钢筋混凝土梁的应力应变计算.doc
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钢筋砼梁应力应变计算方法的探讨
余海森
（江西省交通科研院南昌330038）
摘要：
对于钢筋砼梁应力应变的计算，分别用桥梁规范中弹性体假定的应力计算方法和以砼处于弹塑性阶段的应力计算方法进行分析，通过算例比较两者计算结果的差异，提出一些个人的见解。
关健词：
桥梁工程；钢筋砼梁；应力应变值；计算方法；基本假定；弹性；弹塑性
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0前言
钢筋砼梁属于受弯构件。
按《公路钢筋砼及预应力砼桥涵设计规范》（以下简称《桥规》）要求，对于钢筋砼受弯构件的设计，首先按承载能力极限状态对梁进行强度计算，从而确定构件的设计尺寸、材料、配筋量及钢筋布置，以保证截面承载能力要大于荷载效应；另外，尚需按正常使用极限状态对构件进行应力、变形、裂缝计算，验算其是否满足正常使用时的一些限值的规定。
为检验钢筋砼梁的施工是否满足设计要求，均应对形成该梁的材料（钢筋及砼）进行强度检验，但由于砼的养护环境、工作条件及钢筋的加工、布置等方面，均存在试样与实际构件之间的差异，因而不能完全地说明该构件的工作性能。
有时，按需要可对梁进行直接加载试验以量测荷载效应值，通过实测值与理论计算值的比较，以检验其工作性能是否能满足设计和规范的要求。
通常情况下，我们不能直接测定梁体的应力值，只能通过实测梁体的应变值，进而求算其应力值。
但钢筋砼结构属于非匀质材料，不能直接运用材料力学计算公式进行其应力及应变的计算，因此，本文按弹性阶段应力计算和弹塑性阶段应力计算2种方法进行分析比较。
1按弹性阶段计算应力的方法
钢筋砼梁在使用阶段的工作状态可认为与施工阶段的工作状态相同，都处于带裂缝工作阶段，因此可按施工阶段的应力计算方法进行计算。
1.1基本假定
《桥规》规定：
钢筋砼受弯构件的施工阶段应力计算，可按弹性阶段进行，并作以下3项假定。
1.1.1平截面假定
认为梁的正截面在梁受力并发生弯曲变形后，仍保持为平面，平行于梁中性轴的各纵向纤维的应变与其到中性轴的距离成正比，同时由于钢筋与砼之间的粘结力，钢筋与其同一水平线的砼应变相等。
其表达式为：
εh/x=εh′/（h0-x）
εg=εh′
式中：
εh′-为与钢筋同一水平处砼受拉平均应变；
εh-为砼受压平均应变；
εg-为钢筋平均拉应变；
x-为受压区高度；
h0-为截面有效高度。
1.1.2弹性体假定
假定受压区砼的法向应力图形为三角形。
钢筋砼受变构件处在带裂缝工作阶段，砼受压区的应力分布图形是曲线形，但曲线并不丰满，与直线相差不大，可以近似地看作呈直线分布，即受压区砼的应力与应变成正比。
σh=εhEh
式中：
σh-为砼应力；
εh-为砼受压平均应变；
Eh-为砼弹性模量。
1.1.3受拉区砼完全不能承受拉应力
在裂缝截面处，受拉区砼已大部分退出工作，但在靠近中和轴附近，仍有一部分砼承担着拉应力。
由于其拉应力较小，内力偶臂也不大，因此，不考虑受拉区砼参加工作，拉应力全部由钢筋承担。
σg=εgEg
式中：
σg-为钢筋应力；
εg-为受拉区钢筋平均应变；
Eg-为钢筋弹性模量。
1.2采用换算截面计算应力
根据同一水平处钢筋应变与砼的应变相等，将钢筋应力换算为砼应力，则钢筋应力为砼应力的ng倍（ng=Eg/Eh）。
由上述假定得到的计算图式与材料力学中匀质梁计算图非常接近，主要区别是钢筋砼梁的受拉区不参予工作。
因此，将钢筋假想为受拉的砼，形成一种拉压性能相同的假想材料组成的匀质截面，即为换算截面，再按材料力学公式进行应力计算。
1.2.1受压区边缘砼应力
σha=Mx/I01
式中：
M-为弯矩；
x为受压区高度；
I01为换算截面惯性矩。
1.2.2受拉钢筋面积重心处钢筋应力
σg=ngM（h0-x）/I01
式中：
M-为弯矩；
x-为受压区高度；
I01-为换算截面惯性矩；
h0-为截面有效高度。
对于截面换算系数ng，《桥规》规定如下：
砼标号15号ng=15
砼标号20、25、30号ng=10
2按弹塑性阶段计算应力的方法
钢筋砼梁在使用阶段的工作状态为带裂缝工作阶段，其变形特征为：
受压区砼为弹塑性变形，受拉区砼为塑性变形，受拉区钢筋为弹性变形。
2.1平截面假定
国内外大量试验证明，对于钢筋砼受弯构件，砼受压区从开始加荷直至破坏各阶段基本都符合平截面假定，亦即截面的应变均为直线分布。
对受拉区来说，在砼带裂缝工作阶段，就裂缝所在截面而言，钢筋和砼之间发生了相对位移，显然不符合材料力学的平截面假定，但是，若受拉区的应变采用跨过几条裂缝的长标距量测时，就其平均拉应变来说，大体上还是符合平截面假定。
2.2材料应力应变物理关系
2.2.1对于钢筋的应力应变关系因为正常使用阶段钢筋应力还未达到屈服极限，所以可采用理想的弹性应力应变直线关系，其表达式为：
σg=εgEg（εg<εy）
式中：
σg-为钢筋应力；
εg-为受拉区钢筋平均应变；
Eg-为钢筋弹性模量；
εy-为屈服应变。
2.2.2对于砼受压的应力应变关系参照《砼结构设计规范》中砼单轴受压的应力—应变曲线方程形式，因正常使用阶段砼压应力尚未达到受压标准强度限值，故采用该曲线的上升段，表达式为：
σh=Rab[A×（ε/ε0）+（3-2×A）（ε/ε0）2+（A-2）（ε/ε0）3]（ε<ε0）
式中：
σh-为砼压应力；
Rab-为砼抗压标准强度；
ε-为砼压应变；
ε0-为对应Rab的砼应变值；
A-为参数。
2.2.3对于砼受拉的应力应变关系参照《砼结构设计规范》中砼单轴受拉的应力—应变曲线方程形式，认为砼拉应变超过对应于抗拉标准强度的应变值时砼即不再承担拉力工作，故同样采用该曲线的上升段，表达式为：
σhl=Rlb[1.2×（ε/εt）-0.2×（ε/εt）6]（ε<εt）
式中：
σhl-为砼拉应力；
Rlb为砼抗拉标准强度；
ε-为砼拉应变；
εt-为对应Rlb的砼应变值。
2.3根据应力应变关系进行计算分析
受拉区钢筋拉应力合力为：
Tg=σgAg=εgEgAg
受压区砼压应力合力根据以其应力应变方程和受压区高度进行定积分计算，求算其合力为：
（如为T形截面则需分段积分,下式中x为受压区高度）
C=∫0xσc（ε）bdy=∫0xRab[A×（ε/ε0）+（3-2×A）（ε/ε0）2+（A-2）（ε/ε0）3]bdy
砼压应力合力C的作用点至中性轴的距离为:
yc=（∫0xσc（ε）bydy）／C
受拉区砼压应力合力根据以其应力应变方程和受拉区高度进行定积分计算，求算其合力为：
Tc=∫0LσL（ε）bdy=∫0LRlb[1.2×（ε/εt）-0.2×（ε/εt）6]bdy
式中L为受拉区高度
砼拉应力合力Tc的作用点至中性轴的距离为:
yL=（∫0LσL（ε）bydy）／Tc
根据力的平衡原理可知：
Ｃ＝Tg+Tc
Ｍ＝Ｃ×（h0-x+yc）-Tc×（h0-x-yL）
再根据平截面假定则有以下四式：
ε/εc＝y/x
（下转第67页）
ε/εt＝y/L
x/h0＝εc/（εc+εg）
L/（h0-x）＝εt/εg
根据以上代数式求解联立方程。
因涉及多元多次方程组求解，手算相当烦琐，可编制计算机程序，求算在弯矩M作用下的砼及钢筋应力应变值。
3算例比较
现举例分别以两种方法进行应力应变计算，对计算结果的异同进行分析比较。
例：
钢筋砼简支T梁，计算跨径L=19.50m。
25号砼，Rab=17.5MPa,Eh=2.85×104MPa,主梁截面顶面翼板全宽bi=1500mm，翼板厚hi=110mm，腹板宽b=180mm，梁高h=1300mm，有效高度h0=1196mm，主筋面积Ag=68.37cm2，Eg=2×105MPa，Rgb=340MPa。
主梁在使用阶段的内力为：
恒载ML=750kN.m，汽车荷载MQ=600kN.m。
3.1按弹性阶段计算的应力应变结果如下：
表1
荷载
弯矩
M（KN.m）
上缘砼应力σc（MPa）
上缘砼应
变εc
钢筋应力
σg（MPa）
钢筋应
变εg
恒载
750
4.25
1.49×10-4
97.15
4.86×10-4
总荷载
1350
7.65
2.68×10-4
174.87
8.74×10-4
汽车荷载=
总荷载-恒载
600
3.40
1.19×10-4
77.72
3.88×10-4
3.2按弹塑性阶段计算的应力应变结果如下：
表2
荷载
弯矩
M（kN.m）
上缘砼应力
σc（MPa）
上缘砼
应变εc
钢筋应力
σg（MPa）
钢筋应
变εg
恒载
750
4.48
1.81×10-4
95.42
4.77×10-4
总荷载
1350
7.78
3.38×10-4
174.84
8.74×10-4
汽车荷载=
总荷载-恒载
600
3.60
1.57×10-4
79.42
3.97×10-4
3.3两种计算结果比较如下：
表3
荷载
两者计算的比值（3.1效应值/3.2效应值）
弯矩
上缘砼应力
上缘砼应变
钢筋应力
钢筋应变
恒载
1
0.95
0.82
1.02
1.02
总荷载
1
0.98
0.79
1.00
1.00
汽车荷载
1
0.94
0.76
0.98
0.98
从表中计算结果比较可以看出，两种方法计算的砼及钢筋的应力值都很接近。
钢筋作为一种较理想化的匀质弹性体，其弹性模量为常数，因此当应力接近时钢筋应变值也很接近，但砼则不同，由于弹性体假定时砼弹性模量为常数，而弹塑性假定时砼弹性模量不为常数，且随应力增加而弹性模量减小及应变差值增大。
因此，当以实测应变来推算应力值时，两种计算方法的钢筋应力值较为接近，而砼应力值则会产生较大的偏差。
4结语
《桥规》仅提出了钢筋砼应力计算的公式，而并没有提出应变的计算公式，且其对截面换算系数ng也直接定出了规定值，带有一定的经验因素，是一种经验近似计算。
从大量试验资料可知，砼在应力值超过一定程度后，将产生较明显的塑性变形。
因此，较精确的计算方法应该采用与实际情形更接近的弹塑性理论进行计算。
参考文献：
[1]JTJ023-85,公路钢筋砼及预应力砼桥涵设计规范[S].
[2]叶见曙,袁国干.结构设计原理[M].北京;人民交通出版社.
[3]GB50010-2002,砼结构设计规范[S].
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