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数模比赛获奖论文
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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阅
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注
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摘要
一、问题复述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。
由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。
如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。
我们试解决以下问题：
1.根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
2.根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
3.构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
4.假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。
请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
二、问题分析
对于问题一，我们需根据视频1描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
单向车行道的可能通行能力
其中
是大型车对通行能力的修正系数，计算公式是：
，
是大型车换算成小客车的车辆换算系数；PHV是大型车交通量占总交通量的百分比。
由此可知，视频1中大型车交通量的变化可引起
的变化，从而我们可以得到事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
所以可以用excel整理数据，画出相应的变化图。
对于问题二，可以先调查视频2中不同时间段内车道的实际通行量，同问题一类似，做出事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
因为视频1与视频2记录的不是同一时间的路面状况，由于视频2时发生在下午的五点到六点之间，正值下班高峰期，所以车流量明显比视频1大。
为了保证车行道是单一变量，我们应对两个结果做标准化处理。
最后可以比较两个结果，总结同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
对于问题三，要分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，必须先找到堵车量受到信号灯控制和人工组织方案影响后与时间、路段上游车流量之间的关系。
首先选定小型车为标准车型，那么排队的长度就可由标准车型的车长和堵车量Q确定下来。
而t时刻事故所在的道路的堵车量，主要由两部分组成，一是事故发生时信号灯的剩余状态时间内和t时刻所在信号周期t之前的时间内的进车量，二是t时刻之前完整的信号灯周期内的进车量。
车辆可以从四个方向进入事故所在的道路，但是他们会在不同的时间进入，即可能会在此道上的红灯时间、绿灯时间，也可能会在左转时间，至于具体是在哪一种信号灯状态进入，我们用0-1变量处理。
根据每个车道的车流量不同，每个方向进入的车流量也会不同，所以需要分别设变量
代替。
总的堵车量Q可以通过
对时间t的积分求得。
当堵车量Q达到一定的限度的时候，再加人工交通组织方案，对路口通车方向进行限制。
对左转车辆进行人工控制的路口，也是可以用0-1变量处理的。
三、问题假设
1.路旁障碍物（挡土墙、护轨、电线杆、路标等）的距离（侧向净空）应在即使与基本通行能力相等的交通量时也不给行驶车辆带来影响；
2.纵向坡度、曲率半径、视距及其他线性条件不应给通行能力交通量时的车速带来影响。
3.交通时没有影响通行能力的卡车等大型车辆、行人、自行车，也没有影响通行能力的车速限制；
4.有事故发生时不会有围观人群；
5.驾驶员条件对通行能力的修正系数为1；
6.两小区的出车量和入车量都很少；
7.绿灯时间按一定比例包括直行和左转；
8.每个绿灯时间内进入事故所在道路的车流量一样大；
四、符号说明
：
车道的实际通行能力，即在具体条件下，采用四级服务水平时所能通过的最大交通量veh/h；
pt:
小区1和小区2的出车量减入车量；
:
堵车量；
Qs:
事故点上游的交通需求；
：
基本（理论）通行能力；
：
单向车行道的车道数；
：
车道宽度对通行能力的修正系数；
：
大型车对通行能力的修正系数，计算公式是：
=1/[1+
（
-1）]，
：
大型车换算成小客车的车辆换算系数；
是大型车交通量占总交通量的百分比；
:
驾驶员条件对通行能力的修正系数，一般在0.9~1之间，本文取1。
：
车辆的反应距离（m）；
：
车辆的制动距离（m）；
：
车辆之间的安全距离（m）；
：
车辆的长度（m）；
:
车速（km/h）；
:
车头最小时距；
:
事故发生时开始计时；
d1（t）:
事故发生时车道内已有的车辆的数量；
d2（t）:
事故发生时信号周期剩余状态内进入车道的车辆数；
：
北边方向进入事故所在车道的车流量（pcu/h）；
:
南边方向进入事故所在车道的车流量（pcu/h）；
：
东边方向进入事故所在车道的车流量（pcu/h）；
：
西边方向进入事故所在车道的车流量（pcu/h）；
：
事故发生时信号灯正处于第i种状态，
=1,2,3,4,
:
对j方向的路口左转车辆进行控制，
=1,2,3,4
五、模型建立与求解
5.1建模前的准备
表一车道宽度对通行能力的修正系数
车道宽度WL
修正系数YL
3.25
1.00
3.00
0.94
2.75
0.88
2.50
0.82
由附件3知，车道宽度为3.25m，结合表一得修正系数为0.94。
表二侧向净空与修正系数
侧向净空WC（m）
修正系数YC
0.75
1.00
0.50
0.95
0.25
0.91
0.00
0.86
本文侧向净空取0.75m，相应的补偿系数为1.00。
表二车道宽度与设计速度
设计速度（km/h）
120
100
80
60
40
30
20
车道宽度（m）
3.75
3.75
3.75
3.50
3.50
3.25
3.00
因为车道宽度为3.25m，结合表二可得车速应限制为30km/h。
5.2模型建立与求解
5.2.1问题一建立模型与求解
表三视频1中各种车的通行量（辆/min）
小型车
13
17
16
18
13
19
21
16
22
15
16
15
18
23
13
20
23
大型车
4
1
0
1
0
1
2
0
1
2
1
2
0
1
3
3
0
电瓶车
1
4
3
5
6
3
0
7
1
4
1
0
2
11
5
5
2
标准车当量
19.5
20.5
17.5
22
16
22
24
19.5
24
20
18
18
19
30
20
27
24
我们要根据视频1描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
单向车行道的可能通行能力：
，因为
，所以我们需要进一步求解道路基本通行能力和把大型车换算成小客车的车辆换算系数
、大型车交通量占总交通量的百分比
.
在假设条件下，道路基本通行能力公式如下：
式中的
是反应时间，取1.2s；
是制动初速度，
是路面与轮胎间的附着系数及阻力系数，取值为0.44。
小型车、大型车、电瓶车对应的折算系数
分别为1.0、1.5、0.5。
根据统计数据，可以得到交通事故发生至撤离期间，若以1分钟为一个时间段，各时间段内大型车交通量占总交通量的百分比PHV如下表四所示：
表四大型车交通量占总交通量的百分比
时间段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
大型车比例
0.308
0.073
0
0.068
0
0.068
0.125
0
0.063
时间段
10
11
12
13
14
15
16
17
大型车比例
0.150
0.083
0.167
0
0.05
0.225
0.167
0
由以上公式和表格可以求得道路基本通行能力为，事故所处横断面实际通行能力的变化过程如下图：
图1视频1中实际通行能力变化图
5.2.2问题二的模型建立与求解
经过分析道路设计的要求，同一路段的车辆基本通行能力是不变的，所以问题二的道路的基本通行能力与第一问的求解是一样的。
由视频2每隔一分钟统计的各种车型的通行量如表五所示：
表五视频2中各种车的通行量（辆/min）
小型车
20
20
18
17
21
15
16
21
22
17
大型车
2
2
1
3
1
2
2
1
2
1
电瓶车
2
4
7
3
7
4
9
2
10
6
小型车
16
20
13
14
17
21
20
18
19
16
大型车
1
0
2
4
1
1
1
1
1
2
电瓶车
3
9
5
9
5
6
4
7
14
6
小型车
20
17
17
16
9
18
15
18
20
大型车
1
3
3
2
3
2
2
1
2
电瓶车
6
11
12
2
3
3
7
1
2
由上表的数据把各种车辆转换为标准车当量数及在每个时间段中车辆的实际通行能力，如下表表六：
表六视频2中各时段基本情况
时段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
标准车当量
24
25
23
23
26
20
23.5
23.5
30
21.5
大型车百分比
0.125
0.12
0.065
0.196
0.058
0.15
0.128
0.064
0.1
0.07
实际通行能力
891.784
893.887
917.598
863.088
920.954
881.414
890.669
918.215
902.4
915.581
时段
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
标准车当量
19
24.5
18.5
24.5
21
25.5
23.5
23
27.5
22
大型车百分比
0.079
0
0.162
0.245
0.071
0.059
0.064
0.065
0.055
0.136
实际通行能力
911.538
947.52
876.456
844.154
914.847
920.448
918.215
917.598
922.365
887.04
时段
21
22
23
24
25
26
27
28
29
标准车当量
24.5
27
27.5
20
15
22.5
21.5
20
24
大型车百分比
0.061
0.167
0.164
0.15
0.3
0.133
0.14
0.075
0.125
实际通行能力
919.376
874.634
875.859
881.414
823.93
888.3
885.725
913.272
891.784
根据相关数据和公式，容易求得视频2中实际通行能力，各时段的世纪通行能力如下图图2所示：
图2视频2中实际通行能力变化图
我们已经通过计算求得视频1和视频2两种情况下的车辆实际通行能力，为了更准确地进行比较，现在来分别求解它们各自对应的均值
、方差
和最值
。
视频1中：
=908.691，
=1394.888，
=948.46，
=821.999。
视频2中：
=896.899，
=688.595，
=947.52，
891.784。
对比两视频的实际通行能力，可得图3，结合图三分析得到同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异有如下几个：
（1）均值
代表了通行道的实际通行能力的平均水平，由
稍大于
，可以看出视频1中通行道的实际通行能力比视频2中大。
（2）方差
体现了两段视频中实际通行能力的波动幅度，比较可知视频1中的波动比较大，这是因为视频1是发生在下班高峰期之前，车辆比较少，而视频2恰恰是发生在高峰期，这时车辆最多，这必然会导致道路堵塞比视频1中时间长，所以才实际通行能力波动比较平稳，尤其是视频2中事故出现后的15到19分钟之间的平稳，这是由于信号灯的影响使得前一绿灯拥堵的车辆还未消散，30秒红灯之后又一绿灯引进了另一些车辆，使堵车队伍越来越长，另外也与这一时间段内大型车数量比较少有不可分割的关系。
（3）极值
体现的是实际通行能力最大和最小，显然只有当堵塞的时候两端视频的实际通行能力才最大，既然都是堵塞，那必然会有两种情况中实际通行能力最大值相当，且均比基本通行能力小，如得出数据所示。
（4）最小实际通行能力除了发生在车辆本身就比较少的时候外，也可能是发生在有大型车通过的时候，由视频可知大型车一般只走中通行道和外通行道。
当内通行道被堵时，大型车影响较小，可以直接通过，但是小型车必须改变方向，这使得最小实际通行能力比较小；当外通行道被堵时，大型车影响较大，但是数量本身很小，而为数较多的小型车则影响较小，可以直接通过，所以最小实际通行能力比视频1中的大。
这些事实均有效地反映了我们结论的合理性。
图3不同车道被堵实际通行能力对比图
5.2.3问题三的模型建立与求解
当有事故发生时，一般会出现以下两种情况：
（1）当交通事故占用中间与内部车道时，这时事故点的实际通行能力Qs≠0，交通事故越严重，则相应Qx越小。
（i）若事故点上游的交通需求q＜Qx，则车辆以较低的速度通过事故点，上游不会形成车辆拥挤排队;
（ii）若q＞Qx，则交通流可按事故点的实际断面通行能力通过事点，超过该通行能力的车流在事故点上游排队。
（2）当交通事故十分严重时，事故点的实际通行能力Qx=0，造成事发路段断流，事故点上游车辆排队，发生交通拥挤堵塞，进而排队一直向上游延伸。
结合视频1，我们只需考虑第
（1）种情况即可。
t时刻事故所在的道路的堵车量主要有两部分组成：
一是事故发生时信号灯的剩余状态时间内和t时刻所在信号周期t之前的时间内的进车量，即
，其中，
；
二是t时刻之前完整的信号灯周期内的进车量，即
所以直到t时刻，该路段的堵车量Q=
因为这些车会分布在三个车道内，设定标准车型的车身长5m，所以车辆排队长度为
六、模型评价
七、模型改进
八、参考文献
九、附录
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