4.已知方程（x2—2x+m）（x2—2x+n）=0的四个根组成一个首项为1的等差数列，贝V
4
Im—n丨等于（）.
A.1B.-C.-D.-
428
5.等比数列｛an｝中，a2=9,a5=243，则｛an｝的前4项和为（）.
A.81B.120C.168D.192
6.若数列｛an｝是等差数列，首项ai>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,则使前n项
和Sn>0成立的最大自然数n是（）.
A.4005
B.4006
C.4007
D.
4008
7.已知等差数列
｛an｝的公差为2,若ai,a3,
a4成等比数列，
则a2=（
）.
A.—4
B.—6
C.—8
D.
—10
a5
&设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，右一一
a3
-，则§=（
9S5
）.
A.1
B.—1
C.2
D.
1
2
9.已知数列一1,ai,a2,—4成等差数列，一1,bi,b2,b3,—4成等比数列，则生a
b2
的值是（）.
A.
1
2
1
B.—-
2
C.—-或-
D.1
4
2
2
10.
在等差数列｛an｝中,
anM0,an—1—
2
an+an+1=0（n>2）,
若S2n-
1=38,则n=（
）
A.
38
B.20
C.10
D.9
、填空题
+f（—4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为
12.已知等比数列｛an｝中，
（1）右a3•a4•a5=8,贝Va2•a3•a4•a5•a6=.
（2）右a1+a2=324,a3+a4=36,贝Va5+a6=.
（3）若St=2,S8=6,贝Va17+a18+aw+a20=.
13.在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为.
32
14.在等差数列｛an｝中，3（a3+a5）+2（a7+ae+a13）=24,则此数列前13项之和为
15.在等差数列｛an｝中，a5=3,a6=—2，贝Ua4+a5+・・・+a10=.
16.设平面内有n条直线（n》3）,其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过
同一点.若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）=;当n>4时，f（n）
三、解答题
17.
（1）已知数列｛an｝的前n项和Sn=3n2—2n,求证数列｛an｝成等差数列.
（2）已知1,丄，1成等差数列，求证以,U,口也成等差数列.
abcabc
18.设｛an｝是公比为q的等比数列，且a1,a3,a2成等差数列.
（1）求q的值；
（2）设｛bn｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn,当n》2时，比较Sn
与bn的大小，并说明理由.
n2
19.数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn（n=1,2,3…）.
n
求证：
数列｛是等比数列.
n
20.已知数列｛an｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1,2a7,3a4成等差数列，求证：
12S3,S3,S12—S6成等比数列.
参考答案
一、选择题
1.C
解析：
由题设，代入通项公式an=a1+（n—1）d，即2005=1+3（n—1）,二n=699.
2.C
解析：
本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.
设等比数列｛an｝的公比为q（q>0），由题意得ai+a2+a3=21,即a#1+q+q2）=21,又ai=3,二1+q+q2=7.
解得q=2或q=—3（不合题意，舍去），
二a3+a4+a5=a1q2（1+q+q2）=3X22x7=84.
3.B.
解析：
由a1+a8=a4+a5,「.排除C.
又a1•a8=a1（a1+7d）=a12+7a1d,
a4•a5=（a1+3d）（a1+4d）=a12+7a1d+12d2>a1•a8.
4.C
…a1+a2+a3+a4=1+6d=4,
故选C.
.|m—n|
5.B
6.B
解析:
解法1:
由a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,知a2003和a2004两项中有一正数一负数,
又ai>0,则公差为负数，否则各项总为正数，故a2003>a2004，即a2003>0,a2004<0.
•S4006=
4006（ai+a4006）
2
4006（a2003+a2004）
>0,
•S4007=
4007
2
（ai+a4007）=
4007
2
2a2004<0,
故4006为Sn>0的最大自然数.选B.
解法2：
由ai>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0，同解法1的分析得a2003>0,a2004<0,
•S003为S中的最大值.
Sn是关于n的二次函数，如草图所示，
•2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，
•4空在对称轴的右侧.
2
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧
零点B的左侧，4007,4008都在其右侧，S>0的最大自然数是4006.
7.B
解析：
T{a"是等差数列，•a3=a1+4,a4=a1+6,
又由a1,a3,a4成等比数列，
•（a1+4）2=a1（a1+6），解得a1=-8,
•a2=—8+2=-6.
9（a1aQ
解析：
•
.鱼=
'S5—
2=9as=9•
5（a1a5）5a35
2
5=1，•选A
9
9.A
解析：
设d和q分别为公差和公比，则—4=—1+3d且—4=（—1）q4,•••d=—1,q2=2,
.a2ai=d=1
b2q2
10.C
2-
--an=2an,
解析：
T{an}为等差数列，•a；=an-1+an+1,
又anM0,.an=2,{an}为常数数列,
••n=10.
二、填空题
11.3.2.
解析：
Tf（x）=
1
2x、2
••f（1—x）=—
2
2x
2..22x
-+/=
1
•f（x）+f（1—x）=22x：
22x2
2[.J2G、、2
r~
•、2
设S=f（—5）+f（—4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）,
则S=f（6）+f（5）+…+f（0）+…+f（—4）+f（—5）,
•2S=[f（6）+f（—5）]+[f（5）+f（—4）]+…+[f（—5）+f（6）]
=6..2,
•S=f（—5）+f（—4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）=3.、2.
12.
（1）32;
（2）4;（3）32.
解析：
（1）由a3•a5=a4，得a4=2,
…a2•
5
a3•a4•a5•a6=a4=32.
a1a2324
21
（2）
2
q-
佝
a2）q36
9
•a5+a6=（a1+a2）q4=4.
4
q=2
定与前面已有的
S4=ai+a2+a3+a4=2
4
S8=ai+a2++a8=S<+Stq
16cc
二ai7+ai8+ai9+a20==32.
13.
216.
解析：
本题考查等比数列的性质及计算,
8,27同号，由等比中项的中间数为｛涔=6,插入的三个数之积为
14.26.
解析：
Ta3+a5=2a4,a7+a13=2a10,
二6（a4+a1o）=24,a4+a10=4,
13（a1+a13）13la4+a10）134
--S13====26.
222
15.—49.
解析：
Td=a6—a5=—5,
二a4+a5+…+a10
=7a4+a10）
2
=7a5—d+a5+5d）
2
=7（a5+2d）
=—49.
1
16.5,丄（n+1）（n—2）.
2
解析：
同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线
每条直线都相交，•••f（k）=f（k—1）+（k—1）.
由f（3）=2,
f（4）=f（3）+3=2+3=5,
f（5）=f（4）+4=2+3+4=9,
f（n）=f（n—1）+（n—1）,
1
相加得f（n）=2+3+4+…+（n—1）=1（n+1）（n—2）.
2
三、解答题
17•分析：
判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项
差为常数.
证明：
（1）n=1时，ai=Si=3-2=1,
当n》2时，an=Sn—Sn_1=3n2—2n—[3（n—1）2—2（n—1）]=6n—5,
n=1时，亦满足，二an=6n—5（n€N*）.
首项a1=1,an—an-1=6n—5—[6（n—1）—5]=6（常数）（n€N*）,
二数列｛an｝成等差数列且a1=1,公差为6.
•••q=1或一1.
2
2
n（n—1）n+3n
（2）右q=1,贝ySn=2n+=
22
当n>2时，Sn—bn=Sn-1=（门一1）（门+2）>0,故Sn>bn.
2
2
若q=—丄，贝ySn=2n+g■二卫（—丄）=―n+9n.
2224
Sb（n—0（10—n）
Sn——bn=Sn—1=
4
故对于n€N+,当2bn；当n=10时，3=bn；当n>11时，3vbn.
19.证明：
T
an+1=Sn+1—Sn,an+1="+2Si,
n
••（n+2）Sn=n（Sn+1—Sn），整理得nSn+1=2（n+1）Sn,故｛§｝是以2为公比的等比数列.
所以
Sn+1
2Sn
n+1
n
20.证明：
由ai,2a7,3a4成等差数列，得4a7=ai+3a4，即4aiq6=ai+3aiq3,
变形得（4q3+1）（q3-1）=0,•••q3=—1或q3=1（舍）.
4
a1（1
q6）
1q3=1；
由S6
12S3
=1
q
12a1（1
3q
）
1216
1
q
a1（1
12
q）
S12S6
—S2—
1=
1
q6—1=1+q6—1=1
q）16
S6
S6
a1（1
1
q
得Ss=
12S3
-S12S6
S6
•12S3,S6,S12—S成等比数列.
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