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完整版第19章一次函数知识点总结推荐文档
基本概念
第十九章一次函数知识点总结
1、变量：
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：
在匀速运动公式s=vt中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是,常量是。
在圆的周长公式C=2πr中，变量是，常量是.
2、函数：
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应（或者观察图像画竖线，
若只有一个交点则Y是X的函数）
11
例题：
下列函数
（1）y=πx
（2）y=2x－1（3）y=x（4）y=
2
－3x（5）y=x2－1中，是一次函数的有（）
（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个
3、定义域（自变量取值范围）：
一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例题：
下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）
1
A．y=B．y=C．y=D．y=·
5、函数的图像:
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：
列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法
列表法：
一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：
简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的
函数关系，不能用解析式表示。
图象法：
形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
9、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：
正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
（1）解析式：
y=kx（k是常数，k≠0）
（2）必过点：
（0，0）、（1，k）
（3）走向：
k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（5）倾斜度：
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
例题：
正比例函数y=（3m+5）x，当m时，y随x的增大而增大.
.函数y=（k－1）x，y随x增大而减小，则k的范围是（）
A.k<0B.k>1C.k≤1D.k<1
10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：
一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数
b
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（－，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看
k
作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：
y=kx+b（k、b是常数，k≠0）
（2）必过点：
（0，b）和（－b，0）
k
（3）走向：
k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
⎧k>0⇔直线经过第一、二、三象限
⎩b>0
⎧k<0⇔直线经过第一、二、四象限
⎨b>0
⎧k>0⇔直线经过第一、三、四象限
⎩b<0
⎧k<0⇔直线经过第二、三、四象限
⎨b<0
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：
|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移：
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
（上加下减，左加右减）当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例题：
函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）
将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；向右平移3个单位，得到直线;
将直线y＝－x－5向上平移5个单位，得到直线.向左平移2个单位，得到直线
若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m,8）,则a+b=.
已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）
Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－1
11、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：
经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数
的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：
是先选取它与两坐标轴的交点：
与y轴的交点
b
（0，b），与x轴的交点（-
k
，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0b<0b=0
k>0
k<0
经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
☆k、b的符号对直线位置的影响☆
图像过一、二、三象限图像过一、三、四象限图像过一、二、四象限图像过二、三、四象限
（大大不过四）（大小不过二）（小大不过三）（小小不过一）
12、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向
上平移；当b<0时，向下平移）.
13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：
k1=k2且b1≠b2
（2）两直线相交：
k1≠k2
（3）两直线重合：
k1=k2且b1=b2（4）两直线垂直：
k1·k2=–1
14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
15、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：
当某个
一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：
当一次函数值大于0（小于0）时，求自变量的取值范围.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b在x轴的上方（下方）图像所对应的横坐标的取值范围。
.
17、一次函数与二元一次方程组：
任意一个二元一次方程都可以转化成y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程
组都对应一个一次函数，也对应一条直线，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也对应两条直线。
从数的角度看，解方程组相当于求出自变量x的取值，使两个函数值y相等；从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-a
b
x+c
b
的图象相同.
⎧a1x+b1y=c1a1c1a2c2
（2）二元一次方程组⎨ax+by=c
的解可以看作是两个一次函数y=-
⎩222
b1
x+和y=-
b1b2
x+的图象交
b2
点.
18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（-
b
，0）.
2
k
1⨯
直线（b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=2
⨯
b=b
1、☆考察一次函数定义
常见题型
y=（m-1x+）
m2
1、若函数是y关于x的一次函数，则m的值为；解析式为.
n－1
2、要使y=（m－2）x+n是关于x的一次函数,n,m应满足,.
2、☆考查图像性质
1、已知一次函数y=（m－2）x+m－3的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是．
2、若一次函数y=（2－m）x+m的图像经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
3、已知m是整数，且一次函数y=（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m为.
4、直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx-k的图象只能是图4中的（）
5、直线px+qy+r=0（pq≠0）如图5，则下列条件正确的是（）
A.p=q,r=1
C.p=-q,r=1
a
B.
p=q,r=0
D.p=-q,r=0
ac
6、如果ab>0，
c
<0，则直线y=-x+
bb
不通过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7、如图6，两直线y1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（）
8、如果ab>0，a<0，则直线y=-ax+c不通过（）
cbb
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9、b为时，直线y=2x+b与直线y=3x-4的交点在x轴上.
33
10、要得到y=－x－4的图像，可把直线y=－x（）．
22
（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位
11、已知一次函数y=－kx+5，如果点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在函数的图像上，且当x112、已知点（－4，y1），（2，y2）都在直线y=－
1
2x+2上，则y1、y2大小关系是（）
（A）y1>y2（B）y1=y2（C）y1三、☆交点问题
1
（B）
1
1（D）k>1或k<
1
3
3
3
1、若直线y=3x－1与y=x－k的交点在第四象限，则k的取值范围是（）．
（A）k<
2、若直线y=-x+a和直线y=x+b的交点坐标为（m,8），则a+b=.
3、一次函数y=kx+b的图象过点（m,1）和（1,m）两点，且m>1，则k=，b的取值范围是.
4、直线y=kx+b经过点A（-1,m），B（m,1）（m>1），则必有（）
A.k>0,b>0B.k>0,b<0
y=-1x
C.k<0,b>0D.k<0,b<0
5、如图所示，已知正比例函数图像与y轴交于Q点。
2和一次函数y=x+b，它们的图像都经过点P（a，1），且一次函数
（1）求a、b的值；
（2）求△PQO的面积。
4、☆面积问题
1、若直线y=3x+6与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（）．
A．6B．12C．3D．24
2、若一次函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=．
3、已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图像都经过A（-2,0），且与y轴分别交于点B，c，则∆ABC的面积为（）
A．4B．5C．6D．7
1
4、已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点（－1，－5），且与正比例函数y=x的图像相交于点（2，a），求
2
（1）a的值；
（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。
五、☆一次函数解析式的求法
（1）定义型例1.已知函数y=（m-3）xm2-8+3是一次函数，求其解析式。
（2）点斜型例2.已知一次函数y=kx-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
（3）两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函
（4）
y
数的解析式为。
（5）图像型例4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为。
2
（6）斜截型例5.已知直线y=kx+b与直线y=-2x平行，且在y轴上的截距为2，则直线O的解1析式为x
。
（7）平移型例6.把直线y=2x+1向下平移2个单位得到的图像解析式为。
（8）实际应用型例7.某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量
Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为。
（9）面积型例8.已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为
。
（10）对称型例9.若直线l与直线y=2x-1关于y轴对称，则直线l的解析式为。
知识归纳：
若直线l与直线y=kx+b关于
（1）x轴对称，则直线l的解析式为y=-kx-b
（2）y轴对称，则直线l的解析式为y=-kx+b
（11）开放型例10.一次函数的图像经过（－1,2）且函数y的值随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式.
（12）比例型例11..已知y与x+2成正比例，且x＝1时y＝－6．求y与x之间的函数关系式
六、☆分段函数
1、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量
y
-7-39.5
27
x（吨）的函数关系如图所示。
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？
2、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：
每月不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费.
（1）设用电x度时，应交电费y元，当x≤100和x＞100时，分别写出y关于x的函数关系式.
（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：
月份
一月份
二月份
三月份
合计
交费金额
76元
63元
45元6角
184元6角
问小王家第一季度共用电多少度？
七、☆一次函数应用
路程/千米
运费（元/吨、千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
1、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）
（1）设甲库运往A地水泥x吨，求总运费y（元）关于x（吨）的函数关系式，画出它的图象（草图）.
（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？
最省的总运费是多少？
2、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096
万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
A
B
成本（万元/套）
25
28
售价（万元/套）
30
34
注：
利润=售价－成本
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元（a>0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？
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