高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十九直线平面垂直的判定与性质理.docx

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高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十九直线平面垂直的判定与性质理

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十九直线平面垂直的判定与性质理

[练基础小题——强化运算能力]

1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α

B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β

C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

解析：

选C　A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，故错误．

2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC中共有直角三角形个数为（　　）

A．4B．3

C．2D．1

解析：

选A　由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，即AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体PABC中共有4个直角三角形．

3．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，

C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：

①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确的结论有________．

解析：

①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，

故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③AF⊥PB，若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．

答案：

①②④

4．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若a∥α且b∥α，则a∥b；

②若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；

③若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.

上面命题中，所有真命题的序号是________．

解析：

①中a与b可能相交或异面，故①是假命题．②中存在γ，使得γ与α，β都垂直，故②是真命题．③中只需直线l⊥α且l⊄β就可以，故③是真命题．

答案：

②③

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（　　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β

解析：

选C　对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.

2.如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

解析：

选D　连接B1D1（图略），则A1C1⊥B1D1，根据正方体特征可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D，B1O⊂平面BB1D1D，所以B1O⊥A1C1.

3.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

解析：

选A　连接AC1（图略），由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

4．设a，b，c是空间的三条直线，α，β是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（　　）

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

解析：

选B　A的逆命题为：

当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β，故A正确；B的逆命题为：

当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误，故B错误；C的逆命题为：

当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c，故C正确；D的逆命题为：

当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α，故D正确．

5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

解析：

选D　∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.

6.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（　　）

A.

B．1C.

D．2

解析：

选A　设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝

，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝

h.

又2×

＝h

，所以h＝

，DE＝

.

在Rt△DB1E中，B1E＝

＝

.

由面积相等得

×

＝

x，得x＝

.

二、填空题

7.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________（写出全部正确命题的序号）．

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

解析：

由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，所以平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE，故③正确．

答案：

③

8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

解析：

如图，连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，

即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

答案：

DM⊥PC（或BM⊥PC等）

9．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：

①若l⊥α，则l与α相交；

②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；

③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；

④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.

其中正确命题的序号为________．

解析：

①显然正确；对于②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对于③，由l∥m，m∥n，得l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对于④，由l∥m，m⊥α，得l⊥α，再由n⊥α，得l∥n，故④正确．

答案：

①③④

10．（xx·兰州质检）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．（写出所有正确说法的序号）

①不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有MN∥AB；

④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.

解析：

由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD.因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EC⊥AD，④正确．

答案：

①②④

三、解答题

11.如图，四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．求证：

（1）AP∥平面BEF；

（2）BE⊥平面PAC.

证明：

（1）设AC∩BE＝O，连接OF，EC，如图所示．

由于E为AD的中点，AB＝BC＝

AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，

因此四边形ABCE为菱形，

所以O为AC的中点．

又F为PC的中点，

因此在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF.

所以AP∥平面BEF.

（2）由题意知ED∥BC，ED＝BC.

所以四边形BCDE为平行四边形，

因此BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，

所以AP⊥CD，因此AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，

所以BE⊥平面PAC.

12.如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1，点O1为B1D1的中点．

（1）求证：

AB1∥平面A1O1D；

（2）若AB＝

AA1，在线段BB1上是否存在点E使得A1C⊥AE？

若存在，求出

；若不存在，说明理由．

解：

（1）证明：

如图1所示，连接AD1交A1D于点G，

∴G为AD1的中点，连接O1G，在△AB1D1中，

∵O1为B1D1的中点，∴O1G∥AB1.

∵O1G⊂平面A1O1D，且AB1⊄平面A1O1D，

∴AB1∥平面A1O1D.

（2）若在线段BB1上存在点E使得A1C⊥AE，连接A1B交AE于点M，如图2所示．

∵BC⊥平面ABB1A1，AE⊂平面ABB1A1，

∴BC⊥AE.

又∵A1C∩BC＝C，且A1C，BC⊂平面A1BC，

∴AE⊥平面A1BC.

∵A1B⊂平面A1BC，∴AE⊥A1B.

在△AMB和△ABE中，∠BAM＋∠ABM＝90°，∠BAM＋∠BEA＝90°，∴∠ABM＝∠BEA.

∴Rt△ABE∽Rt△A1AB，∴

＝

.

∵AB＝

AA1，∴BE＝

AB＝

BB1，

即在线段BB1上存在点E使得A1C⊥AE，此时

＝

.

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章立体几何课时达标检测三十八直线平面平行的判定与性质理

[练基础小题——强化运算能力]

1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是（　　）

A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2

C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α

解析：

选A　由m∥l1，m⊂α，l1⊂β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．

2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：

选A　若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．

3．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③B．②③C．①④D．②④

解析：

选C　对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．

4．已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________（只填序号）．

①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.

解析：

连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．

答案：

①②④

5.如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是________．

解析：

连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由

＝

＝

，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

答案：

平面ABC、平面ABD

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．下列命题中，错误的是（　　）

A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交

B．平行于同一平面的两个不同平面平行

C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线

解析：

选D　A中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有两种情形：

在平面内或与平面平行，不管哪种情形都得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故A正确；B是两个平面平行的一种判定定理，B正确；C中，如果平面α内有一条直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β（这是面面垂直的判定定理），故C正确；D是错误的，事实上，直线l不平行平面α，可能有l⊂α，则α内有无数条直线与l平行．

2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：

①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥b，a∥α，则b∥α；

③若a∥α，b∥α，则a∥b.

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析：

选A　对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．

3．已知直线a，b异面，给出以下命题：

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．

则其中正确的是（　　）

A．①④B．②③

C．①②③D．②③④

解析：

选D　对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面（除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外）均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确．

4．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列三个命题：

①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；

②若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；

③若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析：

选C　①正确；②中三条直线也可能相交于一点，故错误；③正确，所以正确的命题有2个．

5．（xx·襄阳模拟）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（　　）

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

解析：

选D　如图所示，连接AC，C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A、C正确，D错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．

6.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是（　　）

①|BM|是定值；

②点M在圆上运动；

③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；

④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.

A．①②③B．①②④

C．②③④D．①③④

解析：

选B　取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，∴平面MNB∥平面A1DE，∵MB⊂平面MNB，∴MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝

A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．

二、填空题

7．过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析：

过三棱柱ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．

答案：

6

8．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于体对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.

解析：

如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，∴S△ACE＝

×

×

＝

（cm2）．

答案：

9．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：

①α∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.

如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（填上你认为正确的所有序号）．

解析：

①α∥γ，α∩β＝a，β∩γ＝b⇒a∥b（面面平行的性质）．

②如图所示，在正方体中，α∩β＝a，b⊂γ，a∥γ，b∥β，而a，b异面，故②错．③b∥β，b⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b（线面平行的性质）．

答案：

①③

10.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．

解析：

设

＝

＝k（0

∴

＝

＝1－k，

∴GH＝5k，EH＝4（1－k），∴周长＝8＋2k.

又∵0

∴周长的范围为（8,10）．

答案：

（8,10）

三、解答题

11.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

证明：

（1）连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，

所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，

所以平面BDE∥平面MNG.

12.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2.

（1）求证：

AB1∥平面BC1D；

（2）设BC＝3，求四棱锥BDAA1C1的体积．

解：

（1）证明：

连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，如图所示．

∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．

∵D为AC的中点，

∴OD为△AB1C的中位线，

∴OD∥AB1.

∵OD⊂平面BC1D，

AB1⊄平面BC1D，

∴AB1∥平面BC1D.

（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，

∴平面ABC⊥平面AA1C1C.

∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，

连接A1B，作BE⊥AC，垂足为E，

则BE⊥平面AA1C1C.

∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，

∴在Rt△ABC中，AC＝

＝

＝

，

∴BE＝

＝

，

∴四棱锥BAA1C1D的体积V＝

×

（A1C1＋AD）·AA1·BE＝

×

×2×

＝3.