中考专题解析切线证明.docx
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中考专题解析切线证明
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中考专题解析切线证明
专题解析——切线证明
切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径
切线的性质定理的推论１:
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
切线的性质定理的推论２:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：
DC是⊙O的切线．
思路：
要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90o即可．
证明：
连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90o．
∵∠CAB＝30o，∴BC＝
AB＝OB．
∵BD＝OB，∴BC＝
OD．∴∠OCD＝90o．
∴DC是⊙O的切线．
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．
【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：
CD是⊙O的切线．
思路：
本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90o即可．
证明：
连接OD．
∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．
又∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90o．∴∠ODC＝90o．
∴DC是⊙O的切线．
【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：
AC平分∠DAB．
思路：
利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：
连接OC．
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．
∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．
∴AC平分∠DAB．
【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．
【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗为什么
解：
AC是⊙O的切线．
理由：
连接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B．
∵∠COD是△BOC的外角，
∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．
∵∠ACD=2∠B，
∴∠ACD=∠COD．
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCO+∠COD=90°．
∴∠DCO+∠ACD=90°．
即OC⊥AC．
∵C为⊙O上的点，
∴AC是⊙O的切线．
【例5】如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：
DE是⊙O的切线．
证明：
连接OC，则OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠EAB，
∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，
∴AE∥CO，
又AE⊥DE，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径
【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．
求证：
AC是⊙O的切线
证明:
连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．
∵AB=AC,OB=OC．
∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO
∵⊙O与AB相切于点D，
∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO
∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．
∵OD是⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径．
∴⊙O与AC边相切．
【例7】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.
求证：
EF与⊙O相切.
证明：
连结OE，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=BC，
∴∠3=∠4.
∴BD=DE，∠1=∠2.
又∵OB=OE，OF=OF，
∴△BOF≌△EOF（SAS）.
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切，
∴OB⊥BF.
∴∠OEF=900.
∴EF与⊙O相切.
说明：
此题是通过证明三角形全等证明垂直的
【例8】如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：
PA与⊙O相切.
证明一：
作直径AE，连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB=∠DAC.
∵PA=PD，∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB，∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E，∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径，
∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.
∴∠1+∠EAC=900.即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二：
延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴BE=CE，
∴OE⊥BC.
∴∠E+∠BDE=900.
∵OA=OE，
∴∠E=∠1.
∵PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
∴∠1+∠PAD=900
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明：
此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.
【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：
DM与⊙O相切.
证明一：
连结OD.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
D
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二：
连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
C
∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD，
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明：
证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.
【例10】如图，已知：
AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：
DC是⊙O的切线
证明：
连结OC、BC.
∵OA=OC，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形.
D
∴OB=BC.
∵OB=BD，
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
说明：
此题解法颇多，但这种方法较好.
【例12】如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：
PC是⊙O的切线.
证明：
连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC，
∴OC2=OD·OP，
.
又∵∠1=∠1，
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB，
∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线.
说明：
此题是通过证三角形相似证明垂直的
【例13】如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：
CE与△CFG的外接圆相切.
分析：
此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：
取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG，
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：
“作垂直；证半径”
【例14】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：
AC与⊙D相切.
证明一：
连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB是⊙D的切线，
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=900.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
又∵BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二：
连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.
∵AB与⊙D相切，
∴DE⊥AB.
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠1=∠2.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
∴F在⊙D上.
∴AC与⊙D相切.
说明：
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.
【例15】已知：
如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.
求证：
CD是⊙O的切线.
证明：
连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.
∵AC，BD与⊙O相切，
∴AC⊥OA，BD⊥OB.
∵AC∥BD，
∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB，
∴△AOF≌△BOD（AAS）
∴OF=OD.
∵∠COD=900，
∴CF=CD，∠1=∠2.
又∵OA⊥AC，OE⊥CD，
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
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