中考复习专题圆切线证明.docx

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中考复习专题圆切线证明

中考复习专题

圆的切线的判定与性质

知识考点：

1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用

以下两种方法：

一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。

精典例题：

一、若直线I过O0上某一点A,证明I是OO的切线，只需连OA证明OALI就行了，简称“连半径，

证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC以AB为直径的O0交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交0D延长

线于F.

求证：

EF与O0相切.

例2如图，AD是/BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：

PA与O0相切.

例3如图，AB=ACAB是O0的直径，O0交BC于D,DMLAC于M

求证：

DM与O0相切.

例4如图，已知：

AB是OO的直径，点C在OO上，且/CAB=30,BD=OBD在AB的延长线上

求证：

DC是OO的切线

例5如图，AB是OO的直径，CDLAB,且OA=OD・OP.

求证：

PC是OO的切线.

例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：

CE与△CFG的外接圆相切.

是O0的半径就行了，简称：

"作垂直；证半径”

例7如图，AB=ACD为BC中点，OD与AB切于E点.

求证：

AC与OD相切.

例8已知：

如图，AC,BD与O0切于AB,且AC//BD,若/COD=90

求证：

CD是O0的切线.

AC=BD

［习题练习］

例1如图，AB是O0的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD求证:

例2已知：

如图，在△ABC中，AB=AC以AB为直径的O0与BC交于点D,与AC?

交于点E,求证：

△DEC为

例3如图，AB是OO的直径，弦AC与AB成30°角，CD与O0切于C,交AB?

的延长线于D,求证：

AC=CD

例4如图20-12，BC为O0的直径，AD丄BC,垂足为D,AbAf,BF和AD交于E,

求证：

AE=BE

例5如图，AB是OO的直径，以OA为直径的OO与OO2的弦相交于D,DE丄OC垂足为E.

（1）求证：

AD=DC

（2）求证：

DE是OO的切线.

例6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C,ZA=28°.

（1）求/ACM勺度数.

（2）在MN±是否存在一点D,使AB-CD=ACBC,说明理由.

例7如图，在Rt△ABC中，/C=90°,AC=5BC=12OO的半径为3.

（1）若圆心O与C重合时，OO与AB有怎样的位置关系？

（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，OO与AB相切？

19.如图，Rt△ABC内接于OO,AC=BC/BAC的平分线AD与O0交于点D,与BC交于点E,延长BD与AC的延长线交于点F,连结CDG是CD的中点，连结0G.

（1）判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；

12、如图，割线ABC与OO相交于B、C两点，D为OO上一点，E为BC的中点，0E交BC于F,DE交

AC于G/ADG=/AGD

（1）求证：

AD是O0的切线；

（2）如果AB=2,AD=4,EG=2，求OO的半径。

13、如图，在△ABC中，/ABC=900,O是AB上一点，以0为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E,与

AC切于点D,AD=2,AE=1,求SBCD

1如图，等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12。

以BC为直径作OO交AB于点D,交AC于点G,DF丄AC

垂足为F,交CB的延长线于点Eo

（1）求证：

直线EF是OO的切线；

（2）求CF:

CE的值。

A

/Af

AC3AF

AD于点F.⑴求证：

DE是O0的切线；⑵若—C3，求——的值。

AB5DF

3如图，中，，以为直径作交边于点，是边的中点，连接.

（1）求证：

直线是的切线；

（2）连接交于点，若，求的值.

4.如图，点0在/APB的平分线上，O0与PA相切于点C.

（1）求证：

直线PB与O0相切；

（2）P0的延长线与O0交于点E.若O0的半径为3,PC=4求弦CE的长.

（第24题）

ABC90°，以AB为直径的eO交AC于点E，点D是BC边的中

点，连结DE.

（1）求证：

DE与eO相切；

（2）若eO的半径为.3，DE3，求AE.

24、

如图，AB是OO的直径，/BAC=30,M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且/ECF=/E.

（1）证明CF是OO的切线；

（2）设0O的半径为1，且AC=CE求MO的长.

【例1】如图，AC为OO的直径，B是OO外一点，AB交OO于E点，过E点作OO的切线，交BC于D点，DE=DC作EF丄AC于F点，交AD于M点。

（1）求证：

BC是OO的切线；

（2）EM=FM

证明：

【例2】如图，△ABC中，AB=AC,O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。

求证：

AC是OO的切线。

【例3】如图，已知AB是OO的直径，BC为OO的切线，切点为B,OC平行于弦AD,OA=r。

（1）求证：

CD是OO的切线；

2）求ADOC的值；

9

（3）若AD^0C=二r，求CD的长。

2

探索与创新：

【问题一】如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O,CG切半圆于E,交

AD于F，交BA的延长线于GGA=&

（1）求/G的余弦值；

（2）求AE的长。

【问题二】如图，已知△ABC中，AC=BC,ZCAB=（定值），O0的圆心O在AB上，并分别与ACBC

相切于点P、Q

（1）求/POQ

（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与O0相切于点M点E在CB的延长线上，试判断/DOE勺大小是否保持不变，并说明理由。

1、已知：

如图，在矩形ABCD中，点0在对角线BD上，以0D的长为半径的OO与AD,BD分别交于

点E点F,且/ABE=ZDBC.

（1）判断直线BE与O0的位置关系，并证明你的结论;

（2）若sinABE

-,CD2，求O0的半径.

3

2、已知：

如图，O0的半径0C垂直弦AB于点H,连接BC过点A作弦AE//BC过点C作CD/BA交EA延长线于点D,延长CO交AE于点F.

（1）求证：

CD为OO的切线；

（2）

若BC=5,AB=8，求OF的长.

3、如图，ABC是等腰三角形，ABAC,以AC为

直径的O0与BC交于点D,DEAB，垂足为E,

ED的延长线与AC的延长线交于点F.

（1）求证：

DE是o0的切线；

（2）若00的半径为2,BE1,求cosA的值.

4、已知：

如图，AB是00的直径，BC切eO于B,AC交00于P,D为BC边的中点，连结DP.

⑴DP是O0的切线；

⑵若cosA3,O0的半径为5,求DP的长.

5

如图，在△ABC中，ABAC,AE是角平分线，BM

平分ABC交AE于点M，经过B,M两点的o0交BC于

（1）求证：

AE与O0相切;

1

BC4,cosC-

（2）当3时，求00的半径.

6、如图，AB是00的直径，BAC30,M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线

于点E,直线CF交EN于点F,且ECFE.

（1）证明CF是00的切线

（2）设00的半径为1.且AC=CE求M0的长.

求证：

△DFC

将^AFC沿AC

7、如图，已知AB为OO的直径，DC切O0于点C过D点作DELAB垂足为E,DE交AC于点F.

是等腰三角形

8、在Rt△AFD中，/F=90°点BC分别在ADFDk,以AB为直径的半圆0过点C,联结AC

翻折得△AEC且点E恰好落在直径A吐.

（1）判断：

直线FC与半圆0的位置关系是;并证明你的结论

（2）若0酔Bt=2,求CE的长.

9、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC以AB为直径的O0分别交BCAC于点DE,联结EB交0D于点F.

（1）求证：

ODLBE;

（2）若DE^5,AB=5,求AE的长.

（9题图）

10、如图所示，AB是OO的直径，ODL弦BC于点F,且交OO于点E,若/AEC/0DB

（1）判断直线BD和OO的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=10,BC=8时，求BD的长.

11、已知：

AB是OO的弦，ODLAB于M交OO于点D,CBLAB交AD的延长线于C.

（1）求证：

AD=DC

（2）过D作OO的切线交BC于E,若D&2,CE=,

求OO的半径.

12、如图，AB为OO的直径，AD平分BAC交OO于点D,

DEAC交AC的延长线于点E,BFAB交AD的延长线于点F,

（1）求证：

DE是OO的切线；

（2）若DE3,OO的半径为5，求BF的长.

DF丄AC

13、如图，等腰三角形ABC中,AC=BC=6,AB=8•以BC为直径作OO交AB于点D,交AC于点垂足为F,交CB的延长线于点E

（1）求证：

直线EF是OO的切线；

（2）求sin/E的值.

14、如图，为半圆的直径，点C在半圆上，过点作的平行线交于点,

（1）求证：

是半圆O的切线；

（2）若，，求的长•

15、已知：

如图，在△ABC中，AB=BCD是AC中点，BE平分/ABD交AC于点E,点0是AB上一点，O0过B、E两点，交BD于点G交AB于点F.

（1）求证：

AC与O0相切；

1

（2）当BD=2,sinC=时，求OO的半径.

2

16、如图，AB是OO的直径，点C在OO上，M是BC的中点，OM交OO的切线BP于点P.

（1）判断直线PC和OO的位置关系，

并证明你的结论.

（2）若sin/BAC=,OO的半径为2,求线段PC的长.

17、如图，在OO中，AB是直径，AD是弦，/ADE=60°,/C=30

（1）判断直线CD是否为OO的切线，并说明理由;

（2）若CD=，求BC的长.

18、已知，如图，直线MN交OO于A,B两点，AC是直径,AD平分CAM交OO于D,过D作DELMN于E.

（1）求证：

DE是OO的切线；

（2）若DE6cm,AE3cm,求OO的半径.

19、已知：

如图，AB为OO的直径，弦AC//OD,BD切OO于B,联结CD.

（1）判断CD是否为OO的切线，若是请证明；若不是请说明理由.

（2）若AC2,OD6,求OO的半径.

20、如图，OO的直径AB=4,CD为圆周上两点，且四边形OBC是菱形，过点D的直线EF//AC交BABC的延长线于点E、F.

（1）求证：

EF是OO的切线;

（2）求DE的长.

21、已知：

在OO中，AB是直径，AC是弦，OELAC于点E,过点C作直线FC,使/FCA=ZAOE交AB的延长线于点D.

（1）求证：

FD是OO的切线；

（2）设OC与BE相交于点G,若OG=2,求OO半径的长；

（3）在

（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积•

1

22、已知：

如图，点A是OO上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B,OCBC,AC-OB.

2

（1）求证：

AB是OO的切线；

（2）若ACD45,OC2，求弦CD的长.

23、如图，点D是OO直径CA的延长线上一点，点B在OO上，且AB=AD=AO

（1）求证：

BD是OO的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交

于点F,且CF=9,cos/BFA=，求EF的长.

24、如图，已知AB为OO的弦，C为OO上一点，/C=ZBAD且BDLAB于B

（1）求证：

AD是OO的切线；

（2）若OO的半径为3,AB=4,求AD的长.

25、已知：

如图，AB是OO的直径，E是AB延长线上的一点，D是OO上的一点，且AD平分/FAEED丄AF交AF的延长线于点C.

（1）判断直线CE与OO的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AF：

FC=5:

3,AE=16，求OO的直径AB的长.

26、已知：

如图，在△ABC中,AB=AC点D是边BC的中点•以BD为直径作圆O,交边AB于点P,联结

PC交AD于点E.

（1）求证：

AD是圆O的切线；

（2）

若PC是圆O的切线，BC=8,求DE的长.

27、已知：

如图，在厶ABC中,ACB90°,/ABC的平分线BD交AC于点D,DELDB交AB于点E,过B、DE三点作OO.

（1）求证：

AC是OO的切线；

（2）设OO交BC于点F,连结EF,若BG=9,CA=12.

求EF的值.AC

28、在Rt△ABC中，/C=90,BC=9,CA=12,/ABC的平分线BD交AC于点D,

DELDB交AB于点E,OO是厶BDE勺外接圆，交BC于点F

（1）求证:

AC是OO的切线；

（2）联结EF,求-EF的值

AC

（第28题）

14、如图，AB是半圆（圆心为C）的直径,

（1）求证：

CD是半圆的切线；

（2）若AB长为4,点D在半圆上运动，设

OD是半径，BM切半圆于B,OC与弦AD平行且交BM于C。

AD长为x，点A到直线CD的距离为y，试求出y与x之间

的函数关系式，并写出自变量X的取值范围。

15、如图，AB是OO的直径，点C在OO的半径AO上运动，PCLAB交OO于E,PT切OO于T,PC

（1）当CE正好是OO的半径时，PT=2,求OO的半径；

（2）设PT2y,ACx，求出y与x之间的函数关系式；

（3）APTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？

若能，请求出厶PTC的面积；若不能，请说明

理由。

11

20.已知：

AB是OO的弦，ODLAB于M交OO于点D,CBLAB交AD的延长线于C.

（1）求证：

AD=DC

（2）过D作OO的切线交BC于E,若DG2,CE=,

求OO的半径.

20•在Rt△AFD中，/F=90°，点B、C分别在ADFD上以A助直径的半圆O过点C,联结AC将厶AFC沿

A（翻折得△AEC且点E恰好落在直径AB±.

（1）判断：

直线FC与半圆O的位置关系是;并证明你的结论.

（2）若O酔Bt=2,求CE勺长.

）

20.如图所示，AB是OO的直径，OD_弦BC于点F,且交OO于点E,若/AEC/ODB

（1）判断直线BD和OO的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=10,BO8时，求BD的长.

20.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC以AB为直径的OO分别交BCAC于点DE,联结EB交OD于点F.

（1）求证：

ODLBE

（2）若DE=、5,AB=5,求AE的长.

（20题图）

20.如图，AB是eO的直径，BAC30,M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线

于点E,直线CF交EN于点F,且ECFE.

（1）证明CF是eO的切线

（2）设OO的半径为1.且AC=CE求MO的长.

20.已知：

AB是OO的弦，ODLAB于M交OO于点DCBLAB交AD的延长线于C.

（1）求证：

AD=DC

（2）过D作OO的切线交BC于E,若DG2,CE=,

求OO的半径.

20.在Rt△AFD中，/F=90。

，点B、C分别在ADFD上以AB为直径的半圆O过点C,联结AC将厶AFC沿A（翻折得△aec且点E恰好落在直径AB上.

（1）判断：

直线FC与半圆O的位置关系是;并证明你的结论.

（2）若O酔Bt=2,求CE勺长.

20.如图所示，AB是OO的直径，OD_弦BC于点F,且交OO于点E,若/AEC/ODB

（1）判断直线BD和OO的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=10,BC=8时，求BD的长.

20.（本小题满分5分）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC以AB为直径的OO分

别交BGAC于点DE,

联结EB交OD于点F.

（1）求证：

ODLBE

（2）若DE=.5,AB=5,求AE的长.

（20题图）

20.如图，AB是OO的直径，BAC30,M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线

于点E,直线CF交EN于点F,且ECFE.

（1）证明CF是OO的切线

（2）设OO的半径为1.且AC=CE求MO的长.

1.如图，AB为O0的直径，AD平分/BAC交OO于点D,DELAC交AC的延长线于点E,FB是O

O的切线交AD的延长线于点F。

（1）求证：

DE是OO的切线；

（2）若DE=3OO的半径为5,

求BF的长。

2.如图，已知△ABC内接于OO,AC是直径，

D是弧AB的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交

CBCA的延长线于E、F.

（1）求证：

EF是。

O的切线.

（2）若EF=8,EG6,求OO的半径.

3.已知AB是。

o的直径，AP是。

O的切线，A是切点，BP与。

0交于点C.（I）如图

①，若AB=2P30，求AP的长（结果保留根号）；

（U）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是OO的切线.

B

C

O

D

图②

A

图①

4.

如图，已知△ABC中,AB=BC以AB为直径的OO交AC于点D,过D作DELBC,垂足为E，

（1）求证：

DE是OO的切线;

（2）分别求ABOE的长；

1.如图，以线段AB为直径的。

0交线段AC于点E,点M是弧AE的中点，Oh交AC于点D,Z

BOE=60,COSC2,BC2「3.

（1）求A的度数；

（2）求证：

BC是。

0的切线；

（3）

求MD的长度.

2.如图，Rt△ABC中，/ABC=90，以AB为直径的。

0交AC于点D,过点D的切线交BC于E.

（1）求证：

1DEBC；

2；

、、5

（2）若tanC=2，DE=2求AD的长.

3.如图，00的直径AB=12弧BC的长为2,D在0C的延长线上，且CD=OC.

（1）求/A的度数；

（2）求证：

DB是OO的切线.

4.

如图O的圆心在Rt△ABC的直角边AC±,OO经过C、D两点，与斜边AB交于点E,连结BOED有BO//ED作弦EF丄AC于G,连结DF.

（1）求证：

AB为OO的切线；

1.如图，AB为。

O的直径，劣弧BCBE，BD//CE连接AE并延长交BD于B求证：

（1）BD是OO的切线