四年级数学培优第21讲巧解追及问题.docx

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四年级数学培优第21讲巧解追及问题

第21讲巧解追及问题

巧点晴——方法和技巧

同向行走一慢一快的两个物体间先有一段距离，由于后者的速度快，在某一时刻后者追上前者，叫做追及问题，其数量关系式是：

速度差×追及时间=路程差

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点晴

【例1】小明、小强两人从B城去A城。

小明速度为每小时5千米，小强速度为每小时4千米。

小明出发时，小强已先走了4个小时。

小明走了10千米后，决定以每小时6千米的速度前进。

问几小时后小明追上小强？

分析小明10÷5×4=8（千米）

10（千米）D

4×4=16（千米）小强

如上图所示，小明出发时，小强先走了4小时，即小明和小强相距了4×4=16（千米），在图上表示为BC=16千米，小明走10千米，花了（10÷5=）2小时到达D点。

这一段时间，小强走了（4×2=）8千米到达E点。

这时候两人之间的距离就是图中线段DE的长，即：

8＋（16－10）=14（千米）到达E点。

这时候两人之间的距离就是图中线段DE的长，即：

8＋（16－10）=14（千米）。

问题转化为：

小明、小强两人相距14千米时，小明以每小时6千米的速度，小强以每小时行4千米的速度行走，问小明几小时后能追上小强？

因为小明每小时比小强多行：

6－4=2（千米），所以需要经：

14÷（6－4）=7（小时）追上小强。

解（4×4－10＋10÷5×4）÷（6－4）=7（小时）

答：

小明7小时后才能追上小强。

做一做1甲每小时行4千米，乙每小时行3千米。

甲动身时，乙已走出了9千米。

甲追乙3小时后，改以每小时5千米的速度追乙。

问再经几小时甲能追上乙？

【例2】王萍、李敏丽比赛跳绳，王萍每分钟跳72次，李敏丽每分钟跳60次，王萍迟跳1分钟，当王萍、李敏丽跳同样多次时，裁叛叫停。

问这时两人一共跳了多少次？

分析与解这道题实际上属于追及问题。

王萍迟跳1分钟，李敏丽已经选跳了60次。

王萍每分钟比李敏丽多跳（72－60=）12次，必须花（60÷12=）5分钟才可以赶上李敏丽。

王萍跳了：

72×5=360（次），两人一共跳了：

360×2=720（次）。

60×1÷（72－60）×72×2=720（次）

答：

两人一共跳了720次。

做一做2姐姐从家去学校，每分钟走50米。

妹妹从学校回家，每分钟走45米。

如果妹妹比姐姐早动身5分钟，那么姐妹两人同时到达目的地。

求从家到学校有多远。

【例3】上午8时，有一列货车以每小时50千米的速度从甲城开往乙城；上午10时，又有一列客车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城。

为了行驶的安全，列车间的距离应不少于10千米。

那么，货车最晚应在什么时刻停车让客车通过？

分析要求货车最晚在什么时候停车，就要先求出客车出发后追到与货车相距10千米处所需的时间。

从条件“货车8时出发，客车10时出发”，可以推出，货车开出2小时后，客车出发，也就是客车出发时，货车已行了：

50×2=100（千米），而货车要在客车距它至少还有10千米时就要停车进入叉道。

在客车出发到货车为让客车而停车的这段时间里，客车要比货车多行90（千米）。

由于客车每小时比货车多行：

60－50=10（千米），所以要求客车比货车多行90千米需要多少时间，也就是求90千米包含多少个10千米。

求出客车出发后追到与货车相距10千米处所需要的时间后，就可以求出货车停车的时刻。

解（50×2－10）÷（60－50）=9（小时）

10＋9=19

答：

货车最晚在19时（傍晚7时）停车。

做一做3上午7时，有一列货车以每小时50千米的速度从甲城开往乙城；上午9时又有一列客车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城。

为了行驶安全，列车间的距离应不小于10千米，问货车最晚应在什么时候停车让客车通过？

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】一列火车长150米，以每秒种16米的速度通过一座长1130米的大桥。

从车头上桥到车尾离桥共需多少时间？

分析

可以这样想，火车从车头上桥墩到车尾离开桥共经过的路程是：

150＋1130=1280（米）。

用火车行驶的路程除以火车的速度，就是火车从车头上桥到车尾离开所需要的时间。

解（150＋1130）÷16=80（秒）

答：

火车从车头上桥到车尾离开桥共需80秒。

做一做4一列火车车身长50米，以每秒16米的速度过一个山洞，用了8秒钟，问山洞长多少米？

【例5】两列火车行驶在同一方向的铁路上。

其中慢车车身长147米，车速为每秒18米；快车车身长201米，车速为每秒24米。

求快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间。

分析要解答本题首先要理解何时是追上，何时是完全超过。

根据题意，画图如下；

假设A是快车车头上一点，B是慢车车尾上一点，两车都从左向右行驶。

上图①表示快车已经追上慢车，但没有超过它（即车头与车尾在同一直线上）；上图②表示快车已经超过慢车（即车尾与车头在同一直线上）。

从上图①到上图②的过程就是火车的追及过程。

分析两图中的这一过程，不难发现：

从快车车头追上慢车，到快车车尾离开慢车，快车车头刚好比慢车车头多行两列车的车身长，这就是追及的路程。

追及时间=两车车身长（追及路程）÷两车的速度差。

这就是火车的追及问题的解答方法。

解（147＋201）÷（24－18）=58（秒）

答：

快车从后面追上到完全超过慢车需要58秒钟。

做一做5两艘客轮航行在同一航线上。

其中甲客轮全长90米，航速是每小时24千米；乙客轮全长120米，航速是每小时25.8千米。

求乙客轮从后面追上到完全超过甲客轮需要多少时间。

【例6】甲、乙二人练习跑步，如果乙让甲先跑20米，则乙需要跑10秒钟追上甲；如果乙让甲先跑3秒钟，则乙仅用6秒钟就能追上甲。

求甲、乙二人的速度。

分析根据题意，如果乙让甲先跑20米，然后乙出发追甲，这20米就是两人的路程差，乙用10秒钟追上甲是追及时间。

由路程差与追及时间可以求出甲、乙二人间的速度差，即：

20÷10=2（米/秒）。

如果乙让甲先跑3秒钟，则乙需要6秒钟追上甲，在这一追及过程中，追及时间为6秒，因此路程差等于12米。

这12米就是甲先跑3秒钟所跑过的路程，所以可求出甲的速度进而求出乙的速度。

解速度差：

20÷10=2（米/秒）

甲速：

2×6÷3=4（米/秒）

乙速：

4＋2=6（米秒）

答：

甲、乙两人的速度分别为4米/秒和6米/秒。

做一做6两名运动员在圆形跑道上练习长跑。

甲每分钟比乙多跑50米。

如果两人同时同地同向出发，则经过45分钟后甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，则经过5分钟后可相遇。

求甲、乙两人的速度。

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

【例7】上午8：

08小明骑车从家出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追小明，在离家4千米的地方追上了小明，然后爸爸回家，回家后又立即回头去追小明，在离家8千米处又追上了小明。

问这时是几时几分？

分析与解题中有两次追上小明，但路程

差、速度差、追及时间都没有直接告知。

要求几

时几分爸爸第二次追上小明，即是要求出追及时

间。

先根据题意画出线段图（如右图）。

从线段图中可看出，从爸爸第一次追上小明（B处）到第二次次追上小明（C处），小明走了：

8—4=4（千米），而爸爸骑车走了：

4×3=12（千米）。

爸爸骑车共行了16千米，所以，爸爸在同一时间（即8：

08到第二次相遇C处）应骑车行3×8千米，但爸爸实际只行了（4＋12=）16（千米），这相差的（24－16=）8千米是由于爸爸少骑了8分钟所造成的，所以，爸爸的速度是：

（24－16）÷8=1（千米/分钟）

爸爸骑车行16千米用了16分钟，因而从8点算起，

8＋8＋16=32（分钟）

答：

爸爸第二次追上小明时是8：

32。

做一做7早晨，小明背着书包去上学，走后不久，妈妈发现小明的铅盒忘在家里，立即去追小明，将铅笔盒交给小明后立即返回。

小明接到铅笔盒后经过10分钟到达学校，同时妈妈也正好返回到家中。

已知妈妈的速度是小明速度的2倍，那么小明从家里出来分钟的时候，妈妈才出发追小明。

巧练习——温故知新（二十一）

A级冲刺名校·基础点晴

1.小明步行上学，每分钟行75米。

小明离家12分钟后，爸爸骑自行车去追，每分钟行375米。

问爸爸出发多少分钟后能追上小明？

2.一队自行车运动员以24千米/小时的速度骑车从甲地到乙地。

2小时后一辆摩托车以56千米/小时的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地的中点处追上自行车运动员。

问甲、乙两地相距多远？

3.小明在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒。

这时从他后面开过来一列炎车，从车头到车尾经过他身旁共用了21秒。

已知火车全长336米，求火车的速度。

4.甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙；若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。

问两人每秒各跑多少米？

5.一列队伍长300米，前进的速度为1.5米/秒。

一个通讯员以4.6米/秒的速度从排尾跑到排头，再跑到排尾，问需要多少时间？

B级竞赛培优·更上层楼

6.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙多行6千米，中午12时甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。

问东、西两村相距多远？

7.一列慢车在上午9点钟以每小时40千米的速度由甲城开往乙城。

另有一列快车在上午9点30分以每小时56千米的速度也从甲城开往乙城。

根据我国铁路部的规定，同向行驶的两列火车之间的距离不能少于8千米。

问：

这列慢车最迟应该在什么时候停车让快车超过？

8.两名运动员在圆环形跑道上练习长跑。

甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙。

问如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？

9.小红于17时离校，以每分钟50米的速度步行回家。

小东于17时15分骑自行车从学校出发追赶小红，结果在离学校1000米处追上小红。

问小东骑自行车的速度是每分钟多少米？

10.圆环形跑道的周长是400米，甲、乙两人同地同时出发，甲按逆时针方向、乙按顺时针方向而行，2分钟后相遇。

如果两人同地同时按顺时针方向出发，10分钟后甲追上乙。

问甲每分钟行多少米？

乙每分钟行多少米？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11.早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去，两辆车的速度都是60千米/小时。

8点32分时，第一辆车行驶的路程是第二辆车的3倍。

到了8点39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2倍。

问第一辆车是什么时候开出的？

12.在森林里有一对兔子兄弟,弟弟先跑10步,然后哥哥开始追赶,若弟弟每跑4步哥哥跑3步,哥哥跑5步的跑离和弟弟跑7步的距离一样,那么哥哥能追上弟弟么?

如果能,哥哥跑多少步才能追上弟弟?

如果不能,请说明理由。

13.如下图，两辆电动小汽车在周长为360米的圆形跑道上不断行驶，甲车每分钟行驶20米。

甲、乙两车同时分别从相距90米的A，B两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B点时，甲车经过B点后恰好又回到A点，此时甲车立即返回（乙车经过B点继续行驶），问再过多少分钟与乙车相遇？

14.甲列车每秒行20米，乙列车每秒行14米，若两列车齐头并进，则甲车行40秒超过乙车；若两列车齐尾并进，则甲车行了30秒超过乙车。

甲列车和乙列车各长多少米？

15.龟兔进行1000米比赛，兔每分钟走40米，龟每分钟爬8米，兔每走5分钟歇25分钟。

问谁先到达终点？

巧总结

本节我的收获是：

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不足之处有：

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