小数乘法的算理.docx

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小数乘法的算理

例1.研究小数乘法的算理

同学们学习过小数加、减法，印象最深刻的是小数点对齐，即相同数位对齐。

这在小数加、减法计算中是正确的。

初步一个因数是小数的小数乘法时，计算时有的同学也这样做。

如：

从表面看很象小数加、减法，小数点对齐。

但你仔细想一想，就不对了。

小数乘法的算理是：

8.6扩大10倍是86，86×4＝344

一个因数不变，另一因数扩大10倍，积也扩大10倍，要得到8.6×4的积，还必须把344缩小10倍，就从积的右边起数出一位，点上小数点。

0.046扩大1000倍是46，46×35＝1610

一个因数扩大1000倍，另一个因数不变，积也扩大1000倍，要得到0.046×35的积，还必须把1610缩小1000倍，就从积的右边起数出三位，点上小数点，消去小数末尾的0。

纵观以上题目，我们明白了算理，可以得出这样的结论：

①当一个因数是整数时，另一个因数有一位小数时，积（消去末尾的零以前）就有一位小数。

②当一个因数是整数时，另一个因数有两位小数时，积（消去末尾的零以前）就有两位小数。

③当一个因数是整数时，另一个因数有三位小数时，积（消去末尾的零以前）就有三位小数。

……

归纳总结为：

当一个因数是整数时，另一个因数有几位小数，积（消去末尾的零以前）就有几位小数。

例2.专项训练

小数乘法计算中，确定积的小数点位置是关键，所以我们重点练习这一项。

（1）给下面各题的积点上小数点。

消去小数末尾的“0”。

（2）根据16×125＝2000，很快写出下面各题的积。

1.6×125＝2000.16×125＝20

16×1.25＝2016×0.125＝2

1.6×12.5＝200.016×125＝2

【模拟试题】（答题时间：

25分钟）

1.口算下面各题。

8×0.7＝125×0.8＝

2.5×4＝1.5×2＝

2.5×6＝1.4×3＝

0.5×40＝0.1×47＝

19×0.01＝4.69×0＝

3.5×100＝7×0.9＝

2.计算下面各题。

0.37×42＝125×0.12＝

206×3.2＝0.15×24＝

1.65×28＝0.325×18＝

0.025×24＝0.017×13＝

1.072×15＝92×0.025＝

3.列式计算。

（1）8乘0.34的积是多少？

（2）0.38的5倍是多少？

4.想一想积里应该有（）位小数。

35.6×1.2＝0.045×2.9＝

3.56×1.2＝0.45×0.29＝

0.356×1.2＝0.045×0.29＝

3.56×0.12＝4.5×0.029＝

【试题答案】

1.口算下面各题。

8×0.7＝5.6125×0.8＝100

2.5×4＝101.5×2＝3

2.5×6＝151.4×3＝4.2

0.5×40＝200.1×47＝4.7

19×0.01＝0.194.69×0＝0

3.5×100＝3507×0.9＝6.3

2.计算下面各题。

0.37×42＝15.54125×0.12＝15

206×3.2＝659.20.15×24＝3.6

1.65×28＝46.20.325×18＝5.85

0.025×24＝0.60.017×13＝0.221

1.072×15＝16.0892×0.025＝23

3.列式计算。

（1）8乘0.34的积是多少？

8×0.34＝2.72

（2）0.38的5倍是多少？

0.38×5＝1.9

4.想一想积里应该有（）位小数。

35.6×1.2＝2位0.045×2.9＝4位

3.56×1.2＝3位0.45×0.29＝4位

0.356×1.2＝4位0.045×0.29＝5位

3.56×0.12＝4位4.5×0.029＝4位

舍五入”法截取积的近似数

求积的近似数，先算出积，然后看需要保留数位的下一位，再按照“四舍五入”的方法求出结果，用约等于号连接。

2、小数的连乘、乘加、乘减

连乘按照从左往右的顺序计算；乘加、乘减混合运算，有括号的先算括号里的，再算括号外面的；没有括号的，先算乘法，后算加减法。

3、应用乘法运算定律进行小数的简便运算

乘法运算定律：

乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。

a×b＝b×a

乘法的结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

（a×b）×c＝a×（b×c）

乘法的分配律：

两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。

a×（b＋c）＝a×b＋a×c

典型例题

【方法应用题】

例1：

下面保留两位小数错误的是（）

A.5.374≈5.37B.2.995≈3.00

C.8.105≈8.10　　Ｄ.5.672≈5.67

思路分析：

1）题意分析：

这道题让我们用四舍五入法截取积的近似数，请同学们注意题目让我们选择的是错误的，千万不要一看到正确的选项就填写上去，认真审题对于把题答正确十分重要.

2）解题思路：

用四舍五入法取积的近似数我们要知道：

①看需要保留数位的下一位

②所看数位上的数字和5比较，等于5或大于5，向前一位进一

小于5，舍去不要。

③截取积的近似数要使用约等于号。

解答过程：

A、5.374保留两位小数，看千分位上的4，4<5，舍去不要，所以是5.37，用约等于号连接，此题正确。

B、2.995保留两位小数，看千分位上的5，5＝5，向百分位进一，百分位上的9加上进位的1等于10，向十分位进一，十分位上的9加上进位的1满十，向个位进一，个位的2加上进位的1等于3，因为是保留两位小数，所以十分位､百分位的0要保留，用约等于号连接，此题正确。

C、8.105保留两位小数，看千分位上的5，5＝5，向百分位进一，百分位上的0加上进位的1等于1，8.105保留两位小数后应该是8.11.而答案是8.10，因为它是从百分位四舍五入，所以是错误的。

请同学们一定要牢记，四舍五入要比要求的多看一位。

此题错误。

D、5.672保留两位小数，看千分位上的2，2<5，舍去不要，所以是5.67，用约等于号连接，此题正确。

应选择C

解题后的思考：

此题是对用“四舍五入”法求一个数的近似数的考查。

包含了舍去、向前一位进一、连续进位等几种情况，考查类型比较全面。

同学们最容易出现的错误就是把数位看错、连续进位忘记写0。

所以请同学们牢牢把握好“四舍五入”的要求：

看需要保留数位的下一位，若是大于等于5则前进1，若是小于5则全舍掉，连续进位留着0，符号要用约等于。

例2：

你来试一试

在下面的□里最小能填几？

1.99□≈2.00

思路分析：

1）题意分析：

这是一道用“四舍五入”法求一个数的近似数的题目。

已知近似数2.00是1.99□四舍五入得到的。

要求□里最小能填几，而不是随意填一个数就可以，需要同学们注意。

2）解题思路：

①观察两个数字，判断是四舍得到的，还是五入得到的；

②划定数字的范围

③按要求选择数字

解答过程：

观察这两个数我们可以知道，2.００是1.99□五入得到的，所以□里可以填5，6，7，8，9，在这五个数中最小的是5，所以□里填5.

解题后的思考：

此类题目要认真审题，确定是求最大的，还是求最小的。

判断出是四舍还是五入对于此类题十分关键。

如果是五入，就要从5－9这五个数字中去选；如果是四舍，就从0－4这五个数字中去选。

在此提醒同学们千万不要把0给忘了。

例3：

你会做吗

3.75×31＋62.5×3.1

思路分析：

1）题意分析：

此题是考查小数的简便运算。

题目适用的是乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）

2）解题思路：

初看题目，好像不能够简算，但仔细观察就会发现，在相加的两个乘法算式中31和3.1相似，联系乘法中积不变的规律：

一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。

因此可以利用这条规律使

31变成3.1，（或使3.1变成31），且又能使结果保持不变。

解答过程：

方法一：

方法二：

3.75×31＋62.5×3.13.75×31＋62.5×3.1

＝（3.75×10）×（31÷10）＋62.5×3.1＝3.75×31＋（62.5÷10）×（3.1×10）

＝37.5×3.1＋62.5×3.1＝3.75×31＋6.25×31

＝（37.5＋62.5）×3.1＝（3.75＋6.25）×31

＝100×3.1＝10×31

＝310＝310

解题后的思考：

一道题能不能简算，同学们要注意观察每一个数字，找到数字之间的内在联系。

乘法的各条定律要灵活运用。

例4：

3.8×5.4＋2.7×2.4

思路分析：

1）题意分析：

此题考查的是小数的简便运算。

需要同学们仔细观察每个数有什么特征。

2）解题思路：

四个数没有相同数字，关联不明显。

但是注意观察5.4和2.7，我们会发现5.4＝2×2.7，这样此题就可以进行简算了

解答过程：

3.8×5.4＋2.7×2.4

＝3.8×2×2.7＋2.7×2.4

＝7.6×2.7＋2.7×2.4

＝（7.6＋2.4）×2.7

＝10×2.7

＝27

解题后的思考：

为了使题目能够简算，我们可以先用计算、拆分或重组等方法进行转化，然后根据数，选择合适的方法进行简算。

【综合运用题】

例5：

妈妈各买了3.6斤的

和

鲤鱼每斤4.76元草鱼每斤3.88元.

妈妈一共花了多少元钱？

思路分析：

1）题意分析：

此题是考查小数乘法的应用题，要结合生活实际保留小数。

2）解题思路：

此题求总价，就要知道单价和数量是多少。

根据总价＝单价×数量进行计算。

解答过程：

解法一：

①一斤草鱼和一斤鲤鱼一共多少元钱？

4.76＋3.88＝8.64（元）

②妈妈一共花了多少元钱？

8.64×3.6＝31.104≈31.10（元）

答：

妈妈一共花了31.10元钱。

解法二：

①3.6斤鲤鱼多少元钱？

4.76×3.6＝17.136（元）

②3.6斤草鱼多少元钱？

3.88×3.6＝13.968（元）

③妈妈一共花了多少元钱？

17.136＋13.968＝31.104≈31.10（元）

答：

妈妈一共花了31.10元钱。

解题后的思考：

在解题过程中要认真审题，理清数量关系。

此题虽然没有要求保留小数，但是结合生活实际，在交易时我们用到的最小的货币单位是分，也就是以元为单位的话，数据最多只能到小数点后面的第二位，所以我们保留了两位小数。

【思维突破题】

挑战自我

例6：

比较下面两个积的大小。

A＝1.29×3.21

B＝1.28×3.22

思路分析：

1）题意分析：

这两道算式要求比较积的大小，需要我们分别算出它们的积是多少，但这样显然太麻烦了。

仔细观察，我们发现这两道算式中两个因数的和是一样的，那么我们就可以应用我们学过的规律来解决，使问题简单化。

2）解题思路：

应用的规律：

在和一定的情况下，两个数如果越接近，这两个数的乘积就越大。

我们就根据这条规律来比较数的大小。

解答过程：

因为1.29＋3.21＝1.28＋3.22

3.21－1.29＝1.92

3.22－1.28＝1.94

1.92＜1.94

所以A＞B

解题后的思考：

对于这种看似比较繁琐的题目，同学们要开动脑筋，结合我们学过的知识，由难变易，由繁变简。

例7：

100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋4＋3－2－1

思路分析：

1）题意分析：

题目要求简算，可是数目多，需要同学们动脑筋想一想数字、运算符号各有什么特点？

2）解题思路：

题目中的数是100、99、98、97…1，运算符号依次是＋，－，－，＋我们可以把四个数看成一组，即100＋99－98－97，96＋95－94－93，……4＋3－2－1，总共100个数，正好25组，而且每组的得数都是4，一共25个4。

解答过程：

100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋4＋3－2－1

＝（100＋99－98－97）＋（96＋95－94－93）＋…＋（4＋3－2－1）

＝4×25

＝100

解题后的思考：

一道计算题能否巧算，要仔细审题，看清数字特点，如果是加减法算式，要尽量凑成整十整百的数再运算；如果是乘除法计算，就要多考虑运算定律，看能否根据运算定律进行简便运算；如果是很多数的运算，就要想怎样分组能够简便计算。

提分技巧

主要是将应试策略、思想方法、易错难点或者方法小结以文字形式进行归纳总结。

小数乘法中求积的近似数以及四则运算和简算，都是在整数乘法的基础上进行了迁移，所以本讲知识在理解时并不难，只是在运用的过程中，同学们要根据题目把握住基本要求，灵活运用所学，保证计算准确。

预习导学

一、预习新知

请你认真看一看小数乘法这一单元，想一想这一单元都包括哪些内容？

二、预习点拨

探究与反思

请你将这一单元所学知识用表格、枝形图等形式表示出来。

同步练习

（答题时间：

45分钟）

一、选择正确答案，将序号填在括号里。

1、下面保留两位小数错误的是（）

A.1.734≈1.73B.5.076≈5.08

C.39.995≈40D.4.089≈4.09

2、与1.01×4.3得数相等的算式是（）

A.1×4.3＋0.01B.1.01×4＋0.3C.1×4.3＋0.01×4.3

3、积与1.872相等的算式是（）

A.5.2×0.36B.52×0.36

C.0.52×0.36D.520×0.036

二、下面的计算对吗？

对的打√，错的打×，并改正过来。

1、3.5×1.6－0.6

＝3.5×1

＝3.5（）

2、0.25×4.4

＝0.25×4＋0.25

＝1＋0.25

＝1.25（）

三、计算下面各题，能简算的要简算。

1、5.8＋4.2×182、2.14×99＋2.14*3、3.75×18＋62.5×1.8

*4、1.39×（18＋83）*5、7.4×2.5＋2.5×5.2÷2*6、4.9×9.9

四、计算下面各题，得数保留两位小数。

0.46×1.80.86×4.7

五、解决问题

1、1990年我国城市公园面积有3.9万公顷，2003年我国城市公园面积是1990年的2.9倍。

2003年我国城市公园面积大约有多少万公顷？

（得数保留一位小数）

2、

电饱煲售价188.8元，电冰箱的价钱是一只电饭煲价钱的16倍，买这样的5只电饭煲和5台冰箱共需付多少钱？

【试题答案】

一、选择正确答案，将序号填在括号里。

1、下面保留两位小数错误的是（C）

A.1.734≈1.73B.5.076≈5.08

C.39.995≈40D.4.089≈4.09

2、与1.01×4.3得数相等的算式是（C）

A.1×4.3＋0.01B.1.01×4＋0.3C.1×4.3＋0.01×4.3

3、积与1.872相等的算式是（A）

A.5.2×0.36B.52×0.36

C.0.52×0.36D.520×0.036

二、下面的计算对吗？

对的打√，错的打×，并改正过来。

3.5×1.6－0.63.5×1.6－0.6

＝3.5×1＝5.6－0.6

＝3.5（×）＝5

0.25×4.40.25×4.4

＝0.25×4＋0.25＝0.25×4＋0.25×0.4

＝1＋0.25＝1＋0.1

＝1.25（×）＝1.1

三、计算下面各题，能简算的要简算。

1、5.8＋4.2×182、2.14×99＋2.14

＝5.8＋75.6＝2.14×（99＋1）

＝81.4＝2.14×100

＝214

*3、3.75×18＋62.5×1.8

解析：

此题初看无法简算，但仔细观察可以看到两个乘法算式中分别有18和1.8，我们根据积不变的规律，可以将18变成1.8，或将1.8变成18。

这样利用乘法分配律就可以进行简算了。

解法一

3.75×18＋62.5×1.8

＝（3.75×10）×（18÷10）＋62.5×1.8

＝37.5×1.8＋62.5×1.8

＝（37.5＋62.5）×1.8

＝100×1.8

＝180

解法二

3.75×18＋62.5×1.8

＝3.75×18＋（62.5÷10）×（1.8×10）

＝3.75×18＋6.25×18

＝（3.75＋6.25）×18

＝10×18

＝180

*4、1.39×（18＋83）

解析：

此题初看无法简算，但我们可以发现18＋83＝101，这时就可以用乘法分配律进行简算了。

1.39×（18＋83）

＝1.39×101

＝1.39×（100＋1）

＝1.39×100＋1.39×1

＝139＋1.39

＝140.39

*5、7.4×2.5＋2.5×5.2÷2

解析：

此题如果按运算顺序做则无法简算，但我们可以发现算式中都有2.5。

这时我们先做除法，就可以进行简算了。

7.4×2.5＋2.5×5.2÷2

＝7.4×2.5＋2.5×2.6

＝（7.4＋2.6）×2.5

＝10×2.5

＝25

*6、4.9×9.9

解析：

此题可以将4.9看成5，或将9.9看成10进行简算。

两相比较把9.9看成10计算会更简便。

4.9×9.9

＝4.9×（10－0.1）

＝4.9×10－4.9×0.1

＝49－0.49

＝48.51

四、计算下面各题，得数保留两位小数。

0.46×1.8≈0.830.86×4.7≈4.04

五、解决问题

1、1990年我国城市公园面积有3.9万公顷，2003年我国城市公园面积是1990年的2.9倍。

2003年我国城市公园面积大约有多少万公顷？

（得数保留一位小数）

3.9×2.9≈11.3（万公顷）

2、

电饭煲售价188.8元，是一只电饭煲价钱的16倍，买这样的5只电饭煲和5台冰箱共需付多少钱？

188.8×16＝3020.8（元）

（188.8＋3020.8）×5

＝3209.6×5

＝16048（元）

二.学习要点：

对第一单元进行知识整理：

重点：

学习对单元知识整理的方法。

难点：

灵活解决问题

计算中一些技巧：

重点：

理解计算技巧的道理

难点：

在解决问题的过程中正确地运用。

［知识教学］

一、对第一单元的知识进行整理。

（一）按照知识的学习顺序进行整理。

1、小数乘法的计算方法

（1）按照整数乘法的计算方法进行。

（2）进行积的处理。

（点小数点）

（3）进行结果的处理。

（最简）

例1：

0.126×50＝6.3

提示：

当数位不够的时候，要用0占位。

2、求积的近似值

方法：

看规定保留位数的下一位，用四舍五入的方法进行保留

例2：

（1）2.9495（保留一位小数）≈2.9

（2）3.9504（保留三位小数）≈3.950

（3）4.9983（保留两位小数）≈5.00

（4）5.8092（保留整数）≈6

提示：

在这里，末尾的0表示精确到的位置，所以不能省略。

3、连乘、连加、乘减，整数乘法运算定律推广到小数

方法：

同整数的运算顺序相同，同整数乘法运算定律使用方法也是相同的。

教学：

分辨下面题目能否进行简算。

例3：

（1）27×0.72×0.4

（2）1.28＋0.72×0.5

（3）2.5×1.7－1.3×2.5

（4）9.8×0.7＋7.9×0.3

思考：

这些题哪些能进行简算?

（3）2.5×1.7－1.3×2.5

＝（1.7－1.3）×2.5

＝0.4×2.5

＝1

分析：

符合运算的规律，可以运用乘法的分配律进行简算。

（2）1.28＋0.72×0.5

（4）9.8×0.7＋7.9×0.3

分析：

虽然数字可以结合成整数，但不符合运算定律，所以，不能进行简算。

例4：

解决实际问题：

一家三口，每天要喝三袋鲜奶，每袋的零售价是0.85元，如果在牛奶销售点定，每袋0.83元，比零买可少花多少元？

解法

（一）：

0.85×3×31—0.83×3×31

解法

（二）：

（0.85—0.83）×3×31

4、按照新旧知识之间的对比进行知识的整理。

整数乘法

小数乘法

计算方法

同：

方法同整数计算方法。

异：

处理积的小数点

结果同被乘数比较

结果肯定比被乘数大

关键在乘数

乘数＞1，积＞被乘数

乘数＝1，积＝被乘数

乘数＜1，积＜被乘数

二、教学：

一些简算的技巧。

1、教学：

口算中的一些技巧。

例1：

（1）2.5×0.1＝0.2534×0.1＝3.40.11×0.1＝0.011

小结：

乘0.1，只要把被乘数的小数点向左移动一位。

（2）2.5×0.01＝0.02534×0.01＝0.340.11×0.01＝0.0011

小结：

乘0.01，只要把被乘数的小数点向左移动两位。

思考：

如果乘0.001，怎么办？

2、教学：

计算中的一些技巧。

例2：

（1）438.9×5＝438.9×10÷2＝2194.5

分析：

由于5＝10÷2，因此，可以先把438.9乘10，再除以2，所得到的商就是438.9与5的积。

574.62×25＝574.62×100÷4＝57462÷4＝14365.5

分析：

由于25＝100÷4，因此，可以先把574.62乘100，再除以4，所得到的商就是574.62与25的积。

3、教学：

简算中的一些技巧。

例3：

9.9×5.3＋0.53

＝9.9×5.3＋5.3×0.1

＝（9.9＋0.1）×5.3

＝10×5.3

＝53

提示：

根据数字的特点，在符合运算定律的前提下进行转化。

在完全符合的情况下，再进行简算。

【模拟试题】（答题时间：

30分钟）

1、根据36×17＝612，很快写出下面各式的积。

（1）0.36×17＝

（2）3.6×1.7＝（3）3.6×0.17＝

（4）0.36×0.17＝（5）360×0.17＝（6）0.036×1.7＝

2、用竖式计算下面各题。

（1）2.35×1.6＝

（2）2.7×240＝

3、用竖式计算下面的题目，得数保留两位小数。

（1）1.72×0.19

（2）0.28×3.23

4、用脱式进行计算。

（1）1.8×0.15×0.6

（2）6.4×3.2＋8.9

5、用简便方法计算下面的题目。

（1）0.25×2.6×4

（2）7.09×55＋45×7.09

（3）3.8×101（4）5.6×99＋5.6

6、脱式计算下面题目。

（1）7.4×8×1.05

（2）0.4＋2.5×50

7、解决实际问题。

（1）一个漏水的水龙头，一天要白白流