电路微分与积分电路.docx

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电路微分与积分电路

微分电路与积分电路分析

积分与微分电路（ZT）

转贴电子资料 2010-11-2310:

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积分与微分电路

积分电路与微分电路是噪讯对策上的基本，同时也是具备对照特性的模拟电路。

事实上积分电路与微分电路还细分成数种电路，分别是执行真积分/微分的完全积分/微分电路，以及具有与积分/微分不同特性的不完全积分/微分电路。

除此之外积分/微分电路又分成主动与被动电路，被动型电路无法实现完全积分/微分，因此被动型电路全部都是不完全电路。

积分/微分电路必需发挥频率特性，为了使电路具备频率特性使用具备频率特性的电子组件，例如电容器与电感器等等。

被动电路

不完全积分/微分电路

图1是被动型不完全积分电路，如图所示组合具备相同特性的电路与，就可以制作上述两种电路。

图1与图2分别是使用电容器与电感器的电路，使用电容器的电路制作成本比较低，外形尺寸比较低小，容易取得接近理想性的组件，若无特殊理由建议读者使用电容器的构成的电路。

此外本文所有容原则上全部以电容器的构成的电路为例作说明。

图1与图2的两电路只要更换串联与并联的组件，同时取代电容器与电感器，就可以制作特性相同的电路。

不完全积分电路与微分电路一词，表示应该有所谓的完全积分电路与微分电路存在，然而完全积分电路与微分电路却无法以被动型电路制作，必需以主动型电路制作。

不完全积分电路与微分电路具有历史性的含义，主要原因是过去无法获得增幅器的时代，无法以主动型电路制作真的积分/微分电路，不得已使用不完全积分/微分电路。

由于不完全积分/微分电路本身具备与真的积分/微分电路相异特性，因此至今还具有应用价值而不是单纯的代用品。

不完全积分/微分电路又称为积分/微分电路，它的特性与真积分/微分电路相异，单纯的积分/微分电路极易与真积分/微分电路产生混淆，因此本讲座将它区分成:

*完全积分电路/微分电路

*不完全积分电路/微分电路

不完全积分电路的应用

不完全积分电路属于低通滤波器的一种，它与1次滤波器都是同一类型的电路，不完全积分电路经常被当成噪讯滤波器使用，广泛应用在模拟电路、数字电路等领域。

此处假设：

T:

时定数

R:

阻抗

C:

电容

:

切除（cut-off）频率

如此一来：

图3是不完全积分电路的频率特性，虽然不完全积分电路属于模拟电路，不过在数字电路中它可以产生一定的延迟，因此不完全积分电路经常被当作延迟电路使用。

不完全积分电路比纯数字电路更简易、低价、省空间（图4），然缺点是它的时间精度很低只能作概略性应用。

图4的缓冲器为施密特触发器（schmitttrigger）。

要求高精度的应用或是时间很短的场合，必需使用延迟线（delayline）的制品。

延迟线组件的延迟时间大多固定，长延迟的场合可以考虑使用单音多谐振动器（MonoMulti-vibrator）或是时计（Timer）IC。

以往大多使用数字时计器，数字时计器是将频率信号作一定数的计数（counter）藉此产生一定时间。

如果使用微处理器就必需利用软件产生时计，构成所谓的软件时计，例如微处理器的周边电路，以及软件设定的数字计数器就是典型代表。

不完全微分电路的应用

不完全微分电路主要应用在数字信号的站立/下降检测（图5），图5的缓冲器为施密特触发器。

所如图所示谓的站立/下降检测，它是指可以在脉冲站立或是下降处，产生微细脉冲的电路而言，该脉冲广泛应用在各种领域。

完全微分电路无法以被动（passive）电路制作，必需利用主动（acctive）电路制作。

此外完全微分电路对噪讯非常脆弱根本无法实用化，因此以不完全微分电路取代（图6）。

如图6所示完全微分电路高频时，它的增益（gain）会变成无限大。

由于噪讯的频率比一般信号高，导致完全微分电路变成噪讯增幅器，信号完全被噪讯覆盖。

全微分电路的频率特性与一次滤波器，亦即不完全微分电路呈对称状，形成所谓的高通滤波器，此时它的时定数与消除（cut-off）频率定义与不完全微分电路相同。

由于不完全微分电路会影响增益（gain），它可以缓和完全微分电路的缺点，亦即微分时使用不完全微分电路，成为噪讯（noise）对策上必要措施。

不完全微分电路被当成实现微分特性的电路使用时，如图6（a）所示在信号频率围，被设定成可以消除更高的频率。

不完全微分电路被当成高通滤波器（highpassfilter）使用时，它的信号频率围如图6（b）所示，随着图6的特性曲线应用部位的差异，它的用途截然不同。

虽然不完全微分电路可以缓和完全微分电路的缺点却无法有效消除，为有效削减噪讯的影响，必需合并使用不完全积分电路（串联连接），藉此使高频波衰减（图7），类似这样可以使高、低频波衰减的滤波器统称为频通滤波器（bandpassfilter）。

利用不完全微分电路检测站立

图8是利用不完全积分电路构成的站立检测电路，一般认为积分电路的抗噪讯特性比微分电路强，不过这并不是所有情况都适用。

如图8所示反应波形不论是积分电路或是微分电路，两者的抗噪讯强度几乎没有太大差异。

图9是为验证上述结果进行的微弱脉冲状反应特性比较结果，如图所示虽然细部反应特性略有差异，不过整体反应特性几乎完全相同。

图10是可以同时检测站立与下降的电路，本电路是不完全积分电路的另一种应用。

单音多谐振动器（MonoMultiVibrator）

单音多谐振动IC可以检测站立特性，或是产生一定时间宽度的脉冲。

单音多谐振动IC广泛应用在各种领域，图11是典型的单音多谐振动器电路图，单音多谐振动IC对噪讯非常脆弱，目前已经被数字时计器取代，即使如此单音多谐振动IC仍旧是噪讯对策上最具代表性的电路。

如图11所是本电路利用电阻器Rx与电容器Cx，构成不完全积分电路产生延迟，由于该部位经常变成高阻抗，因此对噪讯非常脆弱。

本IC属于数字IC，主要应用在数字电路，电路周围布满许多数字信号线，数字信号对模拟电路是强大的噪讯源，噪讯对策上必需缩减RC部位的引线长度，同时避免其它信号线接近RC部位。

噪讯对策滤波器

某些情况要求滤波器具备非常敏锐的噪讯消除特性，由于被动式滤波器无法产生十分敏锐的噪讯消除特性，必需使用主动式滤波器才能符合实际需求。

噪讯对策上特殊用途除外，通常都不要求敏锐的噪讯消除特性。

主要原因是噪讯通常都比信号的频率高，因此大多使用被动式滤波器或是低通滤波器，此外使用主动式滤波器时，可以合并使用被动式滤波器。

信号强度很低或是要求高精度的场合，电子组件产生的噪讯反而成为问题，由于许多电子组件产生的噪讯刚好与信号的频宽的平方根呈比例，因此缩减信号的频宽就可以降低噪讯。

在交流增幅时必需消除直流成份，此时可以考虑使用电容器构成的高通滤波器，高通滤波器再与可以消除高频的低通滤波器组合，就变成所谓的频通滤波器（图12）。

频通滤波器基本结构与图7的电路相同，两者主要差异是图7要求的特性是微分领域。

由于频率比微分领域更高的频域属于不要的围，因此必需尽快使它衰减。

相较之下交流增幅器要求信号的频域必需具备平坦特性，以噪讯对策的立场而言却要求充分的频宽，然而频域变宽噪讯也随着加大，换言之理论上频宽与频宽无法两者满足上述要求。

主动电路

被动电路与主动电路

如上所述被动电路无法制作完全积分电路与完全微分电路，必需改用主动电路，然而完全微分电路并不实用，即使是主动电路仍旧必需使用不完全微分电路。

图13是典型的完全积分与完全微分电路；图14两电路的特性；图15是典型的不完全积分与不完全微分电路。

理论上具备某种围特性的滤波器，可以制作被动电路或是主动电路，反过来说如果不是主动滤波器，就无法制作具备某些特性的电路，尤其是特性非常独特、优秀的滤波器通常都是主动方式。

如果主动或是被动都可以获得相同特性的场合，当然是被动方式制作成本比较低，不过以噪讯对策的立场而言，某些情况反而是采用主动方式反而比较适当（图16）。

即使是被动式滤波器，只要在滤波器下游插入缓冲器或是非反相增幅器，它的耐噪讯特性几乎与主动式滤波器相同。

如上所述不完全微分电路除了具备与被动式滤波器相同特性之外，它还能够制作具备其它特性的电路（图17）。

类似这样同时拥有低频时的完全特性，以及高频时不完全特性，一般电路很少使用，在自动控制器领域这种特性称为PI动作。

完全微分电路

不完全微分电路取代完全微分电路时，它与不完全积分电路取代完全积分电路一样，使用上完全没有问题。

换言之在图3（a）的频域围，即使是不完全积分电路，它的特性与完全积分电路相同，不过某些情况建议读者最好改用不完全积分电路。

主动式的完全积分电路只要输入不是0，它会持续将该值积分造成输出饱和，某些应用增幅器一旦产生饱和，回复到正常动作必需花费相当长的时候，此时若使用不完全积分电路，某些情况可以避开饱和问题（图18）。

必需注意的是即使使用不完全积分电路，随着条件的不同同样会发生饱和现象，此时必需仔细计算不会发生饱和现象的条件。

噪讯对策用滤波器

利用滤波器消除噪讯时，主动式滤波器有某些限制，因此必需根据信号的频率围，选择接近满足理想特性的电子组件。

不过实际上噪讯的频率比信号的频率高，即使选择对噪讯频率有效的电阻器或是电容器，如果应用增幅器无法覆盖噪讯频率，主动式滤波器对高频的噪讯频率可能无法发挥应有的功能，亦即丧失噪讯对策应有的效果。

此时若选择可以覆盖噪讯频率的应用增幅器，藉此满足信号要求的特定特性，同时还希望能够在噪讯频率围动作，通常这种要求非常不易达成，即使达成它的成本代价非常高，比较实用方法是合并使用被动式滤波器，图19是典型合并使用被动式滤波器的电路。

高次滤波器

噪讯对策用滤波器大多不要求敏锐特性，不过模拟/数字转换时使用的噪讯滤波器却要求敏锐特性，此时必需使用主动式滤波器或是高次滤波器。

所谓高次滤波器是2次以上滤波器的概称，滤波的次数越高越能实现敏锐的特性（图20）。

如图20所示频率1dec（10倍）产生-20dB变化，特性与次数呈比例变成非常敏锐的特性。

2次滤波器是高次滤波器的基本型，2次以上的滤波器大多是由2次与1次滤波器组合构成（图21）。

图22是2次低通滤波器的电路例。

1次滤波器利用一个电阻器与电容器构成，2次滤波器则使用二个电阻器或与电容器。

此处假设n次滤波器是由n组电阻器与电容器构成，2次滤波器的消除频率可用下式表示：

Q（QualityFactor）可用下式表示:

1次滤波器的波形呈一定状，相较之下2次滤波器的波形却不断改变，主要原因是波形取决于Q值，图23是Q与频率特性的关系。

如图所示消除频率时，低频的通过领域与高频的阻碍领域，它的特性并未受到Q值的影响，不过阻碍领域附近的特性却受到Q值的影响，尤其是Q值很小时消除特性比较迟缓，相较之下QA值很大时增益会出现峰值，该特性称为共振现象，在低通滤波器非常忌讳这种共振现象。

时称为临界制动（Criticaldamping），增益不会出现峰值的条件下，临界制动成为特性敏锐滤波器的指标。

虽然被动式滤波器可以作某种程度接近临界制动件，不过此时只能获得非常迟缓的噪讯消除特性。

一、矩形脉冲信号

在数字电路中，经常会碰到如图4-16所示的波形，此波形称为矩形脉冲信号。

其中为脉冲幅度，为脉冲宽度，为脉冲周期。

当矩形脉冲作为RC串联电路的激励源时，选取不同的时间常数及输出端，就可得到我们所希望的某种输出波形，以及激励与响应的特定关系。

图4-16脉冲信号

二、微分电路

在图4-17所示电路中，激励源为一矩形脉冲信号，响应是从电阻两端取出的电压，即，电路时间常数小于脉冲信号的脉宽，通常取。

图4-17微分电路图

因为t<0时，，而在t=0时，突变到，且在0

，相当于在RC串联电路上接了一个恒压源，这实际上就是RC串联电路的零状态响应：

。

由于，则由图4-17电路可知。

所以，即：

输出电压产生了突变，从0V突跳到。

因为，所以电容充电极快。

当时，有，则。

故在期间，电阻两端就输出一个正的尖脉冲信号，如图4-18所示。

在时刻，又突变到0V，且在期间有：

=0V，相当于将RC串联电路短接，这实际上就是RC串联电路的零输入响应状态：

。

由于时，，故。

因为，所以电容的放电过程极快。

当时，有，使，故在期间，电阻两端就输出一个负的尖脉冲信号，如图4-18所示。

图4-18微分电路的ui与uO波形

由于为一周期性的矩形脉冲波信号，则也就为同一周期正负尖脉冲波信号，如图4-18所示。

尖脉冲信号的用途十分广泛，在数字电路中常用作触发器的触发信号；在变流技术中常用作可控硅的触发信号。

这种输出的尖脉冲波反映了输入矩形脉冲微分的结果，故称这种电路为微分电路。

微分电路应满足三个条件：

①激励必须为一周期性的矩形脉冲；②响应必须是从电阻两端取出的电压；③电路时间常数远小于脉冲宽度，即。

三、积分电路

在图4-19所示电路中，激励源为一矩形脉冲信号，响应是从电容两端取出的电压，即，且电路时间常数大于脉冲信号的脉宽，通常取。

因为时，，在t=0时刻突然从0V上升到时，仍有，

故。

在期间，，此时为RC串联状态的零状态响应，即。

由于，所以电容充电极慢。

当时，。

电容尚未充电至稳态时，输入信号已经发生了突变，从突然下降至0V。

则在期间，，此时为RC串联电路的零输入响应状态，即。

由于，所以电容从处开始放电。

因为，放电进行得极慢，当电容电压还未衰减到时，又发生了突变并周而复始地进行。

这样，在输出端就得到一个锯齿波信号，如图4-20所示。

锯齿波信号在示波器、显示器等电子设备中作扫描电压。

由图4-20波形可知：

若越大，充、放进行得越缓慢，锯齿波信号的线性就越好。

从图4-20波形还可看出，是对积分的结果，故称这种电路为积分电路。

RC积分电路应满足三个条件：

①为一周期性的矩形波；②输出电压是从电容两端取出；③电路时间常数远大于脉冲宽度，即。

图4-19积分电路图图4-20积分电路的ui与uo波形

【例4-6】在图4-21（a）所示电路中，输入信号的波形如图4-21（b）所示。

试画出下列两种参数时的输出电压波形。

并说明电路的作用。

①当时；②当时。

图4-21电路图图

解：

①因为，所以，

而，显然，此时电路是一个微分电路，其输出电压波形如图4-22（a）所示。

②因为为.

而，但很接近于。

所以电容充电较慢，即。

故，所以当时，，；时，。

此时，已从10V突跳到0V，则电容要经电阻放电，即。

所以。

则当时，；

时，。

输出电压波形如图4-22（b）所示。

。

由图4-22可知：

当越大时，波形就越接近于波形。

所以，此时的电路就称为耦合电路。

积分电路

积分电路是一种应用比较广泛的模拟信号运算电路。

它是组成模拟计算机的基本单元，用以实现对微分方程的模拟。

同时，积分电路也是控制和测量系统中常用的重要单元，利用其充放电过程可以实现延时、定时以及各种波形的产生。

一、电路组成

电容两端的电压uc与流过电容的电流ic之间存在着积分关系，即

如能使电路的输出电压uo与电容两端的电压uc成正比，而电路的输入电压ul与流过电容的电流ic成正比，则uo与ul之间即可成为积分运算关系。

利用理想运放工作在线性区时"虚短"和"虚断"的特点可以实现以上要求。

在上图中，输入电压通过电阻R加在集成运放的反相输入端，并在输出端和反相输入端之间通过电容C引回一个深度负反馈，即可组成基本积分电路。

为使集成运放两个输入端对地的电阻平衡，通常使同相输入端的电阻为

R’=R（6.3.1）

可以看出，这种反相输入基本积分电路实际上是在反相比例电路的基础上将反馈回路中的电阻RF改为电容c而得到的。

由于集成运放的反相输大端"虚地"，故

uo=-uc

可见输出电压与电容两端电压成正比。

又由于"虚断"，运放反相输入端的电流为零，则i1=ic，故

u1=i1R=icR

即输入电压与流过电容的电流成正比。

由以上几个表达式可得

（6.3.2）

式中电阻与电容的乘积称为积分时间常数，通常用符号r表示，即

τ=RC

如果在开始积分之前，电容两端已经存在一个初始电压，则积分电路将有一个初始的输出电压Uo（0），此时

（6.3.3）

二、输入、输出波形

（一）输入电压为矩形波

如果在基本积分电路的输入端加上一个矩形波电压，则由式（6.3.3）可知，当t≤to时，u1=0,故uo=0；当to

此时uo将随着时间而向负方向直线增长，增长的速度与输入电压的幅度U1成正比，与积分时间常数RC成反比。

当t>t1时，u1=0,由式（6.3.3）可知，此时uo将保持t=t1时的输出电压值不变。

（二）输入电压为正弦波

若u1=Umsinwt，则由式（6.3.3）可得

此时积分电路的输出电压是一个余弦波。

uo的相位比u1领先90°。

此时积分电路的作用是移相。

三、积分电路的误差

在实际的积分运算电路中，产生积分误差的原因主要有以下两个方面:

一方面是由于集成运放不是理想特性而引起的。

例如，当u1=0地，uo也应为零，但是由于运放的输入偏置电流流过积分电容，使uo逐渐上升，时间愈长，误差愈大。

又如，由于集成运放的通频带不够宽，使积分电路对快速变化的输入信号反应迟钝，使输出波形出现滞后现象，等等。

产生积分误差的另一方面原因是由积分电容引起的。

例如，当u1回到零以后，uo应该保持原来的数值不变，但是，由于电容存在泄漏电阻，使uo的幅值逐渐下降。

又如，由于电容存在吸附效应也将给积分电路带来误差，等等。

 求和电路

求和电路的输出量反映多个模拟输入量相加的结果。

用运放实现求和运算时，可以采用反相输人方式，也可采用同相输入方式。

6.2.1反相输入求和电路

上图示出了具有三个输入端的反相求和电路。

可以看出，这个求和电路实际上是在反相比例运算电路的基础上加以扩展而得到的。

为了保证集成运放两个输大端对地的电阻平衡，同相输入端电阻R’的阻值应为

R’=R1//R2//R3//RF（6.2.1）

由于“虚断”，i_=0，因此

i1+i2+i3=iF

又因集成运放的反相输入端“虚地”，故上式可写为

则输出电压为

6.2.2）

可见，电路的输出电压uo反映了输入电压u11、u12和u13相加所得的结果，即电路能够实现求和运算。

如果电路中电阻的阻值满足关系R1=R2=R3=R，则上式成为

 6.2.3）

当然，按照同样的原则，可以将求和电路的输入端扩充到三个以上，电路的分析方法是相同的。

通过上面的分析可以看出，反相输入求和电路的实质是利用“虚地”和“虚断”的特点，通过各路输入电流相加的方法来实现输入电压的相加。

这种反相输入电路的优点是，当改变某一输入回路的电阻时，仅仅改变输出电压与该路输入电压之间的比例关系，对其他各路没有影响，因此调节比较灵活方便。

另外，由于"虚地"，因此，加在集成运放输入端的共模电压很小。

在实际工作中，反相输入方式的求和电路应用比较广泛。

6.2.2同相输入求和电路

为了实现同相求和，可将各输入电压加在集成运放的同相输大端，但为了引入一个深负反馈，反馈电阻RF仍需接到反相输入端，如上图所示。

由于“虚断”，i＋=0,故对运放的同相输入端可列出以下节点电流方程

又由于"虚短"，即u＋=u_，则输出电压为

　　　（6.2.4）

此式与式（6.2.2）形式上相似，但前面没有负号，可见能够实现同相求和运算。

但是，式（6.2.4）中的R十与各输入回路的电阻都有关，因此，当调节某一回路的电阻以达到给定的关系时，其他各路输入电压与输出电压之间的比值也将随之变化，常常需要反复调节才能将参数值最后确定，估算和调试的过程比较麻烦。

此外，由于不存在"虚地"现象，集成运放承受的共模输入电压也比较高。

在实际工作中，同相求和电路的应用不如反相求和电路广泛。

从原理上说，求和电路也可采用双端输入方式，此时，电路的多个输入信号之间同时可以实现加法和减法运算，但是这种电路参数的调整十分繁琐，因此实际上很少采用。

如果需要同时实现加法和减法运算，可以考虑采用两级反相求和电路。

比例运算电路

比例运算电路的输出电压与输入电压之间存在比例关系，即电路可实现比例运算。

比例电路是最基本的运算电路，是其他各种运算电路的基础，本章随后将要介绍的求和电路、积分和微分电路、对数和指数电路等等，都是在比例电路的基础上，加以扩展或演变以后得到的。

根据输入信号接法的不同，比例电路有三种基本形式：

反相输入、同相输入以及差分输入比例电路。

6.1.1反相比例运算电路

在上图中，输入电压u1经电阻R1加到集成支放的反相输入端，其同相输入端经电阻R2接地。

输出电压u0经RF接回到反相输入端。

集成运放的反相输入端和同相输入端，实际上是运放部输入级两个差分对管的基极。

为使差动放大电路的参数保持对称，应使两个差分对管基极对地的电阻尽量一致，以免静态基流流过这两个电阻时，在运放输入端产生附加的偏差电压。

因此，通常选择R2的阻值为

R2=R1//RF（6.1.1）

经过分析可知，反相比例运算电路中反馈的组态是电压并联负反馈。

由于集成运放的开环差模增益很高，因此容易满足深负反馈的条件，故可以认为集成运放工作在线性区。

因此，可以利用理想运放工作在线性区时“虚短”和“虚断”的特点来分析反相比例运算电路的电压放大倍数。

在上图中，由于“虚断”，故i+=0，即R2上没有压降，则u+=0。

又因“虚短”，可得

u-=u+=0（6.1.2）

上述说明在反相比例运算电路中，集成运放的反相输入端与同相输入端两点的电位不仅相等，而且均等于零，如同该两点接地一样，这种现象称为“虚地”。

“虚地”是反相比例运算电路的一个重要特点。

由于I-=0，由由图可见

iI=iF

即 

上式中u-=0，由此可求得反相比例运算电路的电压放大倍数为

 （6.1.3）

下面分析反相比例运算电路的输入电阻。

因为反相输入端“虚地”，显而易见，电路的输入电阻为

Rif=R1（6.1.4）

综合以上分析，对反相比例运算电路可以归纳得出以下几点结论：

1）反相比例运算电路实际上是一个深度的电压并联负反馈电路。

在理想情况下，反相输入端的电位等于零，称为“虚地”。

因此加在集成运簇输入端的共模输入电压很小。

2）电压放大倍数,即输出电压与输入电压的幅值成正比，但相位

相反。

也就是说，电路实现了反相比例运算。

比值Auf决定于电阻RF和R1之比，而与集成运放部各项参数无关。

只要RF和R1的阻值比较准确而稳定，就可以得到准确的比例运算关系。

比值Auf可以大于1，也可以小于1。

当RF=R1时，Auf=-1，称为单位增益倒相器。

3）由于引入了深度电压并联负反馈，因此电路的输入电阻不高，输出电阻很低。

6.1.2同相比例运算电路

在上图中，输入电压u1接至同相输入端，但是为保证引入的是负反馈，输出电压uo通过电阴RF仍接到反相输入端，同时，反相输入端通过电阴R1接地。

为了使集成运放反相输入端和同相输入端对地的电阻一致，R2的阻值仍应为

R2=R1//RF

同相比例运算电路中反馈的组态为电压串联负反馈，同样可以利用理想运放工作在线性区时的两个特点来分析其电压放大位数。

在上图中，根据“虚短”和“虚断”的特