高中数学 312用二分法求方程的近似解课时作业 新人教A版必修1.docx

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高中数学312用二分法求方程的近似解课时作业新人教A版必修1

2019-2020年高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业新人教A版必修1

知识点及角度

难易度及题号

基础

中档

稍难

二分法的概念

1、2

二分法求函数的近似零点

3

8

12

二分法求方程的近似解

4、5、7

6、11

9、10

x

－1

0

1

2

3

ex

0.37

1

2.72

7.39

20.09

x＋2

1

2

3

4

5

解析：

令f（x）＝ex－x－2，

则f（－1）＝0.37－1＜0，

f（0）＝1－2＜0，

f

（1）＝2.72－3＜0，

f

（2）＝7.39－4＞0，

f（3）＝20.09－5＞0，

∴f

（1）·f

（2）＜0，故函数f（x）的零点位于区间（1,2）内，即方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为（1,2）．

答案：

C

5．在用二分法求方程f（x）＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f（0.625）＜0，f（0.75）＞0，f（0.6875）＜0，即可得出方程的一个近似解为______（精确度为0.1）．

解析：

因为|0.75－0.6875|＝0.0625＜0.1，所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．

答案：

0.75或0.6875（答案可以是[0.6875,0.75]内的任一数值）

6．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

x

－1.6

－1.4

－1.2

－1

－0.8

－0.6

－0.4

－0.2

0

…

y＝2x

0.3298

0.3789

0.4352

0.5

0.5743

0.6597

0.7578

0.8705

1

…

y＝x2

2.56

1.96

1.44

1

0.64

0.36

0.16

0.04

0

…

若方程2x＝x2有一个根位于区间（a，a＋0.4）（a在表格中第一栏里的数据中取值），则a的值为______．

解析：

令f（x）＝2x－x2，由表中的数据可得f（－1）<0，

f（－0.6）>0；f（－0.8）<0,f（－0.4）>0，

∴根在区间（－1，－0.6）与（－0.8，－0.4）内，

∴a＝－1或a＝－0.8.

答案：

－1或－0.8

7．用二分法求方程x3－8＝0在区间（2,3）内的近似解，求经过几次二分后精确度能达到0.01?

解：

区间（2,3）的长度为1，当7次二分后区间长度为

＝

<

＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.

8．已知曲线y＝

x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是（　　）

A.

B．

C.

D．（1,2）

解析：

设f（x）＝

x－x，则f（0）＝1>0，

f

＝

－

＝

－

<0，

f

（1）＝

－1<0，f

（2）＝

2－2<0，

显然有f（0）·f

<0.

答案：

A

9．设x1，x2，x3依次是方程

x＋2＝x，log2（x＋2）＝

，2x＋x＝2的实根，则x1，x2，x3的大小关系为________．

解析：

x＝x－2，在同一坐标系中，作出y＝

x与y＝x－2的图象，如图

（1）所示．由图象可知，两图象交点横坐标x1＞1.

图

（1）

同理，作出y＝log2（x＋2）与y＝

的图象，如图

（2）所示．由图象可知，两函数交点的横坐标x2＜0.

图

（2）

作出y＝2x与y＝－x＋2的图象，如图（3）所示．由图象可知，两函数交点的横坐标0＜x3＜1.

图（3）

综上可得，x2＜x3＜x1.

答案：

x2＜x3＜x1

10．求方程3x＋

＝0的近似解（精确度0.1）．

解：

原方程可化为3x－

＋1＝0，即3x＝

－1.

在同一坐标系中，分别画出函数g（x）＝3x与h（x）＝

－1的简图．

g（x）与h（x）的图象交点的横坐标位于区间（－1,0），且只有一交点，所以原方程只有一解x＝x0.

令f（x）＝3x＋

＝3x－

＋1，

∵f（0）＝1－1＋1＝1>0，

f（－0.5）＝

－2＋1＝

<0，

∴x0∈（－0.5,0）．

用二分法求解列表如下：

中点值

中点（端点）函数值及符号

选取区间

f（－0.5）<0，f（0）>0

（－0.5,0）

－0.25

f（－0.25）≈0.4265>0

（－0.5，－0.25）

－0.375

f（－0.375）≈0.0623>0

（－0.5，－0.375）

－0.4375

f（－0.4375）≈－0.1593<0

（－0.4375，－0.375）

∵|－0.4375－（－0.375）|＝0.0625<0.1，

∴原方程的近似解可取为－0.4.

11．已知函数f（x）＝ax3－2ax＋3a－4在区间（－1,1）上有一个零点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若a＝

，用二分法求方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根．

解：

（1）若a＝0，则f（x）＝－4，与题意不符，∴a≠0.

由题意得f（－1）·f

（1）＝8（a－1）（a－2）<0，

即

或

，∴1

（2）若a＝

，则f（x）＝

x3－

x＋

，

∴f（－1）＝

>0，f（0）＝

>0，f

（1）＝－

<0.

∴函数零点在（0,1）上，又f

＝0，

∴方程f（x）＝0在区间（－1,1）上的根为

.

12.如图所示，有一块边长为15cm的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为xcm的正方形，然后折成一个无盖的盒子．

（1）求盒子的容积y（以x为自变量）的函数解析式，并写出这个函数的定义域；

（2）如果要做一个容积为150cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？

（结果精确到0.1cm）

解：

（1）盒子的容积y是以x为自变量的函数，

解析式为y＝x（15－2x）2，x∈（0,7.5），

（2）如果要做成一个容积是150cm3的盒子，

则（15－2x）2·x＝150.

令f（x）＝（15－2x）2·x－150，

由f（0）·f

（1）＜0，f（4）·f（5）＜0，

可以确定f（x）在（0,1）和（4,5）内各有一个零点，即方程（15－2x）2·x＝150在区间（0,1）和（4,5）内各有一个解．

取区间（0,1）的中点x1＝0.5，

∵f（0.5）＝－52，

∴零点x0∈（0.5,1）．

再取中点x2＝0.75，

∵f（0.75）≈－13.31，

∴零点x0∈（0.75,1）．

继续有x0∈（0.75,0.875），x0∈（0.8125,0.875），x0∈（0.84375,0.875），x0∈（0.84375,0.859375），x0∈（0.84375,0.8515625），x0∈（0.84375,0.84765625）．

∵区间（0.84375,0.84765625）内的所有值，若精确到0.1都是0.8，

∴方程在区间（0,1）内精确到0.1的近似解为0.8.

同理，可得方程在区间（4,5）内精确到0.1的近似解为4.7.所以要做成一个容积为150cm3的无盖盒子，截去小正方形的边长约是0.8cm或4.7cm.

1．判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：

其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．

2．利用二分法求方程近似解的步骤是：

（1）构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间（n，n＋1），n∈Z；

（2）利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；

（3）区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．

2019-2020年高中数学3.1.2用二分法求方程的近似解课时作业（含解析）新人教A版必修1

一、选择题

1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（　　）

【解析】　利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f（a）·f（b）<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.

【答案】　B

2．（xx·河南中原名校联考）设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间（　　）

A．（2，2.25）　　　　　B．（2.25，2.5）

C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）

【解析】　因为f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，由零点存在性定理知，在区间（2.25，2.75）内必有根，利用二分法得f（2.5）＜0，由零点存在性定理知，方程的根在区间（2.5，2.75），选C.

【答案】　C

3．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）<0，f（0.5）>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为（　　）

A．（0，0.5），f（0.25）B．（0，1），f（0.25）

C．（0.5，1），f（0.25）D．（0，0.5），f（0.125）

【解析】　∵f（0）<0，f（0.5）>0，∴f（0）·f（0.5）<0，故f（x）的一个零点x0∈（0，0.5），利用二分法，则第二次应计算f

＝f（0.25）．

【答案】　A

4．在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为（　　）

A．0.68　　　B．0.72C．0.7　　　D．0.6

【解析】　已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝

（0.64＋0.72），且f（0.68）＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．

【答案】　C

二、填空题

5．用二分法求方程lnx－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值，先取区间中点c＝

，则下一个含根的区间是________．

【解析】　令f（x）＝lnx－2＋x，∵f

（1）＝－1<0，f

（2）＝ln2>0，f

＝ln

－

＜0，∴下一个含根的区间是

.

【答案】　

6．若函数f（x）的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f（x）的零点所在区间为________．（只填序号）

①（－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞）

x

1

2

3

4

5

6

f（x）

136.123

15.542

－3.930

10.678

－50.667

－305.678

【解析】　∵函数f（x）的图象是连续不断的，且f

（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，

∴函数零点分别在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]内．

【答案】　③④⑤

7．用二分法求函数f（x）＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

f（1.6000）＝0.200

f（1.5875）＝0.133

f（1.5750）＝0.067

f（1.5625）＝0.003

f（1.5562）＝－0.029

f（1.5500）＝－0.060

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解（精确度到0.01）为________．

【解析】　注意到f（1.5562）＝－0.029和f（1.5625）＝0.003，

显然f（1.5562）·f（1.5625）＜0，区间的端点四舍五入都为1.56，故方程的一个近似解为1.56.

【答案】　1.56

三、解答题

8．求函数f（x）＝x3＋2x2－3x－6的一个正零点（精确度为0.1）．

【解】　f

（1）＝－6＜0，f

（2）＝4＞0，可取区间（1，2）作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

区间

中点

中点函数值

（1，2）

1.5

－2.625

（1.5，2）

1.75

0.2344

（1.5，1.75）

1.625

－1.3027

（1.625，1.75）

1.6875

－0.5618

（1.6875，1.75）

1.71875

－0.1707

由于|1.75－1.6875|＝0.0625＜0.1，

所以可将1.6875作为函数零点的近似值．

9．（xx·天津高一检测）借助计算机或计算器，用二分法求方程log2（x＋4）＝2x的一个正根的近似值．（精确度0.1）

【解】　令f（x）＝log2（x＋4）－2x，其零点为x0，

借助计算机作出函数f（x）的图象如图所示．

取正区间[1，2]，f

（1）≈0.322，f

（2）≈－1.415.

取区间[1，2]的中点x1＝1.5，

计算f（1.5）≈－0.369，

所以f

（1）·f（1.5）＜0，

所以x0∈（1，1.5）．

再取区间（1，1.5）的中点x2＝1.25，

计算f（1.25）≈0.014，

所以x0∈（1.25，1.5）．

同理可得x0∈（1.25，1.375），

x0∈（1.25，1.3125），

因为|1.3125－1.25|＝0.0625＜0.1，

故可取1.3125作为此函数的一个零点，

所以方程log2（x＋4）＝2x精确度到0.1的正根的近似值为1.3125.

1．（xx·合肥高一检测）函数f（x）＝2x＋m的零点落在（－1，0）内，则m的取值范围为（　　）

A．（－2，0）　　　　　　　　B．（0，2）

C．[－2，0]D．[0，2]

【解析】　由题意f（－1）·f（0）＝（m－2）m<0，∴0

【答案】　B

2．下列函数不宜用二分法求零点的是（　　）

A．f（x）＝x3－1B．f（x）＝lnx＋3

C．f（x）＝x2＋2

x＋2D．f（x）＝－x2＋4x－1

【解析】　因为f（x）＝x2＋2

x＋2＝（x＋

）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．

【答案】　C

3．（xx·广州高一检测）一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点（如图312所示），如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______次．

图312

【解析】　第1次取中点把焊点数减半为

＝32（个），第2次取中点把焊点数减半为

＝16（个），第3次取中点把焊点数减半为

＝8（个），第4次取中点把焊点数减半为

＝4（个），第5次取中点把焊点数减半为

＝2（个），第6次取中点把焊点数减半为

＝1（个），所以至多需要检测的次数是6.

【答案】　6

4．已知函数f（x）＝lnx＋2x－6.

（1）证明：

f（x）有且仅有一个零点．

（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于

.

【解】　

（1）因为函数y＝lnx，y＝2x－6在（0，＋∞）上都是增函数，

所以f（x）＝lnx＋2x－6在（0，＋∞）上是增函数，

所以f（x）至多有一个零点，

由f

（2）＝ln2－2＜0，f（3）＝ln3＞0，

所以f

（2）·f（3）＜0，

所以f（x）在（2，3）内至少有一个零点，

所以f（x）有且仅有一个零点．

（2）因为f

（2）＜0，f（3）＞0，

取x1＝

＝

，

f

＝ln

＋5－6＝ln

－1＜0，

所以f（3）·f

＜0，

所以f（x）的零点x0∈

.

取x2＝

＝

，

f

＝ln

＋2×

－6

＝ln

－

＞0，

所以f

·f

＜0，

所以x0∈

.

因为

＝

≤

，

所以满足题意的区间为

.