培优指数函数与对数函数.doc

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指数函数和对数函数

一、1．根式

（1）根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a⇒

（2）根式的性质

①（）n＝a（n∈N*）．②＝

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念：

①正分数指数幂：

a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；

②负分数指数幂：

a－＝＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

（2）有理数指数幂的运算性质：

①aras＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

过定点（0，1）

当x>0时，y>1；当x<0时，0

当x>0时，01；

在R上是增函数

在R上是减函数

二、对数

概念

如果ax＝N（a>0，a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN．其中a叫做对数的底数，N叫做真数

性质

底数的限制：

a>0，且a≠1

对数式与指数式的互化：

ax＝N⇒logaN＝x

负数和零没有对数,1的对数是零：

loga1＝0

底数的对数是1：

logaa＝1,对数恒等式：

alogaN＝N

运

算

性质

loga（M·N）＝logaM＋logaN

a>0，且a≠1，M>0，N>0

loga＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM（n∈R）

换

底公式

公式：

logab＝（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）

推广：

logambn＝logab；logab＝

　　2.对数函数的图象与性质

a>1

0

图象

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

R

过定点（1，0）

当x>1时，y>0

当0

当x>1时，y<0

当00

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

一、选择题

1.设函数，若对于任意实数x恒成立，则实数b的取值范围是（）

A．B．C．D．

2.函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时，=（）

A.B.C.D.

3.设1

（A）2，logba（B）2，logaba2（C）logab，logba（D）logab，logaba2

二、填空

4.已知a>0，f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）=_________。

5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是________________________.

6.先将函数f（x）=ln的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移1个单位，再作关于y=x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是。

7.已知函数y=log[ax2+2x+（a–1）]的值域是[0，+∞]），则参数a的值是。

三、解答题

8.已知定义域为R的函数是奇函数.

（1）求；

（2）判断函数的单调性（不必证明）

（3）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.

9.已知函数，函数的最小值为．

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数同时满足下列两个条件：

①；②当的定义域为时，值域为？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

10.函数在区间上恒有定义，求实数的取值范围．

11.（本题满分12分）已知函数，其中是大于0的常数

（1）设,判断并证明在内的单调性；

（2）当时，求函数在[2内的最小值；

（3）若对任意恒有，试确定的取值范围。

12.（12分）已知函数为奇函数，为常数.

（1）求的值；

（2）当时，是否存在最大值？

若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由；

（3）设函数，当为何值时，不等式在有实数解？

13.（12分）函数y=f（x）满足lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），

（1）求f（x）；

（2）求f（x）的值域；

（3）求f（x）的递减区间．

14.已知二次函数在区间[2，3]上有最大值4，最小值1.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）设.若在时恒成立，求的取值范围.

试卷答案

1.D

2.B

3.A

4.

5.或

6.y=ex

7.1–

8.解

（1）因为是R上的奇函数，所以

从而有…………………..3分

（2）由

（1）知

由的单调性可推知在R上为减函数…………………….3分

（3）解法一：

由

（1）知

由上式易知在R上为减函数，

又因是奇函数，从而不等式

等价于…….2分

因是R上的减函数，由上式推得

即对一切从而

………………………………………….…………2分

9.解析：

（1）由，知，令

．．．．．．．．．．．．1分

记，则的对称轴为，故有：

①当时，的最小值

②当时，的最小值

③当时，的最小值

综述，．．．．．．．．．．．．7分

（2）当时，．故时，在上为减函数．

所以在上的值域为．．．．．．．．．．．．．9分

由题，则有，两式相减得，又

所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．

10.解析：

设，则

在区间上恒有定义即在上恒成立．

当时，于上恒成立．

当时，的对称轴，在上单调增加，所以，

，

由，，所以．

当时，于上恒成立，则，

由，，得

，即；

由，得，

解得或，所以，或．

综上，．

11.解析：

（I）

，…………1分

  （II）证明：

由（I）知：

，令

  （III）对于[3，4]上的每一个x的值，不等式恒成立，

即：

恒成立…………10分

由（II）知：

在R上单调递增，

内单调递增，显然在[3，4]上递增，…………12分

，

 …………14分

12.

（1）增函数，用定义证明.

（2）设，当，时

由

（1）知在上是增函数

∴在上是增函数

∴在上的最小值为

（3）对任意恒有，即对恒成立

∴，而在上是减函数

∴，∴

13.

13考点：

对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）由lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），可得lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．lgy=3x（3﹣x），即可得出．

（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数，即可得出，

（3）由

（2）可知：

函数f（x）的递减区间为．

解答：

（1）∵lg（lgy）=lg3x+lg（3﹣x），

∴lg（lgy）=lg[3x（3﹣x）]，0＜x＜3．

∴lgy=3x（3﹣x），

∴f（x）=y=103x（3﹣x），x∈（0，3）．

（2）令u=3x（3﹣x）=+，在上单调递增，在上单调递减；而10u是增函数．

∴，

∴f（x）的值域为．

（3）由

（2）可知：

函数f（x）的递减区间为．

点评：

本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14.解：

（Ⅰ）∵

∴函数的图象的对称轴方程为

∴在区间[2，3]上递增。

依题意得

即，解得

∴

（Ⅱ）∵∴

∵在时恒成立，

即在时恒成立

∴在时恒成立

只需

令，由得

设

∵

当时，取得最小值0

∴

∴的取值范围为

略

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