留数理论的应用.doc
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2012年度本科生毕业论文（设计）
留数理论的应用
院－系：
数学学院
专业：
信息与计算科学
年级：
2008级
学生姓名：
王志
学号：
200805050330
导师及职称：
易老师何斌老师
2012年6月
2012AnnualGraduationThesis（Project）oftheCollegeUndergraduate
TheApplicatianofResideTheory
Department:
CollegeofMathematics
Major:
InformationandComputingSciences
Grade:
2008
Student’sName:
WangZhi
StudentNo.:
200805050330
Tutor:
（Assistant）（Professor）
June，2012
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意.
作者签名：
日期：
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本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定.
作者签名：
指导教师签名：
日期：
日期：
王志昌毕业论文（设计）答辩委员会（答辩小组）成员名单
姓名
职称
单位
备注
副教授
数学学院
主席（组长）
副教授
数学学院
组员
讲师
数学学院
组员
讲师
数学学院
组员
助教
数学学院
组员
红河学院本科毕业论文（设计）
摘要
本文主要研究了留数理论的一些应用.对于一些比较复杂的实积分采用留数理论进行计算不但可以简化计算过程，还可以很容易的求得实积分的结果，同时留数理论在方程的零点分布问题，级数求和的问题，复动力系统理论中也有一定的价值.
关键词:
复变函数；留数定理；洛朗展式
ABSTRACT
Thispapermainlystudiessomeapplicationsofresiduetheory.forsomeofthemorecomplexrealintegralusingresiduetheorycannotonlysimplifytheprocessofcomputation,butalsocaneasilyachieverealintegralresults,Atthesametime,ithasacertainvalueforsolutionoftheproblemsofequationzeropointdistributionandSeriessummation,eveninthetheoryofcomplexdynamicalsystemanalysis.
Keywords:
Complexvariable；Residuetheorem；Laurentexpansion
目录
第一章引言 1
第二章预备知识 2
2.1孤立奇点 2
2.2柯西积分定理 2
第三章留数的概念及留数定理 4
3.1留数 4
3.2留数第一定理 4
3.3留数第二定理 5
3.4留数的计算方法 5
第四章留数理论的应用 9
4.1应用留数计算实积分 9
4.2利用留数为基础解决零点分布 14
4.3基于留数定理的一种级数求和方法 15
4.4留数理论在复动力系统中的应用 18
第五章结论 20
参考文献 21
致谢 22
第一章引言
留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分.柯西在1814年的论文中建立由实函数到复函数的过度.在1822年的论文中，他进一步研究复积分，使得方程成为复分析大厦的基石，并得出简单情形下的柯西积分定理.在1825年，柯西（Cauchy）在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于与计算积分问题的情形的类比，处理了复积分的相关问题，由不连续函数的复积分，给出了关于留数的定义.随后，柯西进一步发展和完善留数的概念.考虑当在矩形的内部或边界上不连续时，这时沿着两条不同路径的积分的值不同.如果在处，为无穷，极限存在，即在处有一个单极点，则积分的差称为积分留数.柯西留数概念的提出与发展是柯西探索完美理论的产物.
留数理论是解析函数的有力工具，从学过的数学分析中可以看出，积分一般比微分复杂，特别是一些不存在初等的原函数中，使得定积分变得尤为困难.在留数的一些应用中，利用留数定理计算一些定积分，对于一些特别类型的函数，利用留数理论则能很容易算出它们的定积分.采用了数学分析中求定积分的万能公式计算，和用留数理论来计算定积分进行比较，可以看出万能公式在计算定积分的时候虽然具有普遍性，但对一些特殊的定积分，用万能公式计算上很复杂，而且不易求的结果，这时在这些特殊的定积分的计算上可以用留数理论的方法颇具一般性，容易掌握.
本文第一章是引言部分，引出了留数的起源，展示的留数理论在数学中具有广泛应用，同时介绍了各章的写作思路.第二章是预备知识，为得出留数理论做准备，其中介绍了孤立奇点和柯西积分.第三章是留数的概念及留数定理.第四章介绍的是留数理论的应用,是本文的重点内容.其中包括应用留数计算实积分,解决零点分布问题，级数求和的问题,在不动点理论中也有一定的价值.第五章得出本篇论文的结论.
1
红河学院本科毕业论文（设计）
第二章预备知识
2.1孤立奇点
定义2.1在处不解析，但在的某一去心邻域内处处解析.则称为的孤立奇点.
在孤立奇点的邻域内，函数可展开成洛朗级数.
由于在内解析，于是有洛朗展开式：
，
在圆环域内任取一条绕的简单闭曲线C（C可取圆周）对的展开式沿C逐项积分,且由，则有.
可以注意到，洛朗级数的非负次幂部分实际上表示的内的解析函数（即的解析部分），故函数在点的奇异性完全体现在洛朗级数的负次幂部分.
2.2柯西积分定理
定理2.1设函数在单连通区域D内解析，则在D内沿着任一条简单闭曲线的积分.
当在简单闭曲线上及其内部解析时，由柯西积分定理知：
.若上述C的内部存在函数的孤立奇点，则积分一般不等于0.
由洛朗展开式知，取洛朗系数中可得：
，因而积分：
.
3
第三章留数的概念及留数定理
3.1留数
定义3.1设是解析函数的孤立奇点，即在点的某去心邻域内解析，则称积分（其中，C：
）为在点处的留数，记作.
由
则
即
由定义可知，在点处的留数，即洛朗级数中在圆环域内的D负幂项的系数.
定义3.2设在内解析，是的孤立奇点，C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线，则积分：
与C无关，称此积分值为在的留数，记为，即
.
若在的洛朗展开式为
则有
即在点的留数等于其在内洛朗级数中的系数相反数.
3.2留数第一定理
定理3.1函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则：
.
在的留数与有限孤立奇点的留数有以下的定理
3.3留数第二定理
定理3.2设函数在扩充复平面除有限个孤立奇点及外处处解析，则在所有奇点处的留数和为零，即
.
由上面的定理，求函数沿闭曲线C的积分，转化为求被积函数在C内各孤立奇点的留数和.而求在孤立奇点的留数，只需在孤立奇点的去心邻域内将展开成洛朗级数即可，但这样做，总不是很好的办法，若能知道孤立奇点的类型，就可以更有效地求出留数.
3.4留数的计算方法
规则I、如果是的可去奇点，则在的去心邻域内，的洛朗级数即是普通的幂级数，不含的负幂项.故
规则II、如果是的本性奇点，只有将在的去心邻域内展开为洛朗级数，的系数即在处的留数，即
规则III、如果是的级极点，则有
此时，在的去心邻域内有
其中，在解析且.取绕的正向圆周C：
，则有
当时，有.
规则IV、设，及都在处解析，且，,.此时，是的一级极点，则有
.
事实上，由规则III可知，
在不将在内展开为洛朗级数的情形下，计算在点的留数有如下规则：
规则V、
例1设，求.
解由于是的本性奇点，在圆环域内，有洛朗展开式：
，
所以
例2计算积分，其中，C为正向圆周.
解在C内，有1级极点和2级极点.由留数定理有：
而
所以
例3计算积分，C为正向圆周
解在C内，有两个1级极点.所以
而
因此
也可以用规则IV来计算留数：
即
例4计算积分，C为正向圆周.
解被积函数在C外除外处处解析，则有留数第二定理及其规则V得
例5计算积分，C为正向圆周
解被积函数在C内的奇点为与，在C外的奇点为与，由留数第二定理有
而
，
为其可去奇点，故
所以
7
红河学院本科毕业论文（设计）
第四章留数理论的应用
4.1应用留数计算实积分
对于某些形式的实积分，可利用留数进行计算，特别是当被积函数的原函数不易求出时，更为有效.为此，需要做两方面的工作：
①、选取恰当的复变函数作为被积函数；②、选取恰当的闭曲线作为积分路径.
求三角有理函数的定积分，在数学分析中的方法都是先用万能公式化为一般函数的定积分，然后再利用公式法，换元法，分部积分法等计算.这些方法虽然各有千秋，但存在共同的缺点：
演算过繁，给平时的学习带来了不便，甚至有的定积分存在但求不出来.下面将用留数法，来简单，快速的计算，克服了万能公式的一些困难.这种方法对用一般方法很难求得得三角有理函数的定积分常常较为有效.计算的要点是将定积分化为复变函数的围线积分，然后再利用留数定理来计算.
设三角有理函数定积分的一般形式为：
，其中表示关于，的有理函数，且在区间上连续.
令
则，
；
；
当由0变化到时，z沿单位圆周变化一周，于是，所求积分转化为沿着正向圆周上复函数的积分：
其中是函数在内的孤立奇点.这样就归结求在单位圆内极点处的留数.一般来说，这样计算就简单的多了，这个公式一般称为有理函数的留数公式.
应用上述留数公式解决相关的三角有理函数的定积分
例6求定积分
分析这是一个比较基本的定积分，且被积函数是以为周期的周期函数.
解（方法一）万能公式
令，则，，
从而有：
由此可以得到：
（方法二）留数公式
设，则，
；
；
则由留数公式得：
被积函数在内只有一个一级极点，
从而
所以由留数基本定理知：
显然，在本例中用第一种方法（数学分析的万能公式）求解时，要转化为求无穷积分的解，其运算量远远大于用第二种方法（有理函数的留数方法）.
例7
分析这个定积分中被积函数是以为周期的周期函数.
解（方法一）万能公式
令，则，，
从而有
则当时，被积积分为：
则当时，被积函数为：
（方法二）留数公式
设，则，
；
；
则由留数公式得：
当时，被积积分在内只有一个一级极点，从而有：
当时，被积积分在内只有一个一级极点，从而有：
由此也可以看出，此题在数学分析中可以用万能代换的方法求解，比较起来留数公式大大简化了运算量，并且体现了思维的深刻性，理论的缜密性，给人愉悦性.有的定积分不能直接应用留数公式计算出来，应进行适当的转化，可以看出下面的例子：
例8求定积分（m为正整数）
分析利用被积函数是以为周期的偶函数的特点转化区间.
解；
由此得：
本题的技巧在于将所求积分作为实部，再配上一虚部的积分，组合成一个可以进行代换的积分，进行计算.
实分析在定积分的计算，与用复分析的有关知识计算定积分是两个不同学科的内容，通过上面的几个例子，可以看出他们之间既有区别，又有联系，解起题来有繁有简，针对有些定积分的题目可以看到运用留数理论的简便性与实用性.数学理论与方法的相互渗透可产生若干个令人拍案叫绝的好结果，这也给学习数学指出了一个可以参考的捷径.
4.2利用留数为基础解决零点分布
在一些实际问题中，求方程的根（函数的零点）往往是较困难的，在利用计算机近似计算中，常常需要知道函数的零点分布情况，下面以留数理论为基础作初步探讨.
设是解析函数的m级零点，则必是的一级极点，且有.
定理4.1设在闭路C及其内部解析，且在C上无零点，则，
在这里N表示在C的内部零点的总数（约定每个k级零点算k个零点）.
定理4.2（Rouche定理）设函数及在闭路C及其内部解析，且在C上有不等式，则在C的内部和的零点个数相等.
例9求出在内有多少根？
解取，且在上，有
，
即在上，有.由Rouche定理，和在的零点个数相等，而在内有三个零点，故
在内也有三个零点.
即方程在内有三个根.
4.3基于留数定理的一种级数求和方法
无穷级数求和运用于许多逼近理论、数值计算中，可以基于留数理论给出一种无穷级数求和的新方法，该方法将级数求和转化成相应某复值函数在一个闭域中的留数求和，通过严密的论证，证明了该方法是正确的，并讨论分析了它具有广泛的实用性.
关于无穷级数的敛散性有许多种判断方法，但关于收敛级数的求和方法却显得相当贫乏.级数求和主要通过对幂级数的求导或积分将其转化成几何级数再去完成，该法有一定局限性.而且实际中许多问题都涉及到级数求和，比如说，在求定积分时，如果原函数无法求出，而又想得到积分精确值，就只得考虑级数求和.
那可以考虑基于留数定理给出一种级数求和的方法，理论证明该法的正确性.并有广泛的实用性.
设对于整数，有
以下给出求级数和的留数法.
考虑变量在复值函数在回道上的积分，（4-1）
其中，积分路径,,构成回道，图中四顶点为：
，，，
x
y
（图4—2）
定理4.3 当n充分大时，在上有界.
定理4.4 当时，.（4-2）
设只有N个阶极点和n阶极点0.为了叙述方便，不妨假设且.
实际上，在回道内，是的一阶极点，是的阶极点，0是的阶极点.记在极点a处的留数为，那么
，（4-3）
在极点0处的留数（4-4）
在极点处的留数
（4-5）
由留数定理可知：
根据
（2）.有
把（3）、（4）、（5）代入之中，得
由于，进而可得
故上式可以称作（4-6）式
当以及除0之外还有阶整数极点时，只需注意将是的阶极点即可.
例10求级数的和.
解设，那么只有一个2阶极点，由（6）有
即
在学习了数学分析课程中的级数理论方面对收敛级数求和方法有点局限，基本上是通过适当的数学演化为等比级数来完成的.当学习了复变函数的积分理论感受到了其十分实用.在学习留数理论时看到复变函数在回道上的积分可以靠回道内函数的留数来计算，可算得简便得多.
4.4留数理论在复动力系统中的应用
在数学中，函数的不动点或定点是指被这个函数映射到其自身的一个点，例如有理函数函数其中， 若满足时，则称是有理函数的不动点.对有理函数的不动点进行分类：
（1）、当，则是有理函数的超吸性不动点.
（2）、当，则是有理函数的吸性不动点.
（3）、当，则是有理函数的中性不动点.
（4）、，则是有理函数的斥性不动点.
例11有多项式函数，证明的不动点不可能全是（超）吸性不动点.
证明：
假设，题目中多项式函数的不动点为全为（超）吸性不动点，如图所示
.
X
.
.
.
.
R
Y
（图4—3）
由
则当存在C，，有
则即
运用留数理论
由于，故
所以
即
则矛盾.所以得出多项式函数的不动点不可能全是（超）吸性不动点.
19
第五章结论
本文是运用留数理论解决数学中的问题.用留数留数理论的第一个应用是：
留数在三角函数定积分中的应用，克服了数学分析中应用万能公式的演算过繁，给学习者带来不便的问题.其实质是利用复变函数中的留数理论来计算三角函数定积分.这种方法对于一般方法很难求得的三角函数的定积分常常较为有效；第二个应用是：
留数理论在零点分布中的应用.可以解决一些实际中难于求方程根（函数的零点）的问题；第三个应用是：
基于留数理论给出了一种新的级数求和的方法，并且具有广泛的实用性；第四个应用是，利用留数定理可以证明一些复动力系统中不动点问题.
留数理论在解决一些数学实际问题时，使得在计算趋于简单化.同时也感受到了知识的相互渗透，眼界更加的宽广了！
23
参考文献
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21
红河学院本科毕业论文（设计）
致谢
回首既往,自己一生最宝贵的时光能于这样的校园之中，能在众多学富五车、才华横溢的老师们的熏陶下度过，实是荣幸之极.在这四年的时间里，我在学习上和思想上都受益非浅.这除了自身努力外,与各位老师、同学和朋友的关心、支持和鼓励是分不开的.
在本文的撰写过程中,易老师作为我的指导老师,他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到论文的最终完成,易老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在这过程中,不仅使我接受了新的思想观念,树立了明确的目标,领会了基本的思考方式,而且还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.正是由于他在百忙之中多次审阅和指导,对一些细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多中肯而且宝贵的意见,本文才得以成型.
在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意！
最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母,谢谢你们!
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