一题多问一道二次函数经典题的50种问法思维篇--1.3.docx

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一道二次函数经典50问

已知：

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）求四边形ABCD的面积；

（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出点P的坐标及△BPC的周长。

（5）在直线AC下方的抛物线有一点N，过点N作直线轴，交AC于点M，当点N的坐标是多少时，线段MN的长度最大？

最大值是多少？

（6）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CAN的面积最大？

最大面积是多少？

（7）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？

最大面积是多少？

（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。

（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由。

（10）在抛物线上是否存在一点N，使，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。

（11）在抛物线上是否存在一点H，使，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由。

（12）在抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。

（13）在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。

（14）在抛物线上找一点F，作FM⊥x轴，交AC于点H，使AC平分△AFM的面积？

（15）在抛物线的对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求出K、L两点的坐标。

（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M，交抛物线于点N，若以A、M、N、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标。

（17）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC=∠PCO？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（18）在线段AC上是否存在一点M，使△AOM与△ABC相似？

若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由。

（19）点P是抛物线对称轴上的一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在这样的点P，使△PAH与△OBC相似？

若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（20）若点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点O以相同的速度出发向点C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为T秒，△OPQ的面积为S，求S与T之间的函数关系式，并求出S的最大值。

（21）【补充】点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A、D、E、F构成菱形，若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由。

（22）【补充】点E在y轴上的一个动点，点F是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点E和点F，使点A、D、E、F构成矩形，若存在，求出点E、F的坐标，若不存在，请说明理由。

（23）【补充】点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样一个动点P，使的值最大，若存在，求出点P的坐标，并求出的最大值，若不存在，请说明理由。

（24）【补充】在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使点P到直线AC的距离最大，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（25）【补充】在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使点P到直线AC的距离为，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（26）【补充】在直线AD上，是否存在一点P，使BP+CP最小，使若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（27）【补充】在直线AC上，是否存在一点P，使最小，使若存在，求出点P的坐标，并求出最小值，若不存在，请说明理由。

（28）【补充】点E是线段AC上的一个动点，点P是线段AB上的一个动点，PE//BC，是否在这样的动点P，使△PEC的面积最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PEC的面积的最大值，若不存在，请说明理由。

（29）【补充】点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直x轴交AC于点E，PF⊥AC于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的周长最大，若存在，求出点P的坐标，并求出△PEC的周长的最大值，若不存在，请说明理由。

（30）【补充】点O关于直线AC的对称点E是否在抛物线上，若在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。

（31）【补充】点E是坐标轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使△ACE是等腰直角三角形，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。

（32）【补充】【正方形存在性问题】点E是坐标轴上的一个动点，点P在坐标平面内，是否存在这样的点P，使点P、E、A、C四点构成的四边形是正方形，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（33）【补充】已知对称轴交x轴于点E，以E为圆心，为半径作，试判断直线BC与的位置关系，并说明理由。

（34）【补充】【平行四边形之横平行】已知M为直线AC上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM//AB，是否存在这样的点P，使点P、M、A、B构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（35）【补充】【平行四边形之纵平行】已知对称轴交x轴于点E，M为x轴上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM//ED，是否存在这样的点P，使点P、M、E、D构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（36）【补充】【平行四边形之斜平行】已知M为x轴上一个动点，P为抛物线上一个动点，且PM//AC，是否存在这样的点P，使点P、M、A、C构成的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（37）【补充】已知和直线，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD⊥于D。

求证：

PD=PF。

（38）【补充】【等边三角形存在性问题】已知和直线，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD⊥于D，是否存在这样的点P，使△PFD是等边三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

（39）【补充】已知和以及直线，点P为抛物线上任意一个动点，过点P作PD⊥于D。

求证：

PD+PE的最小值。

（40）【补充】已知F为平面内一定点，点P为抛物线上一动点，且点P到直线的距离与点P到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

（41）【补充】已知，直线为平面内一定直线，点P为抛物线上一动点，且点P到直线的距离与点P到点F的距离总是相等，求定直线的解析式。

（42）【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点。

求证：

x1x2；y1y2是定值。

（43）【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点，弦PQ中点为M，直线。

求证：

以M为圆心的与直线相切。

（44）、【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点，弦PQ的中点为M，直线。

若MN⊥于N。

求证：

NF⊥PQ。

（45）、【补充】D是抛物线的顶点，任意直线TH与抛物线交于T、H两点，若DT⊥DH。

直线TH是否过某一定点，若过某一定点，求出定点坐标；若不过某一定点，请说明理由。

（46）、若直线PQ是过点的与抛物线有两个交点的任意直线，并与抛物线交于P、Q两点，连接DP、DQ。

求证：

△DPQ是直角三角形。

【注：

实际上就是证明：

DP⊥DQ。

】

（47）、【补充】已知，过点F的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点，直线。

分别过点P、Q作PH⊥于H，QT⊥于T。

求证：

PH+QT是定值。

（48）、【补充】过点（即：

焦点）的任意直线与抛物线交于P（x1，y1）和Q（x2，y2）两点。

求证：

为定值。

（49）、【补充】过点的任意直线与抛物线交于P、Q两点。

求证：

为定值。

（50）、【补充】已知点T是对称轴上的任意一个点，过点T的任意直线与抛物线交于P、Q两点，M是弦PQ的中点，过点M向x轴作垂线，交抛物线于点N，抛物线在点N处的切线是HK。

求证：

HK//PQ.