数形结合思想在解题中的应用包含30例子.doc

数形结合思想在解题中的应用包含30例子.doc

《数形结合思想在解题中的应用包含30例子.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数形结合思想在解题中的应用包含30例子.doc（27页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：

①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析

例1.

分析：

，

例2.

解：

法一、常规解法：

法二、数形结合解法：

例3.

A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个

分析：

出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.

分析：

例5.

分析：

构造直线的截距的方法来求之。

截距。

例6.

分析：

以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

例7.

MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）

分析：

①设椭圆另一焦点为F2，（如图），

又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，

∴ON是△MF1F2的中位线，

②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

例8.

分析：

例9.

解法一（代数法）：

，

解法二（几何法）：

例10.

分析：

转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：

第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

相切于第一象限时，u取最大值

【模拟试题】

一、选择题：

1.方程的实根的个数为（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.函数的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）

A. B.

C. D.

3.设命题甲：

，命题乙：

，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.不充分也不必要条件

4.适合且的复数z的个数为（）

A.0个 B.1个 C.2个 D.4个

5.若不等式的解集为则a的值为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知复数的最大值为（）

A. B. C. D.

7.若时，不等式恒成立，则a的取值范围为（）

A.（0，1） B.（1，2） C.（1，2] D.[1，2]

8.定义在R上的函数上为增函数，且函数的图象的对称轴为，则（）

A. B.

C. D.

二、填空题：

9.若复数z满足，则的最大值为___________。

10.若对任意实数t，都有，则、由小到大依次为___________。

11.若关于x的方程有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。

12.函数的最小值为___________。

13.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：

14.若方程上有唯一解，

求m的取值范围。

15.若不等式的解集为A，且，求a的取值范围。

16.设，试求下述方程有解时k的取值范围。

【试题答案】

一、选择题

1.C

提示：

画出在同一坐标系中的图象，即可。

2.D

提示：

画出的图象

情形1：

情形2：

3.A

4.C

提示：

|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条件，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足，故满足条件的z有两个。

5.B

提示：

画出的图象，依题意，从而。

6.C

提示：

由可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，

而

表示复数对应的点的距离，

结合图形，易知，此距离的最大值为：

7.C

提示：

令，

若a>1，两函数图象如下图所示，显然当时，

要使，只需使，综上可知

当时，不等式对恒成立。

若，两函数图象如下图所示，显然当时，不等式恒不成立。

可见应选C

8.A

提示：

f（x+2）的图象是由f（x）的图象向左平移2个单位而得到的，又知f（x+2）的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f（x）的图象关于直线x=2对称，由f（x）在（）上为增函数，可知，f（x）在上为减函数，依此易比较函数值的大小。

二、填空题：

9.

提示：

|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。

由图形，易知，该距离的最大值为。

10.

提示：

由知，f（x）的图象关于直线x=2对称，又为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f（x）的图象，易知的大小。

11.

提示：

设，画出两函数图象示意图，要使方程有四个不相等实根，只需使

12.最小值为

提示：

对，联想到两点的距离公式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得。

13.

提示：

y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距，即。

三、解答题：

14.解：

原方程等价于

令，在同一坐标系内，画出它们的图象，

其中注意，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。

注：

一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15.解：

令表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，表示过原点的直线系，不等式的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集

因此，只需要

∴a的取值范围为（2，+）。

16.解：

将原方程化为：

，

∴

令，它表示倾角为45°的直线系，

令，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，

∵原方程有解，

∴两个函数的图象有交点，由下图，知

∴

∴k的取值范围为

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

我国著名数学家华罗庚曾说过：

“数形结合百般好，隔裂分家万事非。

”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。

我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：

或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：

第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到的效果。

由于这“以数解形”比较简单，所以这里就不多做介绍了。

“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。

学生通常把“数形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了“以形助数”这种思想方法，就是理解了“数形结合”。

“以形助数”中的“形”，或有形或无形。

若有形，则可为图表与模型，若无形，则可另行构造或联想。

因此“以形辅数”的途径大体有三种：

一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。

以下我将从“数形结合”在哪些题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这种思想方法。

1.数形结合思想的应用

1.1在方程、函数问题中的应用　

方程f（x）–g（x）=0的解情况，可化为f（x）＝g（x）的解情况，也可看作函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。

对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。

例１　抛物线与x轴的两个交点为Ａ、Ｂ，点Ｑ（4，8k）在抛物线上且AQ⊥BQ，则＝（　　）　

Ａ、－１　Ｂ、１　Ｃ、２　Ｄ、３

分析　这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。

如图１-１所示：

我们不难发现，不论函数图像开口向上还是向下，a，k总是异号的，即再看看各个备选项，不难发现只有Ａ表示的是小于０的。

故本题选（Ａ）。

例２　方程的实数根个数有（　）

2．已知f（x）＝ax＋b的图象如图所示，则f（3）＝________.

解析：

由图象知f（0）＝1＋b＝－2，∴b＝－3.

又f

（2）＝a2－3＝0，∴a＝，

则f（3）＝（）3－3＝3－3.

答案：

3－3

4．（2009年高考山东卷）若函数f（x）＝ax－x－a（a>0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：

函数f（x）的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.

答案：

（1，+∞）

9．（2009年高考上海卷）当0≤x≤1时，不等式sin≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．

解析：

当0≤x≤1时，y＝sin的图象如图所示，y＝kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k≤0时，y＝kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方，原不等式成立．

当k>0，kx≤sin时，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．

故k≤1时，x∈[0,1]上恒有sin≥kx.

答案：

k≤1

数形结合思想

1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它包括两个方面:

“以形助数”和“以数助形”.“以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解集.“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.

2.数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决.

3.在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面：

（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础.

（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势.“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.

4.数学前辈华罗庚曾说过：

“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”.可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用.

【例1】已知奇函数f（x）的定义域是{x|x≠0,x∈R}，且在（0,+∞）上单调递增，若f

（1）=0,满足x·f（x）<0的x的取值范围是.

分析函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是不可能的，注意到x·f（x）<0表明自变量与函数值异号，故可作出f（x）的图象加以解决.

解析作出符合条件的一个函数图象（草图即可），

可知：

x·f（x）<0的x取值范围是（-1，0）∪（0，1）.

探究拓展函数图象是函数对应关系的一种表现方式，它具有直观、形象、简明的特点.通过绘出函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方法，称作“图象法解不等式”.

变式训练1（2009·徐州调研）设奇函数y=f（x），（x≠0）,当x∈（0,+∞）时，f（x）=x-1，则不等式f（x-1）<0的解集是.

解析常规方法是分x-1>0,x-1<0讨论，分别得到不等式，并解之.如果能根据已知条件作出y=f（x）的图象（奇函数图象关于原点对称），则可直观地得到f（x）<0的解为x<-1或0

3.1数形结合在集合问题中的应用

在集合运算中常常借助于数轴、集合图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.例如我们要求集合[-2，2]与集合[-4,1]的交集和并集，我们就可以利用数轴来画图在图中表达出来.

利用图形结果随着图形的画出结果就出来了，所以集合交集是[-2,1],并集是[-4，2].其实很类题很多，尤其是这类题出在选择填空中我们利用数形结合思想可以很快的解答出来，大大节省了做题时间同时也保证了做题的质量.

3.2数形结合在函数问题中的应用

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.从我们初中学习的一次函数到简单的二次函数，再从简单的二次函数到复杂的函数等等，数与形紧密结合在一起.在函数问题上出题方向很多但也也无外乎这几种题型，求定义域，值域，对解讨论及取值范围，单调性奇偶性等等.

-1

O

x

y

例1若定义在区间内的函数满足,则a的取值范围是（）.

A．B．C．D．

分析由在定义区间内

可知函数在内的图象位于轴上方，

且时，（如图所示）

所以底数应满足，得，选A.

评注解题时应善于将加以转化，由式想形．本题还可进一步考查函数在内的单调性．

例2已知函数的图象如图所示，则（）．

A．B．C．D．

分析本题的已知信息主要在图象上，所以认真观察图象，可得：

函数的图象经过了点，，，，这些点的坐标应该满足函数解析式。

因此有

x

y

O

2

1

解得，所以．

显然由或，即可解得选A．

评注本题不仅要求学生掌握待定系数法、方程思想和数形结合思想，而且对学生的观察能力、逻辑推理能力也有较高要求．

以上两个题介绍的在选择填空中的应用，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法．解答题中对数形结合思想的考查以由“形”到“数”的转化为主．

例3求函数的图象的开口、对称轴、增减性及最值、顶点坐标.

解将函数变为顶点式为，所以图形为：

由图象得：

此函数的开口向上，

对称轴是

增减性：

，随的增大而增大，

，随的增大而减小

最值：

当时，顶点坐标

分析此题如果不利用图形，则完全靠记忆公式理论的话，则不但使整个过程条观、形象，而且容易出错.

评注对函数单调性的研究，转化为对导函数正负的研究，实际上就是研究函数值正负的分布．这种研究过程往往没有现成的定理可以使用，而必须由图象的直观性得出结论．在解答书写的过程中，一般不必画出函数图象，但结论的得出又必须依赖于函数图象，这是在解答题中考查数形结合思想的一种形式．

3.3数形结合在方程和不等式中的应用

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；要找到交点很多时候还是画图，图上就有我们所说的交点.处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路.

3.3.1数形结合在方程中的应用

例4求方程解的个数.

解函数与的图象如图：

则通过图象观察得两函数图象只有一个交点，

即方程的解的个数，

即函数，的图象的交点个数，

根据图象得交点个数是1，故原方程有1个解.

分析此题的关键在于将方程两边转化为函数，再转化为函数的图象，才得以解决.若用一般的方法来解，对于初中生来说是不可能的.原因在于此方程是一个分式方程，一般思路是转化为整式方程，即得就得到一个次的高次方程，而对于初中生来说只能求解次及次以下的整式方程.所以利用数形结合进行讨论分析，可以将很复杂的，而且容易出错的甚至得不出正确结论的题也变得清晰、快速、准确地求出了答案.

因此，数形结合起来是一种极富数学特点的信息转换，许多数量关系方面的抽象概念和关系式，若赋之以图形意义，往往变得非常直观形象，并使关系明朗化、简单化.

3.3.2数形结合在不等式中的应用

数形结合在不等式问题的作用很大，我们都知道不等式问题很多时候是需要我们分情况讨论的，导致演算过程繁琐冗长,若用数形结合的方法,问题将会大大简化.数形结合的在不等式中的应用几乎是无处不在，从简单求不等式的解到分情况讨论的不等式我们做题的时候都离不开与图形结合，在解答不等式组的时候也要用到图形的分析才能准确简单的得出结果.

例5解不等式，其中.

分析这个题解题方法很多，我这里给出三种解题方法，分别如下：

方法一：

不等式中含有参数，故多揣摩挖掘题意．

∵∴∴，

结合可知．

据此，两边平方得∴，

接下来只需按，，共三类讨论取解即可．

方法二：

已给不等式和得即

所以，当时，所给不等式的解集为；

当时，所给不等式的解集为．

O

y

x

B

C

1

1

-1

1111

11

方法三：

若注意到不等式两端明显的几何意义，亦可借助几何直观取解．在同一直角坐标系中作函数（图象为实、虚半轴的长均为的等轴双曲线的上支）和（图象为过点、斜率为正数的直线）的图象，如图所示．

从图中得出：

当时，所给不等式的解集为；

当时，所给不等式的解集为．

评注某些有几何意义的不等式也可用数形结合的思想方法来解．一些不等式的证明，通过构造几何图形，然后由图形间的数量关系来论证往往既简洁又一目了然.

3.4数形结合在三角函数中的应用

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.锐角三角函数的定义也是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.

例6设函数．

⑴证明，其中为整数；

⑵设为的一个极值点，证明．

证明⑴由函数的定义，对任意整数，有

∴．

（2）函数在定义域R上可导，.

令，得．

若，则，这与矛盾，所以．

当时，．

由于函数的图象和函数的图象知，

有解，的极值点一定满足.

当时，

3.5数形结合在最值问题中的应用

无论是小学初中高中数学最值问题都存在，但是最值问题怎么样解答一直都是以个难点，数形结合在解决这类问题的最好方法，线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.

例7已知,,且.求函数的最大和最小值.

分析这个题目属于在一些约束条件下求多元一次函数的最值.如果想直接用代数的方法计算则无从下手，但注意观察已知条件，把消去后能化为，的不等式组成的约束条件下，求二元一次函数（，，为常数）的最值的问题.约束条件的几何意义是：

约束条件所确定的点集合是一个平面区域M,现在就要在这个区域内找一个点,使达到最大或最小.

解∵∴ ∴

又∵∴.

∴约束条件等价于:

坐标满足此不等式的点的集合，即

梯形ABCD（包括内部界），其中个顶点坐标为,,,

设,则,是经过点且斜率为的直线在轴上的截距.

观察与梯形有公共点且斜率为的平行线簇,易知当直线经过点时,截距取最大值，而直线经过点时,截距为最小.

∴  .

注本题所用的方法为等值线法,解题关键在于:

（1）理解约束条件的几何意义（为一个封闭区域）;

（2）设后，使求一个代数式的最值转化为了求一条直线截距的范围.此法非常巧妙，充分体现了数形结合的优越性.

3.6数形结合在几何中的应用

几何问题包括解析几何和立体