第五章线性系统状态反馈1.doc

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第五章线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计

闭环系统性能与闭环极点（特征值）密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装置的方法来配置极点，以改善系统性能。

而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统，除了利用输出反馈以外，主要利用状态反馈来配置极点。

采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。

然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题，即状态观测器的设计。

§5-1状态反馈与闭环系统极点的配置

一、状态反馈

1、状态反馈的概念

状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入相加，其和作为受控系统的输入。

设SISO系统的状态空间表达式为：

状态反馈矩阵为，则状态反馈系统动态方程为：

式中：

为矩阵，即，称为状态反馈增益矩阵。

称为闭环系统矩阵。

闭环特征多项式为。

可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，阵均无变化。

状态反馈系统结构图

【例5.1.1】已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。

，

解：

其中称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵。

说明：

如果系统为维输入、维输出的MIMO系统，则反馈增益矩阵是一个维矩阵。

即

2、状态反馈增益矩阵的计算

控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在平面上的位置。

因此，对系统进行综合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点。

所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵的设计，使闭环系统的极点恰好处于s平面上所期望的位置，以便获得期望的动态特性。

本节只讨论SISO系统的极点配置问题，因为SISO系统根据指定极点所设计的状态反馈增益矩阵是唯一的。

定理5.1:

用状态反馈任意配置极点的充要条件是：

受控系统可控。

证明：

（1）充分性：

设受控系统可控，则一定可通过线性变换（即），将A、b化为可控标准型。

，

在变换后引入状态反馈增益矩阵

故变换后的状态反馈系统的动态方程为

其中：

闭环特征多项式为

设闭环系统的期望极点为，则系统的期望特征多项式为

欲使闭环系统的极点取期望值，只需令

即

只要适当选择，就可以任意配置闭环极点。

（2）必要性

若受控系统不可控，必有状态变量与无关，则，中一定有元素不存在，所以不可控子系统的特征值不可能重新配置。

按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵的一般步骤如下：

（1）对给定可控系统，进行P变换，即，化成可控标准型

其中：

，，

（2）导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式

（3）根据闭环系统极点的期望值，导出闭环系统的期望特征多项式

（4）确定对于可控标准型下的状态变量的反馈增益矩阵

（5）把化成对于给定状态变量对应的

【例5.1.2】已知SISO系统的传递函数为

试设计状态反馈增益矩阵使闭环极点配置在-2，。

解：

由于SISO系统的无零极点对消，故系统可控。

可直接写出可控标准型。

，

设状态反馈增益矩阵为：

状态反馈系统的特征方程为

期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：

令，可得

故

状态反馈系统结构图

分析说明：

在例5.1.2中，由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型，从而可以比较简单地计算出反馈增益矩阵，对闭环系统进行极点配置。

但是从工程实际上看，可控标准型实现的状态变量的信息在物理上是很难采集的，如果要使设计出来的能在实际系统中方便地建立起来，应该尽可能地选择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为系统的实现。

比如例5.1.2中，选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较为合理。

即

受控系统结构图

原受控系统的动态方程为：

，

设状态反馈增益矩阵为：

状态反馈系统的特征方程为

期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：

令，可得

故

状态反馈系统结构图

结论：

求解实际问题的状态反馈增益矩阵时，没有必要象定理5.1证明那样去进行可控标准型的变换，只要先验证受控系统可控，并计算及期望特征多项式，由，便可确定状态反馈增益矩阵。

【例5.1.3】已知SISO系统的传递函数为

试研究采用状态反馈使闭环极点配置在-2，的可能性。

解：

该SISO系统的传递函数存在零极点对消。

（1）若选择可控标准型实现（便不可观测），仍可以配置极点，方法步骤同【例5.1.2】。

（2）若选择可观测标准型实现（便不可控）

，

设状态反馈增益矩阵为：

状态反馈系统的闭环状态矩阵为

状态反馈系统的特征方程为

期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为：

令，可得

方程组无解，即这种情况下用状态反馈不能配置极点。

二、闭环系统期望极点的选取

总的来说，系统的性能主要取决于闭环主导极点，而远极点只有微小的影响。

也就是说，把系统看作是一个其极点就是主导极点对的二阶系统。

可根据动态指标和来确定期望主导极点的位置：

（为期望的主导极点）

【例5.1.4】试设计如图所示系统的状态反馈增益矩阵，使闭环系统满足下列动态指标：

（1）输出超调量

（2）调节时间秒

解：

确定闭环系统的期望主导极点，由

解出，，则

令第三个极点

故

由，有

故

§5-2状态反馈对可控性与可观测性的影响

定理5.2:

若线性定常系统是可控的，则状态反馈所构成的闭环系统也一定是可控的。

定理5.3:

状态反馈可能影响系统的可观测性。

说明：

当任意配置的极点与零点存在对消时，状态反馈系统的可观测性将会改变，从而不能保持原受控系统的可观测性。

如果原受控系统不含闭环零点，则状态反馈系统能保持原有的可观测性。

定理5.4:

引入状态反馈前后，系统零点不发生改变。

【例5.2.1】若原系统的传递函数为：

试求使状态反馈闭环系统的传递函数为

的状态反馈增益矩阵。

解：

比较和可知，中应含有的零点，故应为

设，期望闭环极点为：

-2，-2，-3。

原系统无零极点对消，系统完全可控，写出其可控标准型

，，

由，有

故

【例5.2.2】给定开环系统的传递函数为：

要求用状态反馈将闭环极点配置到，试计算状态反馈增益矩阵，并说明所得到的闭环系统是否可观测。

解：

原系统无零极点对消，故完全可控，可控标准型为

，

设

由，有

故

状态反馈不改变系统零点，不改变系统可控性。

然而反馈后系统在处出现零极点对消，所以闭环系统必不可观测。

【例5.2.3】系统状态方程如下

试判定系统是否可用状态反馈分别配置以下两组闭环极点和，若能配置，则求出反馈增益矩阵。

解：

，，系统不可控，所以不能实现极点的任意配置。

考虑原系统的特征值

有一个特征值本来就在处，而且由状态方程可以看出，正是该特征值对应的状态不可控，所以可利用系统的可控子系统将另两个极点配置到，实现第一组闭环特征值的配置。

设，其中，

由，有

故时，可将闭环极点配置到。

系统用状态反馈不能实现第二组闭环极点的配置。

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