极坐标与参数方程取值范围问题.doc

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极坐标与参数方程取值范围问题

一．解答题（共12小题）

1．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）

（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

3．（选修4﹣4：

坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线C普通方程；

（Ⅱ）若点在曲线C上，求的值．

4．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．

（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．

5．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．

（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；

（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．

6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）求|PA|•|PB|的值．

7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．

（1）求C1，C2的直角坐标方程；

（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．

8．极坐标系中，圆C方程ρ=2cosθ﹣2sinθ，A（，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；

（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．

9．（选修4﹣4：

极坐标系与参数方程）

极坐标系中，求圆ρ=上的点到直线ρcos（θ+）=1的距离的取值范围．

10．已知直线C1：

（t为参数），曲线C2：

ρ+=2sin（θ+）．

（1）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）求直线C1被曲线C2所截的弦长．

11．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos（θ+）

（1）求直线l的参数方程

（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

12．已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C与M、N两点，求|PM|+|PN|的最大值．

极坐标与参数方程取值范围问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共12小题）

1．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）

（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

【解答】解：

（Ⅰ）由得：

，

∴ρ2=16，

即ρ=±4．

∴A、B两点的极坐标为：

或．

（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，

得到普通方程为x2﹣y2=8．

将直线代入x2﹣y2=8，

整理得．

∴|MN|==．

2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；

（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．

【解答】解：

（1）由ρ=得ρsin2θ=8cosθ，∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴y2=8x，

∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线．

（2），即y=2x﹣4，代入y2=8x得x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，x1•x2=4，

∴|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=10．

3．（选修4﹣4：

坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线C普通方程；

（Ⅱ）若点在曲线C上，求的值．

【解答】解：

（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．

∵曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），消去参数φ得，

把点（2，0）代入上述方程得a=2．

∴曲线C普通方程为．

（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，

∴==

=

=+

=．

4．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．

（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．

【解答】解：

（I）圆锥曲线C的极坐标方程为，即3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：

3x2+4y2=12，

即=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．

==．

∴要求的直线方程为：

y=（x+1）．

（II）由（I）可得直线的参数方程为：

（t为参数）．

代入椭圆方程可得：

5t2﹣4t﹣12=0，

∴t1t2=﹣．

∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=．

5．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．

（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；

（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．

【解答】解：

（I）∵曲线C1上的点对应的参数ϕ=，∴，解得，

∴曲线C1的直角坐标方程为：

=1．

∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点．

∴圆的直径2R==2，∴曲线C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．

（II）把代入曲线C1的直角坐标方程：

=1．

可得．

∴=+===．

6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）求|PA|•|PB|的值．

【解答】解：

（1）圆C的圆心的极坐标为C（，），

∴x==1，y==1，

∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（﹣2，0）．

当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|2=|PC|2﹣r2=（﹣2﹣1）2+（0﹣1）2﹣=8．

∴|PA|•|PB|=|PD|2=8．

7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．

（1）求C1，C2的直角坐标方程；

（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．

【解答】解：

（1）由ρ=6cosφ，得ρ2=6ρcosφ，所以C2的直角坐标方程是x2+y2﹣6x=0

由已知得C1的直角坐标方程是，

当α=0时射线与曲线C1，C2交点的直角坐标为（a，0），（6，0），

∵|AB|=4，∴a=2，C1的直角坐标方程是①

（2）联立x2+y2﹣6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．

又可得D（1，0），∴，∴BD的参数方程为（t为参数）②

将②带入①得，设D，E点的参数是t1，t2，则

，．

8．极坐标系中，圆C方程ρ=2cosθ﹣2sinθ，A（，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；

（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．

【解答】解：

（Ⅰ）∵ρ=2cosθ﹣2sinθ，

∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ则x2+y2=2x﹣2y，

即圆C在直角坐标系中的标准方程为（x﹣）2+（y+1）2=4；

（Ⅱ）A（，2π）的直角坐标为（，0），圆C的圆心坐标为（，﹣1），

∵圆心C为线段AB中点，

∴点B的坐标为（，﹣2），AC=BC=1，

设∠ACP=θ，而PC=2，则PA==，

同理PB=，

∴|PA|•|PB|=•=≤5，当且仅当cosθ=0时取等号，

∴|PA|•|PB|的最大值为5．

9．（选修4﹣4：

极坐标系与参数方程）

极坐标系中，求圆ρ=上的点到直线ρcos（θ+）=1的距离的取值范围．

【解答】解：

圆化为直角坐标方程得：

x2+y2=2

直线，即ρcosθ﹣ρsinθ=1，

化为直角坐标方程为：

x﹣y=1，

即x﹣y﹣2=0

∴圆心（0，0）到直线的距离d==1

故圆上动点到直线的最大距离为+1，最小距离为0

故圆上动点到直线的距离的取值范围为[0，+1]

10．已知直线C1：

（t为参数），曲线C2：

ρ+=2sin（θ+）．

（1）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）求直线C1被曲线C2所截的弦长．

【解答】解：

（1）由，得3x﹣4y=0．

由ρ+=2sin（θ+），

得=2sinθ+2cosθ．

即ρ2+1=2ρsinθ+2ρcosθ，

∴x2﹣2x+y2﹣2y+1=0；

（2）由x2﹣2x+y2﹣2y+1=0，

得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．

∴曲线C2是以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．

圆心到直线3x﹣4y=0的距离为．

∴直线C1被曲线C2所截的弦长为2．

11．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos（θ+）

（1）求直线l的参数方程

（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．

【解答】解：

（1）∵，∴直线的倾斜角α=，

∴直线的参数方程为，（t为参数）

即（t为参数）

（2）∵ρ=2（cosθ﹣sinθ）=cosθ﹣sinθ，

∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，

∴x2+y2﹣x﹣y=0，将直线的参数方程代入得t2+2t+6﹣2=0，

∴|t1t2|=6﹣2．

12．已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C与M、N两点，求|PM|+|PN|的最大值．

【解答】解：

P的直角坐标为（0，2）…（2分）

曲线C的直角坐标方程为x2+y2+4x=0…（4分）

直线l的参数方程为…（6分）

带入曲线C的方程t2+4t（sinθ+cosθ）+4=0…（8分）

∵t1t2=4＞0，

∴|PM|+|PN|=（12分）

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