4.若LTI系统的输入x（n）和输出y（n）满足下列差分方程
y（n）=ay（n-1）+x（n）
求起始条件分别为h（n）=0，n<0和h（n）=0，n>0时的单位脉冲响应。
解：
（1）令x（n）=δ（n），根据起始条件可递推如下
y（0）=δ（0）=1，y
（1）=ay（0）=a，……y（n）=ay（n-1）=a^-n
因此h（n）=y（n）=a^-n.u（n）
（2）将差分方程改写成
y（n-1）=1/a[y（n）-x（n）]
n→n+1，则y（n）=1/a[y（n+1）-x（n+1）]
根据起始条件可递推如下
y（0）=1/a[y
（1）-δ
（1）]=0，y（-1）=1/a[y（0）-δ（0）]=-1/a，……y（n）=ay（n-1）=-a^-n
因此h（n）=y（n）=-a^-n.u（-n-1）
第三章：
1本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多，但很基础，学习时要注意。
2.DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。
一、重点与难点
1.序列的傅里叶变换（DTFT）的定义、物理意义和性质；
2.z变换的定义、收敛域、性质，z反变换；
3.系统函数，收敛域与系统因果、稳定性的关系；
4.频率响应的定义，几何确定法。
5.DFT的定义、性质，DFT与z变换、DTFT之间的关系；
6.循环卷积的计算；
7.频域采样定理；
8.圆周卷积和线性卷积的关系，DFT计算线性卷积的框图；
二、具体讲解
1.离散时间系统的频率响应
系统的单位脉冲响应h（n）的离散时间傅里叶变换
称为系统的频率响应，它表征了离散时间系统在频域中的特性。
一般来说，是复函数，表示为
其中，||称为系统的幅度响应或幅度特性，arg[]称为系统的相位响应或相位特性。
系统的频率响应是以2π为周期的ω的连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加以注意。
若h（n）为实数，则系统的幅度响应在区间内是偶对称的，而相位响应是奇对称的。
2.傅里叶变换时域、频域对应关系
根据序列的傅里叶变换和离散傅里叶级数频域特性，再结合连续时间信号的傅里叶变换频域特性，我们可以得出傅里叶变换时、频域的一般对应关系：
连续→非周期，离散→周期。
这种对应关系很重要，要求熟记。
3.一些常用序列的z变换
（1）单位脉冲序列
Z[]=1
（2）实指数信号
，
，
，
，
4.系统函数零极点分布对系统特性的影响
系统稳定的充要条件是系统函数H（z）的收敛域包括单位圆，一个稳定的因果系统的系统函数的所有极点都在单位圆内。
对这些结论要能够理解。
5.频域采样定理
离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。
那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？
这是一个很吸引人的问题。
我们考虑一个任意的绝对可和的序列x（n），它的z变换为
如果对X（z）单位圆上进行等距离采样
现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？
或者说，采样后所获得的有限长序列xN（n）能不能代表原序列x（n）。
为了弄清这个问题，我们从周期序列开始
由于
所以
也即是原非周期序列x（n）的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。
在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。
因此，如果序列x（n）不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。
对于长度为M的有限长序列，只有当频域采样点数N大于或等于序列长度M时，才有
即可由频域采样值X（k）恢复出原序列x（n），否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。
例题
1.求，的反变换。
解：
X（z）全为一阶极点，故极点上的留数为：
所以
根据给定的收敛域，可知第一项对应于因果序列，第二项对应于左边序列，因此
2.已知H（z）=1-z^-N，利用几何法分析系统的幅频特性。
解：
H（z）的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的幅频特性。
零点有N个，令
z^N-1=0
则
，k=0,1,2...N-1
N个零点等间隔分布在单位圆上。
当ω从0变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为0，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。
通常将图所示幅频特性的滤波器称为梳状滤波器。
3.对有限长序列的Z变换在单位圆上进行5等份采样，得到采样值，即
，
试根据频率采样定理求的逆离散傅里叶变换。
解：
3.快速傅里叶变换并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法。
、重点与难点
1.DFT提高运算量的途径；
2.基2FFT的算法原理和FFT运算特点；
3.实序列FFT算法思路
2.画一个按时间抽取4点序列的基2FFT流图。
在图上标明时域、频域各输入、输出项的排列顺序，并标出由第4根水平线（从上往下数）发出的所有支路的系数。
解：
第四章
1掌握IIR和FIR两种滤波器的基本网络结构。
一、重点与难点
1.信号流图与方框图；
2.IIR滤波器的基本结构；
3.FIR滤波器的基本结构。
1.已知IIRDF系统函数，画出直接型的结构流图。
解：
其对应的差分方程为
2.已知FIR滤波器的单位脉冲响应为
试画出其直接型结构。
解：
2.设计IIR滤波器常用的两种设计方法——脉冲响应不变法和双线性变换法。
一、重点与难点
1.数字滤波器的分类，理想滤波器的幅频特性，性能指标；
2.模拟滤波器的分类、特点和设计方法；
3.脉冲响应不变法和双线性变换法的变换原理，s域和z域的映射关系，优缺点；
1.图示是由RC组成的模拟滤波器
（1）写出传输函数；
（2）选用一种合适的转换方法将转换成数字滤波器，设采样间隔为T；
（3）比较脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。
解：
（1）由图可知该滤波器为模拟高通滤波器
（2）采用双线性变换法，因为选用脉冲响应不变法，会在高频处发生频率混叠现象。
（3）脉冲响应不变法：
优点：
时域逼近良好，；
缺点：
容易产生混叠失真，只适用于带限滤波器；
双线性变换法：
优点：
设计运算简单；避免了频谱的混叠效应，适合各种类型滤波器；
缺点：
，会产生非线性频率失真。
3.线性相位FIR滤波器常用的两种设计方法——窗函数法。
一、重点与难点
1.线性相位的基本概念；
2.线性相位滤波器的分类、特点；
3.窗函数法的设计思路，所设计滤波器与理想滤波器的不同之处，产生原因；
4.窗函数的特点，窗函数在设计滤波器中的作用，对窗函数的要求；
5.频率采样法的设计思路。
二、具体讲解
1.四种线性相位FIR滤波器的特性
实际使用时，一般来说，1型适合构成低通、高通、带通、带阻滤波器；2型适合构成低通、带通滤波器；3型适合构成带通滤波器；4型适合构成高通、带通滤波器。
习题1用矩形窗口设计法设计一个FIR线性相位低通数字滤波器，已知ωc=0.5π，N=21。
解：
写出理想的频响，求得理想冲激响应为
计算得
加矩形窗
所以
2.根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。
通带截止频率ωp=0.2π，通带允许波动Ap=0.25dB；
阻带截止频率ωs=0.3π，阻带衰减As=50dB。
解：
查表可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰减。
但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N。
据题意，所设计的滤波器的过渡带为
利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽，所以
理想低通滤波器的截止频率为
理想低通滤波器的单位脉冲响应为
海明窗为
则所设计的滤波器的单位脉冲响应为
所设计的滤波器的频率响应为
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