菱形的判定练习题.docx
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菱形的判定练习题
菱形的判定练习题
一、选择题
1．菱形和矩形一定都具有的性质是
A．对角线相等．B．对角线互相平分．
C．对角线互相垂直．D．每条对角线平分一组对角．
2．四边相等的四边形是
A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形
3．菱形是轴对称图形，它的对称轴有
A．1条B．2条C．3条D．4条
4．如图19-2-2-14，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有
A．4个B．5个C．6个D．7个
图19-2-2-14
5．在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为
A．B．10C．D．8
6．如图19-2-2-15，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于
A．20B．1C．10D．5
图19-2-2-15
7．如图19-2-2-16，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是
A．B．C．1D．16
图19-2-2-16
8
．已知菱形的边长和一条对角线的长均为
为
A．3cmB．4cmC．D．，则菱形的面积
9．下列条件之一能使□ABCD是菱形的为
①AC⊥BD②∠BAD=90°③AB=BC④AC=BD
A．①③B．②③C．③④D．①②③
10．下列说法正确的是
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是菱形
11．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是
A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形
12．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图19-2-2-17
所示，
，则点B的坐标为
A．B．C
．D．
图19-2-2-17
13．如图19-2-2-18，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为
A．B．C
．D．3
图19-2-2-18
14．如图19-2-2-19，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的菱形的面积为
A．10cmB．20cmC．40cmD．20cm2
图19-2-2-19
15．将矩形纸片ABCD按如图19-2-2-20所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为
A．1B．C．D
．
图19-2-2-20
二、填空题
16．若一个菱形的周长是40cm，它的一条对角线长10cm，则菱形相邻的两个角度数分别是．
17．如图19-2-2-21，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是．
图19-2-2-21
18．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为
一条对角线的长为．，则另
19．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为．
20．如图19-2-2-22，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1=度．
图19-2-2-22
21．如图19-2-2-23，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．
图19-2-2-23
22．如图19-2-2-24，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥BC于点E，且DE=OC，OD=2，则AC
菱形的判定
学习目标：
掌握菱形的判定方法，并灵活应用判定方法解题
菱形的判定常用方法：
练习：
1．下列四边形中不一定为菱形的是
A．对角线相等的平行四边形B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=?
?
BC；?
?
⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有．
A．1种B．2种C．3种D．4种
3．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?
添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．
图1图2
4．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．
5．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？
?
说明理由．
6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？
试说明理由．
课堂作业：
1、在平面直角坐标系中，已知点A，B，C，D，则以这四个点为顶点的四边形ABCD是
A、矩形B、菱形
C、正方形D、梯形
2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形
A、矩形B、菱形
C、正方形D、等腰梯形
3、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是
A、正方形
C、菱形D、矩形B、等腰梯形
4．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD?
交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？
请说明理由．
5．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D?
作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，?
FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．
HABDFHEA
GEBDC
参考答案
1．A2．D．AB=BC还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．
4．点D在∠BAC的平分线上
5．解：
四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．
6．解：
四边形PCOD是菱形．四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，
1.B2.B3.C
4．解法一：
四边形CDEF是菱形．理由：
如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE，?
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，?
所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CF//DE．?
所以四边形CDEF是平行四边形．又因
为CF=CD，所以□CDEF是菱形．
解法二：
如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．
因为△BCD≌△BED．所以BC=BE．又因为∠1=∠2，所以
BD⊥CE，且OC=OE．
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，
所以∠3=?
?
∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，?
又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．
点拨：
解法一利用了菱形的定义，?
解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决．
5．解：
EF与DK互相垂直平分．理由：
因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．?
因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．
因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，
所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，?
所以EF与DK互相垂直平分．
点拨：
要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，?
要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．?
特殊的平行四边形——菱形
一．菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二．菱形的性质：
菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。
.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
三．菱形的判定办法：
1.用菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；.四条边都相等的四边形是菱形；
3.对角线垂直的平行四边形是菱形；.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四．菱形的面积：
等于两条对角线乘积的一半.，周长=边长的4倍
复习：
1.如图，在△ABC中，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF?
DC，连接CF．
求证：
D是BC的中点；若AB?
AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明．
解答：
证明：
AF∥BC，?
?
AFE?
?
DBE．∵E是AD的中点，?
AE?
DE．
又?
AEF?
?
DEB，?
△AEF≌△DEB．?
AF?
DB．∵AF?
DC，?
DB?
DC．
解：
四边形ADCF是矩形，证明：
∵AF∥DC，AF?
DC，?
四边形ADCF是平
行四边形．∵AB?
AC，D是BC的中点，?
AD?
BC．即?
ADC?
90．?
四边形ADCF是矩形．
菱形例题讲解：
1.已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．若AD平分∠BAC，
试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
解答：
四边形AEDF是菱形，∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，同理∠DAE=∠FDA，∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF，∴AE=DF；
∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴∠DAF=∠FDA．∴AF=DF．∴平行四边形AEDF为菱形．
2.已知：
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：
四边形BCDE是菱形．证明：
∵AD⊥BD，∴△ABD是Rt△∵E是AB的中点，∴BE=DE，∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，∴∠CDB=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，∵BD=BD，∴△EBD≌△CBD，∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，∴菱形BCDE．
3.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB，
求证：
四边形EFCD是菱形；设CD=4，求D、F两点间的距离．
解答：
证明：
∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED=CD=CE．∵EF∥AB
∴∠EFC=∠ACB=∠FEC=60°,∴EF=FC=EC∴四边形EFCD是菱形．
解：
连接DF，与CE相交于点G，由CD=4，可知CG=2，∴∴．
4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：
四边形AFCE是菱形．证明：
∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．
∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．
∵EF是AC的垂直平分线．∴四边形AFCE为菱形
5.在
中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．
求证：
△ADE≌△CBF．
若AD?
BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？
请证明你的结论．
解:
在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵E，F分别为AB，CD的
中点∴AE=CF,?
△AED≌△CF
若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．证明：
AD?
BD，?
△ABD是Rt△，
且AB是斜边,E是AB的中点，?
DE?
1AB?
BE．由题意可EB∥DF且EB?
DF，
?
四边形BFDE是平行四边形，?
四边形BFDE是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是
20cm，两条对角线的比是4∶3
，则这菱形的面积是A.12cm2B.24cmC.48cm2D.96cm2
2.如图，已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_____7cm__________.
分析：
连EB,∵EF垂直平分BD,∴ED=EB,设AE=x,则DE=EB=,AE2+AB2=BE2,即：
x2+32=2,解得：
x=/8
3.如图,在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝
4.如图，菱形ABCD的连长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为___㎝2．
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为6.如图，已知四边形1+
第4题
7.在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为
8.菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是．
9.已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB=，∠BDC=0?
，则菱形的面积为
10.在四边形ABCD中，给出四个条件：
①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是①③④或②③④．
11.如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，CE与AD交与点M，DF与CB交与点N，且AE=AB=BF，求证:
CE⊥DF.
证明：
连接MN,∵□ABCD,?
AB=DC,又∵AB=AE,?
AE=DC?
?
AEM?
?
CDM,
?
M为AD的中点.又∵AD=2AB,?
CD=DM?
CDMN是棱形,所以CE⊥DF.
12.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD?
交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？
请说明理由．
D
解：
解法一：
四边形CDEF是菱形．理由：
如图所示，BD平分∠ABC，?
CD=DE，
BHEA
因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，?
?
∠3=∠4．?
CF=CD．
?
CF=DE．因为CF//DE．?
所以四边形CDEF是平行四边形．所以□CDEF是菱形．
13.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D?
作DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，?
FH相交
于点K，试说明EF和DK之间的关系．A解：
EF与DK互相垂直平分．理由：
因为DE⊥AB，FH⊥AB，?
DE∥FH．?
∵DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．?
四边形DEKF是平行四边形．
∵AB=AC，?
∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，HG?
△BDE≌△CDF，?
DE=DF．?
DEKF是菱形，?
EF与DK互相垂直平分．
点拨：
要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，?
要说明四边形DEKF是E菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．BDC
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