中考复习专题圆切线证明doc.docx
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中考复习专题圆切线证明doc
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质
知识考点：
1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：
一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。
2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。
精典例题：
一、若直线
l过⊙O上某一点
A，证明
l是⊙O的切线，只需连
OA，证明
OA⊥l
就行了，简称“连半径，
证垂直”，难点在于如何证明两线垂直
.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延
长线于F.
求证：
EF与⊙O相切.
例2如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：
PA与⊙O相切.
例3如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M
求证：
DM与⊙O相切.
例4如图，已知：
AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：
DC是⊙O的切线
例5如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：
PC是⊙O的切线.
例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：
CE与△CFG的外接圆相切.
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA
是⊙O的半径就行了，简称：
“作垂直；证半径”
例7如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：
AC与⊙D相切.
例8已知：
如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.
求证：
CD是⊙O的切线.
[习题练习]
例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：
AC=BD．
例2已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?
交于点E，求证：
△DEC
为等腰三角形．
例3如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?
的延长线于D，求证：
AC=CD．
例4如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为
?
?
D，AB
AF，BF和AD交于E，
求证：
AE=BE．
例5如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．
（1）求证：
AD=DC．
（2）求证：
DE是⊙O1的切线．
例
6如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点
（1）求∠ACM的度数．
（2）在MN上是否存在一点
C，∠A=28°．
D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．
例7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系
（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切
19.如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线
AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与
AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结
0G．
（1）判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并
证明；
（2）求证：
AE=BF；（3）若OGDE3（2
2），求⊙O的面积。
F
C
G
D
E
A
O
B
12、如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为BC的中点，OE交BC于F，DE交
AC于G，∠ADG＝∠AGD。
（1）求证：
AD是⊙O的切线；
（2）如果AB＝2，AD＝4，EG＝2，求⊙O的半径。
C
C
E
F
?
D
Q
G
B
D
AE
?
B
O
C
?
?
B
APM
O
A
第11题图第12题图第13题图
13、如图，在△ABC中，∠ABC＝900，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD＝2，AE＝1，求SBCD。
1如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。
以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。
（1）求证：
直线EF是⊙O的切线；
（2）求CF:
CE的值。
A
F
D
G
EBO
C
（第22题图）
2如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，
AC3AF
OE交AD于点F．⑴求证：
DE是⊙O的切线；⑵若，求
AB5DF
的值。
E
C
D
F
A
O
B
3如图，
△ABC
中，
ABC90°
，以为直径作交边于点，是边的中点，连接．
（1）求证：
直线是的切线；
（2）连接交于点，若
OFCF，求tan
ACO的值．
C
DFE
AB
O
4．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：
直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
已知：
如图，在Rt△ABC中，
C90o，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与
AC，AB分
别交于点D，E，且CBD
A．
（1）判断直线BD与eO的位置关系，并证明你的结论；
C
（2）若AD:
AO8:
5，BC
2，求BD的长．
解：
（1）
D
（2）
A
E
B
O
如图18，四边形ABCD内接于，是的直径，AE
CD，垂足为，平分BDE．
（1）求证：
是的切线；
（2）若DBC30o，DE
1cm，求的长．
A
E
D
O
BC
图18
如图所示，△ABC是直角三角形，
ABC90o，以AB为直径的eO交AC于点E，点D是BC边的中
点，连结DE．
A
（1）求证：
DE与eO相切；
（2）若eO的半径为
3，DE
3，求AE．
O
E
BDC
（第24题）
24、
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于
点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E.
（1）证明CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求MO的长.
【例1】如图，AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE＝DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点。
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）EM＝FM。
证明：
B
E
2
D
M
1
A
?
3
F
C
O
例1图
【例2】如图，△ABC中，AB＝AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与
AB相切
A
于点D。
求证：
AC是⊙O的切线。
D
E
B
O
C
例2图
【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为
B，OC平行
C
于弦AD，OA＝r。
（1）求证：
CD是⊙O的切线；
D
（2）求ADOC的值；
1
（3）若AD＋OC＝9r，求CD的长。
A
2?
3
2
O
B
例3图
探索与创新：
【问题一】如图，以正方形
ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为
O，CG切半圆于E，交
AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8。
G
（1）求∠G的余弦值；
F
（2）求AE的长。
A
D
E
O?
B
C
问题一图
【问题二】如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝（定值），⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC、
BC相切于点P、Q。
（1）求∠POQ；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由。
C
PQ
AB
O
D
N
E
问题二图
圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型
1、已知：
如图，在矩形
ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于
点E、点F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
E
D
A
（2）若sinABE
3
O
，CD2，求⊙O的半径．
3
F
B
C
2、已知：
如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA
延长线于点D，延长CO交AE于点F．
（1）求证：
CD为⊙O的切线；
C
B
（2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．
H
O
D
A
FE
F
3、如图，ABC是等腰三角形，AB
AC，以AC为
C
直径的⊙O与BC交于点D，DE
AB，垂足为E，
D
O
ED的延长线与AC的延长线交于点
F．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
A
EB
第3题图
（2）若⊙O的半径为2，BE1，求cosA的值．
4、已知：
如图，AB是⊙O的直径，BC切eO于B，AC交⊙O于P，D为BC边的中点，连结DP．
（1）DP是⊙O的切线；
3
A
（2）若cosA
，⊙O的半径为5，求DP的长.
5
P
O
BDC
5、如图，在△ABC中，AB
AC，AE是角平分线，BM
C
平分ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于
E
点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
M
G
（1）求证：
AE与⊙O相切；
A
B
1
F
O
BC
4，cosC
（2）当
3时，求⊙O的半径．
6、如图，AB是⊙O的直径，BAC
30，M是OA上一
线交AC于点N,交BC的延长线于点
E,直线CF交EN于点
（1）证明CF是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长.
E
F
C
N
ABMO
点，过M作AB的垂
F,且ECFE.
7、如图，已知AB为⊙O的直径,DC切⊙O于点C,过D点作DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F.求证：
△DFC是等腰三角形.
8、在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联结AC，将△AFC沿AC
翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上.
（1）判断：
直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.
（2）若OB=BD=2,求CE的长．
F
C
AOEBD
9、已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，联结EB交OD于点F．
（1）求证：
OD⊥BE；C
E
（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．
D
F
AOB
（9题图）
10、如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．
11、已知：
AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．
（1）求证：
AD＝DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，求⊙O的半径．
E
C
F
12、如图，AB为⊙O的直径，AD平分
BAC交⊙O于点D，
D
DEAC交AC的延长线于点E，BF
AB交AD的延长
线于点F，
A
O
B
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）若DE
3,⊙O的半径为5，求BF的长．
13、如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：
直线EF是⊙O的切线；
（2）求sin∠E的值．
14、如图，为半圆的直径，点C在半圆上，过点作的平行线交于点，交过点的直线于点，且DBAC.
（1）求证：
是半圆O的切线；
D
（2）若BC2，CE2，求的长.
C
E
BOA
15、已知：
如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O
过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：
AC与⊙O相切；
C
（2）当BD=2，sinC=1时，求⊙O的半径．
2
D
EG
AFOB
⌒
16、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是BC的中点，OM交⊙O的
切线BP于点P．
（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，并证明你的结论．
（2）若sin∠BAC＝，⊙O的半径为2，求线段PC的长．
17、如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60，°∠C=30．°
（1）判断直线CD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=，求BC的长．
A
O
B
C
ED
18、已知，如图，直线MN交⊙O于A,B两点，AC是直径，AD平分CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：
DE是⊙O的切线；
（2）若DE6cm，AE3cm，求⊙O的半径.
19、已知：
如图，
AB为⊙O的直径，弦AC//OD,BD切⊙O于B,联结CD．
（1）判断CD是否为⊙O的切线，若是请证明；若不是请说明理由．
（2）若AC
2,OD6,求⊙O的半径．
A
C
O
D
B
20、如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形BC的延长线于点E、F．
（1）求证：
EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
E
OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、
F
DC
B
AO
21、已知：
在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC
于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交
F
C
AB的延长线于点D.
E
（1）求证：
FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O
O
B
D
半径的长；
A
（3）在
（2）的条件下，当
OE＝3时，求图中阴影
部分的面积.
22、已知：
如图，点
A
是⊙
O
上一点，半径
OC
的延长线与过点
A
的直线交于点
BOC
BC
，AC
1OB．
，
（1）求证：
AB是⊙O的切线；
2
（2）若ACD
45
，OC2，求弦CD的长．
D
O
C
第19题A
B
23、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．
（1）求证：
BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交
于点F，且CF＝9，cos∠BFA＝2
B
E
，求EF的长．
3
F
DA
O
C
24、如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：
AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.
C
OB
AD
25、已知：
如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥
AF交AF的延长线于点C．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
F
（2）若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．
A
26、已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以PC，交AD于点E．
（1）求证：
AD是圆O的切线；
（2）若PC是圆O的切线，BC=8，求DE的长．
C
D
OBE
BD为直径作圆O，交边AB于点P，联结
A
P
E
．
BODC
（第26题）
27、已知：
如图，在△ABC中，ACB
90o，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB
，
于点E过B、D、E三点作⊙O．
B
（1）求证:
AC是⊙O的切线；
（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9，CA=12.
求EF的值.
O
AC
E
F
CDA
A
28、在Rt△ABC中，∠C=90，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线
BD交AC于点D，
E
DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交
BC于点F
O
（1）求证:
AC是⊙O的切线;
D
（2）联结EF，求
EF
AC
的值
BFC
（第28题）
14、如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交BM于C。
（1）求证：
CD是半圆的切线；
（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为x，点A到直线CD的距离为y，试求出y与x之
间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。
M
C
D
AOB
第14题图
15、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC
＝。
（1）当
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