常微分方程第三版课后答案.docx
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常微分方程第三版课后答案
3t15t
=e（e+c）
5
=ce3t+15e2t是原方
程的解
ds
ds1
3．=-scost+sin2t
dt2
costdt13dt
解：
s=e（sin2tedtc）
=esint（sintcostesintdtc）
sintsintsint
=e（sinteec）
常微分方程习题2.2
求下列方程的解
1．dy=ysinxdx
解：
y=e（sinxedxc）
x1x
=ex[-ex（sinxcosx）+c]
=cesintsint1是原方程
的解。
4．dyxyexxn，n为常数.dxn
解：
原方程可化为：
dyxyexxndxn
=ce
（sinxcosx）是原
ye
ndxxx（exxe
nndx
nxdxc）
方程的解。
2．
dx+3x=e
2t
nx
x（e
c）
dt
解：
原方程可化为：
dx=-3x+e
dt
是原方程的解.
所以：
3dtx=e
e
2t
e3dt
5．dy+122xy1=0dxx2
dtc）
解：
原方程可化为：
dy
dx
1x22xy1
x
7.dy2y（x1）3
dxx1
解：
dy2y（x1）3dxx1
23
P（x）,Q（x）（x1）3x1
P（x）dxee
=（x+1）2（（x21）c）
即：
2y=c（x+21+）（x+14）为方程的通解。
8.ddyx=xyy3
3
dxx+y12解：
xy2
dyyy
P（y）dyP（y）dy
x=e
（eQ（y）dyc）
=y（1*y2dyc）
y
3
=ycy
2
3
即x=y+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。
2
9.dyayx1,a为常数
dxxx
解：
（Px）a,Q（x）x1
x
P（x）dxee
dx
方程的通解为：
y=
（x）dxP（x）dx
（eQ（x）dx
=x
a（
1x+1dx+c）
xa
0时，
x方程的通解为
11.dyxyx3y3
dx解：
dyxyx3y3
dx两边除以3yc）d3yxy2x3ydxdy2（xy2x3）
y=x+ln/x/+c
当
y=cx+xln/x/-1
当
a1时，
方程的通解为
a0，1时，方程的通解为
y=cx
ax1
+-
1-aa
dx令y2zdz2（xzx3）dx
P（x）2x,Q（x）2x3epxdxe2xdxex2方程的通解为：
z=
edx（edxQ（x）dxc）
10.xddxyyx3
解：
ddyx1xyx3
P（x）1,Q（x）
x
=e
=x
x（ex（2x3）dxc）
2
2cex1
故方程的通解为y：
2（x2cex1）1,且y0也是方程的解。
1dxeexdx
P（x）dx
方程的通解为：
y=
P（x）dxP（x）dx
P（x）dx（eP（x）dxQ（x）dx
13
x（x*x3dxc）
x
3
x3c
方程的通解为：
y=
x
3
x3c
4x
12.（ylnx2）ydx
x2lnx1
24
解：
dylnxy22ydxxx
dz2lnx
z
dxxx
2lnx
P（x）,Q（x）
x
方程的通解为：
P（x）dxP（x）dxzeP（x）dx（eP（x）dx
Q（x）dxc）
2x
c）dx
（
2
c2lnx1x
424
方程的通解为:
y（cx2lnx1）1,且y=0也是解。
424
13
2
2xydy（2y2x）dx
2
dy2yxy1
dx2xyx2y
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以
1，
y
令ey
dzeydydxdx
22
dzz223xz3zz22这是n=2时
dxxxx
ydy
dx
的伯努利方程。
两边同除以z2令1T
z
dT1dz
dxz2dx
P（x）=3
1dz31
22
zdxxzx
dT3T1
dxxx2
Q（x）=x2
令y2
dz2ydydxdx
由一阶线性方程的求解公式
dz
2y2
dxx
2z1
x
3dx13dx
Tex（2exdxc）
x2
P（x）=2
x
Q（x）=-1
由一阶线性方程的求解公式
ze
（e
dxx
dxc）
312
=x3（x2c）
2
113=xcx
2z（1x1cx3）1
2
ey（1x1cx3）1
2
=xx2c
1x2eyceyx3
2
y2xx2
12
x
2
3yxe
14dyey3x
dx
15
dy1
dxxyx3y3
两边同乘以
ey
eydy
dx
（ey）23xey
x2
dx33dyyxyx
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
x3
x
16y=ex+0y（t）dt
ddyxexy（x）
dx
dyx
ye
dx
P（x）=1Q（x）=ex
由一阶线
1dx
x3dy
y3
2y3
x
dz3dx
2x
dydy
性方程的求解公式
1dx
ye
x1dx
（exedxc）
=ex（exexdxc）
dz
dy
2y
2x
2y3
2yz2y3
P（y）=-2yQ（y）=2y3
由一阶线性方程的求解公式
2ydy32ydy
ze（2y3edyc）
22
=ey（2y3eydyc）
=ex（xc）
xxxx
ex（xc）exex（xc）dx
c=1
y=ex（xc）
习题2.3
2
x（y21cey）1
2y22y2y2
xe（y1ce）e
y22222
ey（1x2x2y2）cx2
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。
1.（x2y）dx（x2y）dy0
解：
My1，y
N=1
x
解：
则MNyx
所以此方程是恰当方程。
凑微分，
2
xdx2y（ydxd）y0dxy
得：
1xxyyC
3
2．（y3x2）dx（4yx）dy0
MN
1，1.
yx
则M
yx
所以此方程为恰当方程。
M2y（xy）22y2（xy）
（1）2xy
y（xy）（xy）3
22
N2x（xy）22x2（xy）2xy
43
x（xy）4（xy）3
则MN.
xy
因此此方程是恰当方程。
uy21
x（xy）2x
（1）
u1x2
yy（xy）2
（2）
对
（1）做x的积分，则
y21
u2dxdx（y）
（xy）2x
2
ydxxdy3xdx4ydy0
2
[（xy2y）2
11
1x]dx[1y（xy）2]dy0
对（3）做y的积分，则u
（1）y2（xy）2yd（y）y（xy）2dy
2xyy2d（y）
（xy）2dy
1x2
y（xy）2
d（y）1dyy
x2
6xy2dx4x3dx6x2ydy3y2dy0
3d（x
2243
2y2）d（x4）d（x3）0
得：
x4
3x2y2y3C
222
y22xy1x22xyy211（xy）2（xy）2y（xy）2y1
1
（y）
（1）dylnyy
y
222
yyyxyyyxy
ulnxlnyylnln
xyxxyxxy
方程的通解为
xy
lny
xxy
2322
2（3xy22x3）dx3（2x2yy2）dy0
解：
M12xy，
12xy.
则此方程为恰当方程。
5.（1sin
y
cosy-x
x
ycosy+1）dx+（1
x
sinx+12
yy
）dy=0
解：
M=
1
sin
x
-
y
2
ycos
+1
y
y
x
x
N=1
cos
y-
x
2
s
in
x
+
1
2
x
x
y
y
y
M=
1
x
x
x
1
2
sin
-
3
cos-
2
y
y
y
y
y
x
ycos
+y3
3
sin
y
x
x
x
N=
1
x
x
x
1
x
2
sin
-
3
cos-
2
y
y
y
y
x
ycos
+y3
sin
y
x
x
x
M
所以，，故原方程为恰当方程1sinxdx-yycos
x
ydx+dx+1
x
cosydy-x2sinxdy+12dy=0xy2yy2
d（-cosx）+d
y
（siny）+dx+d（-1）=0
xy
所以，d（siny-cosx+x-1）=0
xyy
故所求的解为siny-cosx+x
xy
-1=C
y
求下列方程的解：
22
6．2x（yex-1）dx+exdy=0
解：
M=2xex2,
y
N=2xex2
x
所以，M=N，故原方程
yx
为恰当方程
22
又2xyexdx-2xdx+exdy=0
2
所以，d（yex-x2）=0
2
故所求的解为yex-x2=C
7.（ex+3y2）dx+2xydy=0
解：
exdx+3y2dx+2xydy=0
exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0所以，dex（x2-2x+2）+d（x3y2）=0
即d[ex（x2-2x+2）+x3y2]=0故方程的解为ex（x2-2x+2）+
x3y2=C
8.2xydx+（x2+1）dy=0
解：
2xydx+x2dy+dy=0
d（x2y）+dy=0
即d（x2y+y）=0
故方程的解为x2y+y=C9、ydxxdyx2y2dx
解：
两边同除以x2y2得
ydxxdy
x2y2dx
即，darctgxdx
y
故方程的通解为
解：
方程可化为：
ydx2xdydx
x2
x
argtgxcy
10、ydxxy3dy0
解：
方程可化为：
ydx2xdyydy
y2
故方程的通解为：
ycx即：
yxcx
x
即，dydy
y
13、x2ydxxdy0
解：
这里Mx2y,Nx
方程有积
故方程的通解为：
x1y2c即：
2xyy2cy2
同时，y=0也是方程的解。
11、y1xydxxdy0
解：
方程可化为：
ydxxdy1xydx
dxy1xydx即：
dxydx
1xy
故方程的通解为：
ln1xyxc
12、yx2dxxdy0
MN
yx1
Nx
1dx
分因子exx
两边乘以得：
方程
xx2ydxx2dy0是恰当方程
故方程的通解为：
222
x22xydxx2x22xydxdyc
y
3
xx3yc
即：
x33x2yc
14
xcosxysinxydxxcosxydye0yycxxsxdxeyysxxocxdyi0
iso
为恰当方程
Mxcxyosxsyi,Nxcnxyo
MNcxyxsxyyx
故方程的通解为：
故通解为
s
eyycosxxsinx
eyycoxsxsinxdxdyc
o即：
eyisinxy1eycosxcn
16
x4ydx2xdyy33ydx5xdy0
xcosxysinxydxxcosxyxcosxy
ysinx解y：
dx两dy边c同乘以x2y得：
15
即：
xsinxyc
4x3y2dx2x4ydy3x2y5dx5x3ydy0
ycosxxsinxdxysinxxcosxdy
dx4y2dx3y50o
故方程的通解为：
这里
4235
xyxycons习题2.5
2．ydxxdyx2ydy
MN
yx1方程有积分因M子：
eey两边乘以得：
解：
两边同除以x2，得：
ydxxdy
2ydy
x
y12
dyc
x2
y1y2cx2
4．
dy
ydxxxy
解：
两边同除以x，得
ydyxdxy
1x
令yu
x
则dyu
dx
xdu
dx
即dxu
du
x
dx
1u
dy
dx
得到
c12lny2，
即x
yc
12lny
另外
y0也是方程的解。
6．xy1ydxxdy0
解：
ydxxdyxydx0
ydxxdy
2xdx
y
得到dx1x2c
y2
即x1x2cy2
另外y0也是方程的解。
8.
dyydxx
解：
令yu
x
uxdu
dx
1u2
即xddux
得到
du
2y
3
x
12
u
x
dx
11
故11c
ux
即1c12
yxx
另外y0也是方程的解。
10．xddyx1
ddyx
解：
令ddyxp
即x1p2
而ddyxp故两边积分得到
y1p2lnpc
2
因此原方程的解为
则1dydudxdx
那么ddyx
du1u
dx
du
u1
dx
1p2
x
p
，y1p2lnpc。
2
求得：
lnu1xc
12.
eyddyx
1
故方程的解为
lnxy1xc
解：
dy1
dx
xyxe
或可写为
x
xy1ce
令xyu
则1dydudxdx
dydu1
dxdx
u
xe1
16．
x1
1
2ey
解：
令eyu则ylnu
即deuu
e
xdx
x11du2u1udx
eu1x2c
2
故方程的解为
xy
e
1x2
14．ddyxxy1
解：
令xy1u
u2u1
du
1
x1
2u11cux1`
即方程的解为
eyxy2xc
18．
4x2y2dx2x3y1dy0
解：
将方程变形后得
dx
dy4x2y2
dx2x3y1
3
dx2x3y1x1dy4x2y22y4x2y2
同除以
x2得
2dxx3x
dy2y
1
4y2
zx3
dz
dy
3z3
2y4y2
32
2y
3
cy2
即原方程的解为
3322
xycy2
2
dy2dy
19.X（）22y（）4x0dxdx
2y（
x（ddyx）2
dx
dx
2
dyp,则yxp24xxp2x,两边对x求导得ppxdp22xdp
dx2p2p22dxp
（2pp2）（x22px2）ddpx,（2p2p）dx（2x2px2）dp0,（p34p）dx（xp24x）dp0
p（p24）dxx（p24）dp0p24或pdxxdp0,当p24时y2x,当pdxxdp0时,
x2
x24x
c
2x
2
c24,2ycc2x2
4.
p2dx
c
（ddyx）21解：
令dy
20.y2
psin,则y21（sin）21，
d
cos2
x
1dydy1sind
y,dx2d2
cospsinsincos2cos2
sec2dctgc所以方程的解为y2（xc）21,另外由p0得y1
c
x
21.（1ey）dxey
（1）dy0
y
解：
令xz则xyz,dxzydz方程为（1ez）dx（z1）ezdy,y
（z1）ez
1ez
xc
dx
dy
dydy
zezzzezzezdz1ezdy
zzzy,zdz
1ezdyzez
x
1ez
xlnzezlny,y（zez）c,y（xey）c所以方程的解为xyey
2xy23x2
22.3dx4dy0
yy
解：
2xydx（y23x2）dy0
MN
M2x,N6x,yx
yx2xy
323x2x2
2xy3dx（y24）dy0,d3yy
23.ydx（1xy2）dy0
8x
2xy
1
d
y
4所以方程有积分因子y
y4dyy4
0所以方程的解为x31c即x2y2cy3
yy
解：
ydxxdy（1y2）dy,两边同除以y2得ydx2xdy12ydy,dx2y2y
y2
y2dy
所以方程的解为x1yc即（x1）y（yc）,另外y0也是解。
yy
24.yx（x2y2）xdy0
解：
方程可化为ydx2xd2yxdx,darctgxxdx所以方程的解为arctg
x2y2yy
2
x2c.
2
dydy
25.dyedxx0dx
解：
令dypt,xtet由dypdx得yt（1et）dtctettetc
所以方程的解为xtet
t2
ettetc
2
dydy
25.edxx0dx
解：
令dypt则xtet由dypdx得yt（1et）dtctettetc
dx2
t2所以方程的解为：
xtet，yt（1et）dtct
2
ettetc
26（.2xyx2y
（x2y2）dy0
MN
解：
M2xx2y2,N2x,yx1所以方程有积分因子ex方程两边同乘ex得22
yxx2y2
d3exx2ydexy30所以方程的解为：
3exx2yexy3c
27.dy2x3y4
dx4x6y5
解
：
令
u2x3y
du
dy
u4
2323
，则
dx
dx
2u5
（2u
（1）2u
（1）u）du2xdx
分得
两边积
9ln
2x3y
22
7
即为方程的通解。
另外，
du7u22
dx2u5
2u5
dudx
7u22
917=dx
14u22=2dx
分得
14（3y3x）c
2
22
7u220，即2x3y0也
7
是方程的解。
28.
xddyx
y2x2y（y2x2）
解：
两边同除以x，方程可化为：
ddyxyx2xy（y2x2）
dxx
令yu，则
x
dux
dx
uu2ux2（u2x2x2）
即
du33
2x（uu），
dx
du
3
uu
2x3dx
1
2ceu
x4
222x
xycye
为方程的解。
dyyxy
29.e
dxx
解：
令exyu，则ylnu
x
那
1dulnulnu
22
uxdxxx即
du
2xdx
u2
两边积
12
x
2
xy
ec
即为方程的解。
dy
dx
xdu
lnu
udx
2
x
分得
dy4x32xy32x
dx3x2y26y53y2
解：
方程可化为
（4x32xy32x）dx（32x2y65y32y）dy0
42322363d（x4x2）（y3dx2x2dy3）d（y6y3）0
两边积分得
426323
xxyyxyc
4623x4x6c（x*21）（y31）
为方程的解。
dy1xy
32.30
dx1xy
方程可化为
2
31.y（xdxydy）x（ydxxdy）0
解：
方程可化为
y2xdxy3dyxydxx2dy0
dy
dx
3
1xy
3
1xy
两边同加上1，得
d（xy）
dx
xy（x2y2）
1x3y
*）
两边同
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