函数为y",
・・・曲线〉"在点（0,1）处的切线的斜率k^=l.
设P（xoJo）（^j>O）,
・・•函数尸丄的导函数为卩=丄，
XJC
.・・曲线y=l（x>0）在点P处的切线的斜率危=亠，
由题意知kh=・\,即1/-4]=1，
I耳丿
解得沪1,又如>0,
•■Xo=1■
又•・•点P在曲线y二丄（x>0）上，
X
・・・yo=l,故点P的坐标为（1,1）.
4.（2016北京,18,13分）设函数心）=兀严+加,曲线y寸⑴在点（2,人2））处的切线方程为尸（e・l）x+4.
⑴求的值；
⑵求/⑴的单调区间.
解析⑴因为!
心）="“+加,所以广（劝=（1羽严+b.
解得u=2,b=e.
⑵由⑴知幷i）y+ex・
由广（兀）二e"（1・x+e"）及e">0知，广（x）与1-x+e1'1同号.
令g（x）=1-x+ex'*,则gQ）=1+e'd.
所以，当用（・8,1）时,gG）<0,g（x）在区间上单调递减；
当兀丘（1,+8）时9g\x）>0,g（x）在区间（1,+8）上单调递增.
故&
（1）=1是g（X）在区间（・°°,+8）上的最小值，
从而g（X）>0/W（・8,+8）.
综上可知，广（兀）>0,炸（・8,+OO）.故心）的单调递增区间为（・8,+OO）.
考点二定积分的运算及应用
1.（2014山东,6,5分）直线严4兀与曲线y*在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A.2逅B.4V2C.2D.4
答案D由=得x=0或=2或兀=2（舍）.
y=x
5=jJ4x-x3）dx=^2x2-|o=4.
评析本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.
2.（2014江西,8,5分）若沧）“+2打（x）dr,则打（x）d*（）
A.-lB.-—C.—D.1
33
、11
+2inxI?
=-+2wi解得加=故选B.
答案B
令J：
/（x）d¥=m,贝"（x）=x2+2m,所以J：
/（x）cIy=J：
（"+2〃?
）dx=
3.（2014湖北,6,5分）若函数/（x）,g（x）满足贝x）g（x）dA=0,则称/⑴,g（x）为区间卜1,1］上的一组正交函数.给出三组函数：
®/（x）=sin|x,^（x）=cos卜;②/（x）=x+1,g（x）=x・1:
③/⑴=x,g（x）=*
其中为区间卜1,1］上的正交函数的组数是（）
A.OB.lC.2D.3
答案C由①得/⑴g（x）=sin、cos、=*sinx,是奇函数，所以J］/（x）g（x）d¥=0,所以①为区间卜1,1］上的正交函数;由②得/⑴g（x）*・1，所以\j（x）g（x）dx=L（x2-1）cLr=^
是区间卜1,1］上的正交函数;由③得/⑴g（Q*,是奇函数，所以L/Wg（x）go,所以③为区间卜1,
1］上的正交函数.故选C.
b€egDa?
答案A
4.（2014湖南,9,5分）己知函数/⑴二sin（：
w）,且J打⑴ck=0,则函数心）的图象的一条对称轴是
（）
a5龙
A.x=—
6
2亓2打
由J;J（）3sin（x-^）cU=-cos（x-^）|03
71
X-—
3丿
令兀上以兀+兰,kez,得e刼+乜,ke乙即几x）的图象的对称轴是x=hi+迴,kgz,故选A.
3266
5.（2015湖南,11,5分）^（x-l）dx=.
答案0
r2（1、c
解析f0（x_1）dA=-x2-xo=（2-2）-0=0.
'丄/
6.（2015天津,11,5分）曲线y“与直线尸兀所围成的封闭图形的面积为.
解析曲线尸X2与直线尸X所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，由
y
C组教师专用题组
考点一导数的概念及其几何意义
1.（2013湖北,7,5分）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（r）=7-3r+竺（啲单位:
s,”的单位:
m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离弹位:
m）是（）
1+r
A.l+251n5B.8+251nll
3
C.4+251n5D.4+501n2
答案C由v（r）=0得=4.故刹车距离为ov（r）dr=
2.（2012课标,12,5分）设点P在曲线严討上,点0在曲线严ln（2x）上,则P0的最小值为（）
A.l-ln2B.V2（l-ln2）
C.l+ln2D.>/2（l+ln2）
答案B由y=yel得凸2y,所以日n2y,所以尸卜'的反函数为尸In2兀所以尸与）=ln2兀的图象关于直线对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离，令（In20=丄=1,解得5=1,令］打卜1,解得匕如2,所以两点为（1,In2）和（In2,1）,
x12丿
故J=V2（l-ln2）,故选B.
3.（2013江西,13,5分）设函数/⑴在（0,+8）内可导，且/©0+巴则T（l）=.
答案2
解析令凸匚则巾）=ln出，所以沧）=ln兀+心>0）,所以广（兀）二丄+1,所以广⑴二1+1=2.
X
4.（2013北京,18,13分）设厶为曲线C:
尸牛在点（1,0）处的切线.
（1）求厶的方程；
⑵证明滁切点（1,0）之外,曲线C在直线厶的下方.
解析⑴设沧匸旦，则广（2兽.
X
所以f⑴=1.所以厶的方程为尸
⑵证明:
令gd）=v・l呎兀）侧除切点之外，曲线C在直线厶的下方等价于g（x）>0（WQ0,兀主1）.g（x）满足g（l）=0,且g\x）=1-fG）=*T：
】n兀
X
当O当兀>1时,xM>0,lnx>0,所以g©）>0,故g（x）单调递增.
所以,ga）>g（l）=0（VQ0X1）.
所以除切点之外，曲线C在直线乙的下方.
考点二定积分的运算及应用
1.（2014陕西,3,5分）定积分Jo（2x+ex）cLr的值为（）
A.e+2B.e+1C.eD.e-1
答案Cf*（2x+e'）dx=（x2+eA）|；=l+e*-l=e,tt选C.
2.（2013江西,6,5分）若盼卜址鼻=J：
丄氏S3=Jgg则&込，5的大小关系为（）
X
A.5,<52<53B.S2<5,<53C.S2<53答案B5,=|x|?
=p
S2=lnx|=ln2,53=e'|]=e2-e.
77
Vln2<1<-,e2-e=e（e-1）>e>-,
JJ
故S2V&VS3,选B.
3.（2011课标,9,5分）由曲线尸長，直线2及y轴所围成的图形的面积为（）
A.—B.4C—D.6
33
答案C如图阴影部分面积即为所求，求得曲线严仮与直线）=炉2的交点为A（4,2）,
/.5^i=J4（Vx-x+2）ch-=f-|x2
_16
・
3
错因分析由被积函数求原函数时出错是致错的主要原因.评析本题考查定积分运算及定积分的几何意义，属容易题.
4.（2015陕西,16,5分）如图,一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物
线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为•
答案1.2解析建立直角坐标系,如图.
C
y
B
一/.
D0
AEx
过B作BE丄兀轴于点E,VZBAE=45°,BE=2,:
.AE=2,又OE=5,・・・A（3,O）0（5,2）.设抛物线的方程为
代2py（p>0）,将点B的坐标代入得p斗，故抛物线的方程为尸**从而曲边三角形OEB的面积
■厶」
又Saab£=亍x2x2=2,
故曲边三角形OAB的面积为扌，从而图中阴影部分的面积为?
又易知等腰梯形4BCD的面积为也x2=16,
2
则原始的最大流量与当前最大流量的比值为
=1.2.
5.（2013湖南,12,5分）若］工山=9,则常数T的值为_
答案3
解析flx2dx=^-|J=^-=9,解得T=3.
6.（2013福建,15,5分）当兀WR,lxlvl时，有如下表达式:
1+x+x2+u■・+#+・・・=—?
—.
1-x
J：
ldr+f2xdx+f2x2dx+...4-
JoJo
从而得到如下等式:
1}
2>
・1
+-X
+…+七唔）+...=ln2.
两边同时积分得：
lx|+^x
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算:
|\2/・、3•彳.\w+1
答案1
+*”£]+...+占C；；x
［丄丄1
解析q+cb+c訂+…+C：
；#=（1+M两边同时积分得:
J0dx+#C；迪+£C沁+・・・+£C：
21
■'3
灿=£（1+g,从而得到如下等式:
c訣出c；X（g
+…+——-n+\
ZI+1]
三年模拟
A组2016—2018年高考模拟•基础题组
考点一导数的概念及其几何意义
1.（2018福建福州八县联考,11）已知函数心）的导函数是f（x）,且满足/⑴=2护l）+ln丄，则几1）=
人
（）
A.-eB.2C.-2D.e
答案b由已知得八兀）二？
r（i）■丄，令q1得广⑴二护⑴・i,解得r（i）=i,则/u）=?
r（i）=2.
A
2.（2018广东深圳二模,7）设函数/⑴=兀+丄+0若曲线尸心）在点（dj@））处的切线经过坐标原点,
X
则如（）
A.lB.OC.-lD.-2
答案D由题意可得J（a）=a+丄+b,广（x）=l・所以广@）=1-丄，故切线方程^.y-a-—-b=axaa
（z）,将（0,0）代入得
-a---b=（i-_L^I（-6Z）,故，故ab=-2,故选D.
a\a~）a
3.（2017山西名校联考,3）若函数心）的导函数的图象关于y轴对称，则沧）的解析式可能为（）
Ay（x）=3cosxBy（x）=x34-x2
C.f（x）=1+sin2xDy（x）=ev+x
答案CA选项中,/G）=3sinx,其图象不关于y轴对称，排除A选项;B选项中J'（x）=3x2+2x9其图象的对称轴为厂冷,排除B选项;C选项中，广（x）=2cos2兀其图象关于y轴对称;D选项中,/*（%）=疋+1,其图象不关于y轴对称.
4.（2016安徽安庆二模,7）给出定义:
欣f（x）是函数产他）的导函数，/©）是函数厂（劝的导函数，若方程厂'0）=0有实数解心则称点（心几⑹）为函数冃⑴的“拐点”•己知函数/⑴=3x+4sin兀・cos兀的拐点是M（xo,/U）））,则点M（）
A.在直线y=・3兀上B.在直线y=3兀上
C.在直线y=・4x上D.在直线y=4x上
答案B广（x）=3+4cosx+sinx,fr,（x）=-4sinx+cosx,结合题意知4sinx0-cosxo=O,所以心＞）=3xo,故M（x（）,沧0））在直线y=3兀上.故选B.
5.（2018安徽淮南一模,21）已知函数/⑴“・lnx.
（1）求函数/（x）在点（1,/
（1））处的切线方程；
⑵在函^f（x）=x2-\nx的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横
坐标都在区间［*,1］上?
若存在，求出这两点的坐标，若不存在,请说明理由.
g,l］不妨设MS,结合题意
解析⑴由题意可得/⑴=1,且f（x）=2r-,广⑴=2・1=1,则所求切线方程为y・l=lx（x・l）,即尸x.•X
⑵假设存在两点满足题意，且设切点坐标为（兀小）,（如力）,则兀"^和
（1）中求得的导函数解析式可得［2曲-丄2兀2-丄=-1,
X\X2）
討|上单调递增，函数的值域为卜1,1］,
码=一1,也=_丄舍去］,・2丿
故-1^2xr丄＜加2・丄W1,据此有＜
解得匕=丄,兀2=］
2
故存在两点fl,in2+-l（M）满足题意.匕4）
考点二定积分的运算及应用
1.
（2018安徽淮南一模,4）求曲线与）=x所围成的封闭图形的面积S,正确的是（）
答案B两函数图象的交点坐标是（0,0）,（1,1）,故对兀积分时，积分上限是1,下限是0,由于在［0,
1］上,x故曲线y"与所围成的封闭图形的面积S=J：
（xW）dY（同理可知对『积分时,S=f
（77・y）dy）.
2.（2018湖北孝感模拟,5）已知「讣-加卄斗，则加的值为（
3.
4.（2018河南郑州一模,6）汽车以v=（3r+2）m/s做变速运动时，在第1s至第2s之间的1s内经过的路程是（）
1113
A.5mB.—mC.6mD.—m
22
答案D根据题意,汽车以x（3f+2）m/s做变速运动时，汽车在第Is至第2s之间的Is内经过的路程$=[（3r+2）ck=弓~+2“|m,故选D.
5.
，则［；卩（x2-2x）dx=（）
（2017河南百校联盟4月模拟,7）已知丄+丄=2血,若卩W0,壬sin（pcos。
v/
B，4c.|D.-|
333
A丄
几3
6.（2016山东威海一模,11）曲线尸sinx（OWxWTr）与兀轴围成的封闭区域的面积为
答案2
解析由题意知封闭区域的面积S=J.sinxcU=・cosxr70=-costi-（-cos0）=1-（-1）=2.
7.（2017江西南城一中、高安中学等9校联考,14）f*（2x+.
答案1+|
解析［'\J\-x2ck表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的士,.・.a/1—x2dA=f•又TJ*。
2xdr=x2lo=1,
/.J：
（2x+J1_x2）dx=J：
2xdx+J：
Jl-Fdx=l+f.
B组2016—2018年高考模拟■综合题组
（时间：
25分钟分值:
35分）
一、选择题（每题5分，共20分）
1.（2018湖南株洲二模,9）设函数尸兀sinx+cos兀的图象在点（『J⑴）处的切线斜率为g（f）,则函数尸g（r）图象的一部分可以是（）
答案A由y=xsinx+cosx可f#/=sinx+xcosx-sinx=xcos儿则g（f）=fcos人g⑴是奇函数，排除选项B,D;当圧（0冷）时,y>0,排除选项C.故选A.
思路分析求出函数的导函数，得到切线斜率的解析式，然后判断图象.
易错警示求导时注意不要计算错误.
2.
（2018安徽淮北一模,12）若存在实数x使得关于x的不等式（已疔+牙么优+匕运亍成立，则实数a的取值范围是（）
答案A存在实数X使不等式（e'-6/）W-26/W^y成立，即［（eS）2+H2ar+/UW*,易知（已疔+F・2dx+C『即为e・亦+（炉0）2,表示点（*e）与（d,G）的距离的平方.由（d,a）在直线/:
y=x_Jt,设与直线/平行且与曲线湘切的直线的切点为（加肋,可得切线的斜率为孑=1,解得加=0,・・・心1,切点为（0,1）,由切点到直线/的距离为直线/上的点与曲线上的点之间的距离的最小值，可得（0・疔+（山）2弓,解得。
斗则a的取值集合为出.故选A.
解题关键将（eT+込2q+/转化为（S+（S，得其表示点（兀,眄与（3）的距离的平方是求解本题的关键.
3.（2018安徽江南十校4月联考,10）若曲线与曲线3弓@>0）存在公共切线，则°的取值
范围为（）
答案D曲线在点伽，肿）的切线斜率为2“曲线尸匕@>0）在点仏丄的切线斜率为丄a\a）a
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叭如果两条曲线存在公共切线，那么2m=-e.又由直线的斜率公式得到加二一，则有加=2/7
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・2,则由题意知4n-4=lew有解，即），=4十4,尸丄e*的图象有交点.若直线尸4r4与曲线）=丄廿相切，设ciaa
切点为（叩）,则丄凸4,且=4$・4=丄匕可得切点为（2,4）,此时丄二△，故要使满足题意，需丄则aaaae-ae"
M兰，故G的取值范围是dM兰.故选D.
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解题关键将原问题
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