控制系统数字仿真第二章习题答案.docx
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控制系统数字仿真第二章习题答案
控制系统数字仿真与CAD第二章习题答案
2-1思考题：
（1）数学模型的微分方程，状态方程，传递函数，零极点增益和部分分式五种形式，各有什么特点？
（2）数学模型各种形式之间为什么要互相转换？
（3）控制系统建模的基本方法有哪些？
他们的区别和特点是什么？
（4）控制系统计算机仿真中的“实现问题”是什么含意？
（5）数值积分法的选用应遵循哪几条原则？
答：
（1）微分方程是直接描述系统输入和输出量之间的制约关系，是连续控制系统其他数学模型表达式的基础。
状态方程能够反映系统内部各状态之间的相互关系，适用于多输入多输出系统。
传递函数是零极点形式和部分分式形式的基础。
零极点增益形式可用于分析系统的稳定性和快速性。
利用部分分式形式可直接分析系统的动态过程。
（2）不同的控制系统的分析和设计方法，只适用于特定的数学模型形式。
（3）控制系统的建模方法大体有三种：
机理模型法，统计模型法和混合模型法。
机理模型法就是对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理的分析简化建立起来的各物理量间的关系。
该方法需要对系统的内部结构和特性完全的了解，精度高。
统计模型法是采用归纳的方法，根据系统实测的数据，运用统计规律和系统辨识等理论建立的系统模型。
该方法建立的数学模型受数据量不充分，数据精度不一致，数据处理方法的不完善，很难在精度上达到更高的要求。
混合法是上述两种方法的结合。
（4）“实现问题”就是根据建立的数学模型和精度，采用某种数值计算方法，将模型方程转换为适合在计算机上运行的公式和方程，通过计算来使之正确的反映系统各变量动态性能，得到可靠的仿真结果。
（5）数值积分法应该遵循的原则是在满足系统精度的前提下，提高数值运算的速度和并保证计算结果的稳定。
2-2.用matlab语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益、和部分分式形式的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式：
（1）G（s）=
（2）
=
y=[0202]X
（1）解：
（1）状态方程模型参数:
编写matlab程序如下
>>num=[172424];
>>den=[110355024];
>>[ABCD]=tf2ss（num,den）
得到结果：
A=
B=
C=
D=[0]
所以模型为:
=
X+
u,y=
X
（2）零极点增益:
编写程序>>num=[172424];
>>den=[110355024];
>>[ZPK]=tf2zp（num,den）
得到结果Z=-2.7306+2.8531,-2.7306-2.8531i,-1.5388
P=-4,-3,-2,-1
K=1
（3）部分分式形式:
编写程序>>num=[172424];
>>den=[110355024];
>>[RPH]=residue（num,den）
得到结果R=4.0000,-6.0000,2.0000,1.0000
P=-4.0000,-3.0000,-2.0000,-1.0000
H=[]
G（s）=
（2）解：
（1）传递函数模型参数：
编写程序>>A=[2.25-5-1.25-0.5
2.25-4.25-1.25-0.25
0.25-0.5-1.25-1
1.25-1.75-0.25-0.75]；
>>B=[4220]';
>>C=[0202];
>>D=[0];
>>[numden]=ss2tf（A,B,C,D）
得到结果
num=04.000014.000022.000015.0000
den=1.00004.00006.25005.25002.2500
（2）零极点增益模型参数:
编写程序>>A=[2.25-5-1.25-0.5
2.25-4.25-1.25-0.25
0.25-0.5-1.25-1
1.25-1.75-0.25-0.75]；
>>B=[4220]';
>>C=[0202];
>>D=[0];
>>[Z,P,K]=ss2zp（A,B,C,D）
得到结果Z=-1.0000+1.2247i-1.0000-1.2247i-1.5000
P=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i-1.5000-1.5000
K=4.0000
表达式
（3）部分分式形式的模型参数：
编写程序>>A=[2.25-5-1.25-0.5
2.25-4.25-1.25-0.25
0.25-0.5-1.25-1
1.25-1.75-0.25-0.75]；
>>B=[4220]';
>>C=[0202];
>>D=[0];
>>[numden]=ss2tf（A,B,C,D）
>>[R,P,H]=residue（num,den）
得到结果R=4.0000-0.00000.0000-2.3094i0.0000+2.3094i
P=-1.5000-1.5000-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i
H=[]
2-3.用欧拉法求下面系统的输出响应y（t）在0≤t≤1上，h=0.1时的数值。
要求保留4位小数，并将结果与真解
比较。
解：
欧拉法
（前向欧拉法,可以自启动）其几何意义：
把f（t,y）在[
]区间内的曲边面积用矩形面积近似代替。
利用matlab提供的m文件编程，得到算法公式。
如下所示
（1）m文件程序为h=0.1;
disp（'函数的数值解为'）;%显示‘’中间的文字%
disp（'y='）;%同上%
y=1;
fort=0:
h:
1
m=y;
disp（y）;%显示y的当前值%
y=m-m*h;
end
保存文件q2.m
在matalb命令行中键入>>q2
得到结果函数的数值解为
y=10.90000.81000.72900.65610.59050.53140.47830.43050.38740.3487
（2）另建一个m文件求解
在t
[0,1]的数值（%
是
的真解%）
程序为h=0.1;
disp（'函数的离散时刻解为'）;
disp（'y='）;
fort=0:
h:
1
y=exp（-t）;
disp（y）;
end保存文件q3.m
在matalb命令行中键入>>q3
函数的离散时刻解为
y=10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679
比较欧拉方法求解与真值的差别
欧拉
1
0.9000
0.8100
0.7290
0.6561
0.5905
0.5314
0.4783
0.4305
0.3874
0.3487
真值
1
0.9048
0.8187
0.7408
0.6703
0.6065
0.5488
0.4966
0.4493
0.4066
0.3679
误差
0
-0.0048
-0.0007
–0.0118
–0.0142
–0.0160
–0.0174
–0.0183
–0.0188
-0.0192
-0.0192
显然误差与
为同阶无穷小，欧拉法具有一阶计算精度，精度较低，但算法简单。
2-4用二阶龙格库塔法求解2-3的数值解，并于欧拉法求得的结果比较。
解：
我们经常用到预报-校正法的二阶龙-格库塔法，
此方法可以自启动，具有二阶计算精度，几何意义：
把f（t,y）在[
]区间内的曲边面积用上下底为
和
、高为h的梯形面积近似代替。
利用matlab提供的m文件编程，得到算法公式。
如下所示
（1）m文件程序为h=0.1;
disp（'函数的数值解为'）;
disp（'y='）;
y=1;
fort=0:
h:
1
disp（y）;
k1=-y;
k2=-（y+k1*h）;
y=y+（k1+k2）*h/2;
end
保存文件q4.m
在matlab的命令行中键入>>q4显示结果为
函数的数值解为
y=10.90500.81900.74120.67080.60710.54940.49720.45000.40720.3685
（2）比较欧拉法与二阶龙格-库塔法求解.（误差为绝对值）
真值
1
0.9048
0.8187
0.7408
0.6703
0.6065
0.5488
0.4966
0.4493
0.4066
0.3679
龙库
1
0.9050
0.8190
0.7412
0.6708
0.6071
0.5494
0.4972
0.4500
0.4072
0.3685
误差
0
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0006
0.0006
0.0007
0.0006
0.0006
明显误差为
得同阶无穷小，具有二阶计算精度，而欧拉法具有以阶计算精度，二阶龙格-库塔法比欧拉法计算精度高。
2-5．用四阶龙格-库塔法求解题2-3数值解，并与前两题结果相比较。
解：
四阶龙格-库塔法表达式
，其截断误差为
同阶无穷小，当h步距取得较小时，误差是很小的.
（1）编辑m文件程序h=0.1;
disp（'四阶龙格-库塔方法求解函数数值解为'）;
disp（'y='）;
y=1;
fort=0:
h:
1
disp（y）;
k1=-y;
k2=-（y+k1*h/2）;
k3=-（y+k2*h/2）;
k4=-（y+k3*h）;
y=y+（k1+2*k2+2*k3+k4）*h/6;
end保存文件q5.m
在matlab命令行里键入>>q5
得到结果四阶龙格-库塔方法求解函数数值解为
y=10.90480.81870.74080.67030.60650.54880.49660.44930.40660.3679
（2）比较这几种方法：
对于四阶龙格-库塔方法
真值
1
0.9048
0.8187
0.7408
0.6703
0.6065
0.5488
0.4966
0.4493
0.4066
0.3679
龙库
1
0.9048
0.8187
0.7408
0.6703
0.6065
0.5488
0.4966
0.4493
0.4066
0.3679
误差
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
显然四阶龙格-库塔法求解精度很高，基本接近真值。
三种方法比较可以得到
精度（四阶）〉精度（二阶）〉精度（欧拉）
2-6．已知二阶系统状态方程为
写出取计算步长为h时，该系统状态变量X=[
]的四阶龙格-库塔法递推关系式。
解：
四阶龙格-库塔法表达式
所以状态变量的递推公式可以写作：
A=
B=
可以写成
则递推形式
2-7单位反馈系统的开环传递函数已知如下
用matlab语句、函数求取系统闭环零极点，并求取系统闭环状态方程的可控标准型实现。
解：
已知开环传递函数，求得闭环传递函数为
在matlab命令行里键入>>a=[10];
>>b=[14.6];
>>c=[13.416.35];
>>d=conv（a,b）；
>>e=conv（d,c）
e=1.00008.000031.990075.21000
>>f=[0005100];
>>g=e+f
g=1.00008.000031.990080.2100100.0000
%以上是计算闭环传递函数的特征多项式%
>>p=roots（g）%计算特征多项式的根，就是闭环传递函数的极点%
p=
-0.9987+3.0091i
-0.9987-3.0091i
-3.0013+0.9697i
-3.0013-0.9697i
>>m=[5100];
>>z=roots（m）
z=-20%计算零点%
综上：
当闭环传函形如
时，可控标准型为：
；
所以可控标准型是
2-8用matlab语言编制单变量系统三阶龙格-库塔法求解程序，程序入口要求能接收状态方程各系数阵（A,B,C,D）,和输入阶跃函数r（t）=R*1（t）;程序出口应给出输出量y（t）的动态响应数值解序列
。
解：
m文件为：
functiony=hs（A,B,C,D,R,T,h）%T为观测时间,h为计算步长，R为输入信号幅值%
disp（'数值解为'）;
y=0;
r=R;
x=[0;0;0;0];
N=T/h;
fort=1:
N;
k1=A*x+B*R;
k2=A*（x+h*k1/3）+B*R;
k3=A*（x+2*h*k2/3）+B*R;
x=x+h*（k1+3*k3）/4;
y（t）=C*x+D*R;
end
在命令行里键入A=B=C=D=R=T=h=
y=hs（A,B,C,D,R,T,h）得到结果。
2-9．用题2-8仿真程序求解题2-7系统的闭环输出响应y（t）.
解：
A=
B=
C=
D=[0]
在命令行里键入>>A=[0100
0010
0001
-100-80.21-31.99-8];
>>B=[0001]';
>>C=[-100500];
>>D=[0];
>>T=1;
>>R=1;
>>h=0.01;
>>y=hs（A,B,C,D,R,T,h）
数值解为
0
8.3333e-007
5.8659e-006
1.8115e-005
3.9384e-005
7.0346e-005
。
。
。
。
%仅取一部分%
2-10.用式（2-34）梯形法求解试验方程
，分析对计算步长h有何限制，说明h对数值稳定性的影响。
解：
编写梯形法程序为
得到
稳定系统最终渐进收敛。
系统稳定则
计算得
。
h的选取不能超出上述范围，否则系统不稳定。
2-11如图2-27所示斜梁滚球系统，若要研究滚球在梁上的位置可控性，需首先建立其数学模型，已知力矩电机的输出转矩M与其电流i成正比，横梁为均匀可自平衡梁（即当电机不通电且无滚球时，横梁可处于
=0的水平状态），是建立系统的数学模型，并给出简化后系统的动态结构图。
解：
设球的质心到杆的距离为0，该系统为特殊情况下的球棒系统。
另令
分别表示棒的惯量、球的质量和球的惯量。
则球质心的位置和速度为
其中
，
。
因而动能的移动部分为
因而动能的移动部分为
球棒系统的旋转动能为
因而，系统总的动能
等于
其中
为常数。
此系统的拉格朗日方程组为
综合以上公式的系统的方程组为
设系统在平衡点附近
，
，
，则系统方程可化为
对上式进行拉普拉斯变换并化简后可得到
。
参考文献：
[1]Hauser,S.Sestry,andP.Kokotovic.“Nonlinearcontrolviaapproximateinput-outputlinearization”.IEEETrans.onAutomaticControl,vol.37:
pp.392-398,1992.
[2]R.Sepulchre.“Slowpeakingandlow-gaindesignsforglobalstabilizationofnonlinearsystems”.
submittedforIEEETAC1999.
[3]R.Sepulchre,M.Jankovic,andP.KokotovicConstructiveNonlinearControl.Springer-Verlag,1997.
[4]R.Teel.“UsingSaturationtostabilizeaclassofsingle-inputpartiallylinearcompositesystems”.IFACNOLCOS'92Symposium,pages369-374,June1992.
2-12如图2-28所示双水箱系统中，
为流入水箱1的液体流量，
为流出水箱2的液体流量，试依据液容与液阻的概念，建立
的系统动态结构图。
解：
根据液容和液阻的概念，可分别列出两个水箱的数学模型
对上式进行在零初始条件下进行拉普拉斯变换得
化简后可得
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