《线段的垂直平分线的性质和判定》 第1课时 教案 探究版.docx

《线段的垂直平分线的性质和判定》 第1课时 教案 探究版.docx

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《线段的垂直平分线的性质和判定》第1课时教案探究版

《线段的垂直平分线的性质和判定》（第1课时）教案探究版

教学目标

知识与技能：

1．探究线段垂直平分线的性质．

2．线段垂直平分线的判定．

过程与方法：

通过自主探索线段垂直平分线的性质；学会用性质解决实际问题的过程，逐步培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．

情感、态度：

1．学生在理解探索性质中，培养学生勇于探索的精神，树立积极思考，克服困难的信心．

2．在探究的过程中，更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．

教学重点：

1．线段垂直平分线的性质和判定．

2．能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

教学难点

灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．

教学策略：

鼓励学生自主学习、积极探究思考．还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结．

教具准备：

多媒体课件

教学过程设计

一、情境导入（教师用多媒体演示）

如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．

线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

进一步提问：

“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?

”

设计意图：

通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾线段垂直平分线的性质．

二、探究新知

1．探究1

师：

多媒体展示下图，引导学生思考．

如下图．木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

学生活动：

1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3，…，连接AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，…，

2．作好图后，用直尺量出AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，…，讨论发现什么样的规律．

探究结果：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1＝BP1，AP2＝BP2，AP3＝BP3，…．

师：

能用我们已有的知识来证明这个结论吗？

学生讨论给出证明．教师请两位学生黑板板演，集体纠正，并多媒体展示正确答案．

证法1：

利用两个三角形全等．

如下图，在△APC和△BPC中，

证明：

∵l⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB．

又AC＝CB，PC＝PC，

∴△APC≌△BPC（SAS）．

∴PA＝PB．

用符号语言表示为：

∵CA＝CB，l⊥AB，

∴PA＝PB．

证法二：

利用轴对称性质．

由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．

定理：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

带着探究1的结论我们来看下面的问题．

2．探究2

如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？

为什么？

学生活动：

1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作l，在l上取点P1，P2，连接AP1，AP2，BP1，BP2．会有以下两种可能．

甲乙

2．讨论：

要使l与AB垂直，AP1，AP2，BP1，BP2应满足什么条件？

探究过程：

学生分组讨论，由代表举手发言，教师多媒体展示结论．

1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即l与AB不垂直．

2．如上图乙，若AP1＝BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1＝∠BPP1，即l与AB垂直．当AP2＝BP2时，亦然．

探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在探究2图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保证射出箭的方向与木棒垂直．

师：

你能证明上面的结论吗？

学生讨论给出证明．学生黑板板演，教师多媒体展示证明过程，对比学生解答，纠正问题．

已知：

如图，PA＝PB．

求证：

点P在线段AB的垂直平分线上．

证明：

过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA＝∠PCB＝90°．

在Rt△PCA和Rt△PCB中，

∵PA＝PB，PC＝PC，

∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．

∴AC＝BC．

又PC⊥AB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

用数学符号表示为：

∵PA＝PB，

∴点P在AB的垂直平分线上．

判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

师：

你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？

能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？

这些点能组成什么几何图形？

生：

在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．

设计意图：

通过学生动手操作，思考问题，猜测结论，培养了学生的直观猜测能力，教师通过层层设问引入，激发学生的探究欲望；同时通过小组讨论交流，培养学生的合作学习能力，让不会的同学问出来，让会的同学讲出来，达到共同提高的教学目的，也营造了宽松和谐的课堂气氛．

三、典例精讲

例．已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC．

求证：

直线AO垂直平分线段BC．

学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程．

师生共同完成：

证明：

∵AB=AC，

∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．

同理，点O在线段BC的垂直平分线上．

∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）．

设计意图：

应用线段垂直平分线的性质定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．

四、课堂练习

1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______．

2．如下图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB＋BD与DE有什么关系？

3．如下图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

设计意图：

及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力．

答案：

1．8．

2．解：

∵AD⊥BC，BD＝DC，

∴AD是BC的垂直平分线．

∴AB＝AC．

∵点C在AE的垂直平分线上，

∴AC＝CE．

∴AB＝AC＝CE．

∵AB＝CE，BD＝DC，

∴AB＋BD＝CD＋CE．即AB＋BD＝DE．

3．解：

∵AB＝AC，

∴点A在BC的垂直平分线上．

∵MB＝MC，

∴点M在BC的垂直平分线上．

∴直线AM是线段BC的垂直平分线．

五、课堂小结

1．本节课学习了哪些内容？

2．线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？

两者之间有什么关系？

3．如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？

设计意图：

通过提出问题，使学生思考总结所学内容，培养学生归纳总结能力；通过对性质定理和判断定理的复习，使学生找出区别与联系，避免概念的混淆．

六、布置作业

1．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP，∠BCP之角平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求；（乙）作AC，BC之中垂线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）．

A．两人都正确B．两人都错误

C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确

2．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝__________．

3．如图，BD垂直平分CE，ED＝3cm，△ABE的周长为11cm，则△ACE的周长为__________．

答案：

1．D．2．15．3．17cm．

七、课堂检测设计

1．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3cm，PB＝3cm，则点P一定（）．

A．是边AB的中点B．在边AB的中线上

C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上

2．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．

3．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G．求△AEG的周长．

4．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD

的周长是14cm，求AB和AC的长．

答案：

1．D．解析：

点P到线段AB两个端点的距离相等，点P在线段AB的垂直平分线上．

2．6．解析：

由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6．

3．解：

DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，

∴BE＝AE，CG＝AG．

∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7．

答：

△AEG的周长为7．

4．解析：

利用垂直平分线的性质，把相等的线段“集中”到一个三角形中．

解：

∵DE是BC的垂直平分线，

∴DB＝DC．

∵AC＋AD＋CD＝14cm，

∴AC＋AD＋DB＝14，即AC＋AB＝14cm．

又∵AB－AC＝2cm，设AB＝xcm，AC＝ycm，

根据题意得

解得

即AB长8cm，AC长6cm．