第二章-机械优化设计.docx

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主讲:

阮学云

安徽理工大学

第一节绪论

1.1概念

~是一种规格化的设计方法，它首先要求将设计问题按优化设计所规定的格式建立数学模型，选择合适的优化方法及计算机程序，然后再通过计算机的计算，自动获得最优设计方案。

（三级减速器，V降低23%）

1.2优化设计发展概况

时间：

60年代开始，在化工，建筑领域得到应用

内容：

机构优化设计，机械零部件设计，机械结构优化设计，机械系统设计。

第二节优化设计的数学模型

2.1例子。

设计：

一长度为6米的绳子如何围成一个最大面积的矩形，并求其S

解：

6=2（a+b）

S=a*b

法一：

解析法将b=6/2-a代入下式，成为一元方程，可以求其最大值。

法二：

做图法

2.2优化设计的数学模型

统一形式描述：

minf（x）x=[x1,x2,………xn]T

s.tgi（x）≤0i=1,2,3…..m

hj（x）=oj=1,2,…….p

包括：

1.设计变量

2.目标函数

3.约束问题

2.3优化过程：

优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:

（2）按设计变量的性质分：

连续变量、离散变量和带参变量。

（3）按问题的物理结构分：

优化控制问题和非优化控制问题。

（4）按模型所包含方程式的特性分：

线性规划、非线性规划、二次规划和几何规划等。

（5）按变量的确定性性质分：

确定性规划和随机规划。

2.优化设计问题的迭代思路

3.终止准则

准则1-点距准则

4.1往往采用两个准则来判别

4.2往往采用两个准则来判别

第三节一维搜索

0概念：

对一维（也称一元或单变量）函数f（x）寻求其极值点x*就是一维优化方法中限制最优解问题，称一维搜索方法。

3.1方法分类

1.   分析方法（微分法）

2.   数值迭代法

（a）.直接法，包括黄金分割法和对分法

    （b）.间接法，包括不需要求导数的二次插值法和需要求导数的三次插值法

3.一维搜索的最优化方法-分析法

例已知极小值在区间内，若从点出发，根据迭代公式：

3.2进退法

进退法也称外推法，是一种通过比较函数值大小来确定单峰区间的方法。

任意给定初始点X1和步长h，算出f（x1）和

x2=x1+h点的f（x2）函数值。

3.3黄金分割法

黄金分割法也称0.618法，是通过对黄金分割点函数值的计算和比较，将初始区间逐次进行缩小，直到满足给定的精度要求，即求得一维极小点的近似解x*。

3.3.1区间缩小的基本思路

   已知f（x）的单峰区间[a,b]。

为了缩小区间，在[a,b]内按一定规则对称地取2个内部点x1和x2，并计算f（x1）和f（x2）。

可能有三种情况：

图（a）．经过一次函数比较，区间缩小一次。

在新的区间内，保留一个好点x1和f（x1），下一次只需再按一定规则，在新区间内找另一个与x1对称的点x3，计算f（x3），与f（x1）比较。

如此反复。

图（b）．淘汰[a,x1],得新区间[a,b],此时：

a=x1，x1=x2,x2为x1对称点，b=b。

图（c）．可归纳入上面任一种情况处理。

3.3.2取点规则

黄金分割法的均匀缩短率为0.618，即每经过一次函数值比较，都是淘汰本次区间的0.382倍。

根据上式，黄金分割法的取点规则是

3.3.3收敛准则

由于实际问题的需要和函数形态的不同，常常需要不同的收敛准则确定最优点。

对于直接法，有以下几种收敛准则：

（1）．区间绝对精度

（2）．区间相对精度

（3）．函数值绝对精度；

（4）．函数值相对精度

3.3.5黄金分割法前提条件

1）x1、x2在区间中的位置相对于边界来说是对称的

2）在舍去一段后,留在新区间的那个点仍处于新区间内两个计算点之一的位置；

3）在缩小区间时,λ的值为一不变的常数。

黄金分割法计算框图

思考题：

试用黄金分割法求近似极小点及极小值。

已知[a,b]=[0,2]，ε=0.01（只要求进行2轮迭代，判断是否收敛）。

3.4二次插值法

3.4.1概念：

是多项式逼近法的一种，利用目标函数在若干点的信息和函数值，构成一个与目标函数相接近的低次插值多项式，然后求该多项式的最优解作为原函数的近似最优解。

随着区间的逐次缩小，多项式的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐缩小，直到满足一定精度要求时终止迭代

3.4.2构造

设目标函数f（x）在三点x1

多项式在插值点的函数值应与目标函数的函数值相等，满足：

二次插值法原理

二次插值法区间缩小过程

3.4.3收敛准则

相继两次的二次插值函数极小点x（k）,x（k+1）之间距离小于给定精度时,认为收敛。

3.4.4特点：

（1）   二次插值法只要求f（x）连续，不要求其一阶可微。

（2）   收敛速度比黄金分割法快，但可靠性不如黄金分割法好，程序也较长。

   （3）   如p（x）的相邻两个迭代点重合，则产生死循环。

第四节无约束优化方法

0概念：

对于一个n维目标函数，如果在没有任何限制条件下寻求它的极小点，称无约束极小化问题或无约束优化问题。

大量实际问题都是有约束的，研究无约束优化方法的意义在于：

（1）一类功能很强、使用方便的有约束优化方法，往往能将有约束问题转化成无约束问题，易于采用无约束优化方法求解。

（2）无约束优化的理论与方法是约束优化的基础。

（3）有些理论计算问题或设计问题本身就是无约束的。

4.1无约束优化问题的数学模型

无约束优化问题的数学模型是：

4.1.1无约束优化问题的求解方法及其分类

无约束优化问题的间接解法

无约束优化问题的直接解法

（1）无约束优化问题的间接解法

（2）无约束优化问题的直接解法

直接解法依据的迭代公式为：

此类算法的核心就在于确定一个恰当的搜索方向，各种无约束优化方法的区别就在于确定其搜索方向方法的不同，每一种确定方向的方法就派生出一类无约束优化问题的解法。

这是本章学习的一个总的脉络。

4.2最速下降法

4.2.2收敛准则：

举例：

求目标函数的极小点。

4.2.4最速下降法的程序原理

4.2.5迭代过程

4.3共轭梯度法

4.3.1概述

从任意点出发，沿两个互为共轭方向作一维搜索，经过若干步可以获得目标函数的极小点。

4.3.2迭代过程

X（k+1）=x（k）+α（k）s（k）

s（0）=-g0

s（k+1）=-gk+1+βks（k）

βk=||gk+1||2/||gk+1||2

4.4.1概述

牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。

其基本思想是：

在点x（k）的邻域内用一个二次函数Ø（x）去近似替代原目标函数F（X），然后求二次函数的极小点作为下一个迭代点x（k+1），通过不断构造二次函数和迭计算，使迭代点逼近函数的极小点X*。

（1）一元函数求极值的牛顿型迭代法

牛顿法又称作切线法

（2）多元函数求极值的牛顿迭代法

4.4.2阻尼牛顿法

牛顿法的缺陷是，在确定极值点的过程中，并不含有沿下降方向搜索的概念。

因此对于非二次型函数，在迭代过程中，可能出现的现象。

为此人们提出了所谓的阻尼牛顿法。

阻尼牛顿法公式推导过程

令：

4.4.3阻尼牛顿法的程序框图

4.4.4方法特点：

（1）初始点应选在X*附近，有一定难度。

（2）若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向。

（3）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。

此外，对于二阶不可微的F（X）也不适用。

虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。

4.5变尺度法

一.概述

变尺度法综合以上两种方法优点：

（1）梯度法：

初期收敛速度快

（2）牛顿法：

在迭代极值点速度最快

二.迭代公式

X（k+1）=x（k）–α（k）Akgk

开始：

Ak=I

结束：

Ak=Hk-1

4.6鲍威尔法

鲍威尔法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一，是一种十分有效的算法。

在无约束方法中许多算法都是以共轭方向作为搜索方向，它们具有许多特点。

根据构造共轭方向的原理不同，可以形成不同的共轭方向法。

搜索过程（黑板演示）

坐标轮换法——沿各个坐标搜索，完成一轮搜索

单纯形法——对整个区间的点进行搜索，典型的直接法

第5节约束优化方法

5.1数学模型

机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为

5.2有约束优化问题的分类

（1）.直接法

   直接法包括：

网格法、、复合形法、随机试验法、随机方向法、可行方向法。

（2）.间接法

   间接法包括：

罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。

直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。

间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。

很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。

可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。

5.3.复合形法

基本思路：

在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。

比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点（称最坏点），以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。

反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。

初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。

5.4网格法

典型的直接法——通过网格的方式，计算结点的函数值，比较大小得最好点。

5.5随机方向法

在初始点附近产生若干随机方向，选择一个下降最快的方向作为搜索方向。

5.6惩罚函数法

5.6.1、将约束优化问题转换成新的无约束目标函数：

计算过程程序框图

5.6.2.分类：

根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合法三种。

这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。

例：

用内点法求问题的约束最优解

用内点法求问题的约束最优解

内点法程序框图

5.6.4.内点法的几个问题：

（1）初始点X（0）的选择：

初始点必须满足gi（x）≤0，且最好在可行域内离边界远一点，使一开始作无约束求优时，泛函的值较小，收敛快，成功的机会大。

（2）初始罚因子的选择：

r（0）不宜过小。

一般先以一个r（0）值进行计算，由计算结果调整其大小。

（3 递减系数c的选择：

一般来说，取0.1。

例：

用外点法求下列问题的约束最优解

外点惩罚函数的极小点向最优点逼近

1．初始点可以任选，但应使各函数有定义

   2．对等式约束和不等式约束均可适用

   3．仅最优解为可行设计方案

   4．一般收敛较快

   5．初始罚因子要选择得当

   6．惩罚因子为递增，递增率c’有c’>1

混合罚函数法在一定程度上综合了内点法和外点法的优点，克服某些缺点，可处理等式约束和不等式约束的优化问题。

混合罚函数法的构造形式与外点法的区别是：

选定初始点后，对于已满足的不等式约束用内点法构造惩罚项，对于等式和未被满足的不等式约束按外点法构造惩罚项。

混合罚函数法的具体形式是：

复合形法

直接法：

随机方向法

网格法

惩罚函数法

间接法：

增广乘子法