初中数学经典函数图像性质总结.docx
《初中数学经典函数图像性质总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学经典函数图像性质总结.docx（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
初中数学经典函数图像性质总结
初中数学经典函数图像性质总结
初中数学经典函数图像性质总结
初中数学函数性质、图像性质学问点总结-------成长家教初中数学一次函数性质、图像性质学问点总结:
一次函数：
一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。
中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式敏捷，综合应用性强。
甚至有存在探究题目消失。
主要考察内容：
①会画一次函数的图像，并把握其性质。
②会依据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。
突破方法：
①正确理解把握一次函数的概念，图像和性质。
②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。
③把握用待定系数法球一次函数解析式。
④做一些综合题的训练，提高分析问题的力量。
一、函数性质：
1.y=kx+b（k，b为常数，k≠0）称y是x的一次函数。
当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为（0，b）。
当b=0（即y=kx），一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特别的一次函数。
2.在两个一次函数表达式中：
当两一次函数表达式中的k一样，b也一样时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k一样，b不一样时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k、b不一样时，两一次函数图像相交。
当两一次函数表达式中的k不一样，b一样时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
二、图像性质
1．作法与图形：
通过如下3个步骤：
（1）列表.
人生轨迹都是圆，但是你可以将圆的半径延长些初中数学函数性质、图像性质学问点总结-------成长家教
（2）描点；[一般取两个点,依据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。
一般的y=kx+b（k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。
正比例
函数y=kx（k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。
因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图象与x轴和y轴的交点）.2．性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满意等式：
y=kx+b（k≠0）。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：
○1y=kx时（即b等于0，y与x成正比例）：
当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b初中数学函数性质、图像性质学问点总结-------成长家教
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
③点斜式y-y1=k（x-x1）（k为直线斜率,（x1,y1）为该直线所过的一个点）④两点式（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）（直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点）⑤截距式（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）⑥有用型（由实际问题来做）公式
1.求函数图像的k值：
（y1-y2）/（x1-x2）2.求与x轴平行线段的中点：
|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：
|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：
√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：
解两函数式
解：
设两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则（x0,y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：
[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.若两条直线y1=k1x+b1∥y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b28.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-19.y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位
二次函数学问点
一、二次函数概念：
b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强1．二次函数的概念：
一般地，形如yaxbxc（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．调：
和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，2.二次函数yaxbxc的构造特征：
22人生轨迹都是圆，但是你可以将圆的半径延长些初中数学函数性质、图像性质学问点总结-------成长家教
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．⑵a，二、二次函数的根本形式
1.二次函数根本形式：
yax的性质：
a的肯定值越大，抛物线的开口越小。
2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质
00，00，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值0．a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．2.yaxc的性质：
上加下减。
2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴性质
c0，c0，y轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a0向下y轴x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.yaxh的性质：
左加右减。
2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质0h，0h，xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．a0
向下X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．4.yaxhk的性质：
上加下减
2a的符号a0开口方向向上顶点坐标对称轴X=h性质（h,k）xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．a0向下（h,k）X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．
人生轨迹都是圆，但是你可以将圆的半径延长些
扩展阅读：
初中数学函数局部总结
初中数学函数局部总结
正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不肯定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特别形式，即一次函数y=kx+b中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：
y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。
函数值y随着自变量x的增大而增大．
当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。
自变量x的值增大时，y的值则渐渐减小．[编辑本段]正比例函数的性质1.定义域：
R（实数集）2.值域：
R（实数集）3.奇偶性：
奇函数
4.单调性：
当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k②正比例关系两种相关联的量的变化规律：
对于比值为正数的,即y=kx（k>0）,此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：
汽车每小时行驶的速度肯定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
以上各种商都是肯定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．留意：
在推断两种相关联的量是否成正比例时应留意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不肯定，它们就不能成正比例．例如：
一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。
[编辑本段]反比例函数的定义
一般地，假如两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
由于y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-。
[编辑本段]反比例函数表达式
y＝k／x其中X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k1/xxy=ky=kx^-1
y=k\\x（k为常数（k≠0），x不等于0）[编辑本段]反比例函数的自变量的取值范围
①k≠0;②一般状况下,自变量x的取值范围是x≠0的一切实数;③函数y的取值范围也是一切非零实数.[编辑本段]反比例函数图象
反比例函数的图象属于双曲线,
曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）。
[编辑本段]反比例函数性质
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数在x0上同为减函数；k7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则b+4km≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：
x轴与y轴。
[编辑本段]反比例函数的应用举例
【例1】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．
解：
∵m,n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根∴m+n=3，mn=k,又PO=根号13，∴m2+n2=13，
∴（m+n）2-2mn=13，∴9-2k=13．∴k=-2
当k=-2时，△=9+8＞0，∴k=-2符合条件，
【例2】直线与位于其次象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：
（1）直线与双曲线的解析式；
（2）点A、A1的坐标.
分析：
矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为（m,n），则AB=|n|,AC=|m|，依据矩形的面积公式知|mn|=6.【例3】如图，在的图象上有A、C两点，分别向x轴引垂线，垂足分别为B、D，连结OC，OA，设OC与AB交于E，记△AOE的面积为S1，四边形BDCE的面积为S2，试比拟S1与S2的大小．[编辑本段]数学术语
【读音】yīcìhánshù
【解释】函数的根本概念：
一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。
表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特别状况。
可表示为y=kx
[编辑本段]根本定义变量：
变化的量常量：
不变的量
自变量x和X的一次函数y有如下关系：
y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）
当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。
假如有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。
x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。
特殊的，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：
y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。
定义域：
自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。
[编辑本段]相关性质
函数性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：
y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为（0,b）.
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ（角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°）
形、取、象、交、减。
4.当b=0时（即y=kx），一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特别的一次函数.
5.函数图像性质：
当k一样，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都一样时，两条直线重合。
图像性质
1．作法与图形：
通过如下3个步骤
（1）列表
（2）描点；[一般取两个点,依据“两点确定一条直线”的道理]；
（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）2．性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满意等式：
y=kx+b（k≠0）。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比例）：
当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过其次、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。
当k>0,b特殊地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过第一、三象限，不会通过其次、四象限。
当k＜0时，直线只通过其次、四象限，不会通过第一、三象限。
4、特别位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）[编辑本段]表达式
解析式类型
①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]
（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k（x-x1）[点斜式]
（k为直线斜率,（x1,y1）为该直线所过的一个点）④（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：
①所需条件较多（3个）；
②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：
x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设始终线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg（a）[编辑本段]常用公式
1.求函数图像的k值：
（y1-y2）/（x1-x2）2.求与x轴平行线段的中点：
|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点：
|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：
√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：
根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）
5.求两个一次函数式图像交点坐标：
解两函数式
两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式得到y=y0则（x0,y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：
[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：
（X-x1）/（x1-x2）=（Y-y1）/（y1-y2）（其中分母为0，则分子为0）xy++在第一象限+-在第四象限-+在其次象限--在第三象限
8.若两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-110.
y=k（x-n）+b就是向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是向左平移n个单位
口诀：
右减左加（对于y=kx+b来说，只转变k）y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀：
上加下减（对于y=kx+b来说，只转变b）[编辑本段]相关应用
生活中的应用
1.当时间t肯定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f肯定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）肯定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
数学问题
一、确定字母系数的取值范围
例1已知正比例函数，则当kx2B.x10，且y1>y2。
依据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。
应选A。
三、推断函数图象的位置
例3.一次函数y=kx+b满意kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）
A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限
解：
由kb>0，知k、b同号。
由于y随x的增大而减小，所以k典型例题
例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.假如挂上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式.假如弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：
此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.解：
由题意设所求函数为y=kx+12则13.5=3k+12，得k=0.5
∴所求函数解析式为y=0.5x+12由23=0.5x+12得：
x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
例2某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需本钱4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
此题要考虑X的范围
解:
设总费用为Y元，刻录X张电脑公司：
Y1=8X学校：
Y2=4X+120当X=30时，Y1=Y2当X>30时，Y1>Y2当X定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：
1：
y=ax^2;+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），则称y为x的二次函
数。
顶点坐标（-b/2a,（4ac-b^2）/4a）
2：
顶点式：
y=a（x-h）^2+k或y=a（x+m）^2+k（两个式子实质一样,但初中课本上都是第一个式子）
3：
交点式（与x轴）：
y=a（x-x1）（x-x2）
重要概念：
（a，b，c为常数，a≠0，且a打算函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c打算抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac-b/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）7.特别值的形式
①当x=1时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c8.定义域：
R
值域：
（对应解析式，且只争论a大于0的状况，a小于0的状况请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，
正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：
偶函数周期性：
无解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：
（-b/2a，（4ac-b^2）/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a（x-h）^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=（4ac-b^2）/4a；③y=a（x-x1）（x-x2）[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=（X1+X2）/2当a>0且X≥（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≤（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
特殊地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;，y=a（x-h）^2;，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象外形一样，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式y=ax^2;y=ax^2+Ky=a（x-h）^2;y=a（x-h）^2+ky=ax^2+bx+c
顶点坐标（0，0）（0，K）（h，0）（h，k）
（-b/2a，4ac-b^2/4a）
对称轴x=0x=0x=hx=hx=-b/2a
当h>0时，y=a（x-h）^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）^2+k的图象；
当h>0,k当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x+h）+k的图象；
当h0；当a
升级会员 