完整版全国考研数学三真题.docx
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完整版全国考研数学三真题
2021年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?
数学三?
试题
一、选择题:
1—8小题．每题4分，共32分．
1．假设函数f（x）
1
cos
x
x
0在x0处连续，那么
ax
b,
x
0
〔A〕
ab
1
〔〕
ab
1
〔〕
ab0
〔〕
2
B
2
C
Dab2
2．二元函数z
xy（3
x
y）的极值点是〔
〕
〔A〕（0,0）
〔B〕（0,3）
〔C〕（3,0）
〔D〕（1,1）
3．设函数f（x）是可导函数，且满足f（x）f（x）
0，那么
〔A〕f
（1）
f（
1）
〔B〕f
（1）
f
（1）
〔C〕f
（1）
f
（1）
〔D〕f
（1）
f（
1）
4．假设级数
1
kln（1
1
收敛，那么k
〔
〕
sin
）
n2
n
n
〔A〕1
〔B〕2
〔C〕1
〔D〕2
5．设为n单位列向量，E为n阶单位矩阵，那么
〔A〕
E
T
不可以逆
〔〕
T不可以逆
B
E
〔C〕
E
2
T
不可以逆
〔〕
E2
T
不可以逆
D
2
0
0
2
1
0
1
0
0
6．矩阵A0
2
1
，B
0
2
0，C
0
2
0
，那么
0
0
1
0
0
1
0
0
2
〔A〕A,C相似，B,C相似
〔B〕A,C相似，B,C不相似
〔C〕A,C不相似，B,C相似
〔D〕A,C不相似，B,C不相似
7．设A,B，C是三个随机事件，且
A,C相互独立，B,C相互独立，那么A
B与C相互
独立的充分必要条件是〔
〕
第1页共16页
〔A〕A,B相互独立
〔B〕A,B互不相容
〔C〕AB,C
相互独立
〔D〕AB,C互不相容
8．设X1,X2,
Xn（n
2）为来自正态整体N（,1）的简单随机样本，假设
1n
Xi，那么
X
ni
1
以下结论中不正确的选项是〔〕
n
）2遵从
2分布
2
2分布
〔A〕
（Xi
〔B〕2Xn
X1遵从
i
1
n
X）2遵从2分布
）2遵从
2分布
〔C〕
（Xi
〔D〕n（X
i
1
二、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕
9．（sin3x2x2）dx．
10．差分方程yt12yt2t的通解为．
11．设生产某产品的平均本钱C（Q）1eQ，其中产量为Q，那么边缘本钱为.
12．设函数f（x,y）拥有一阶连续的偏导数，且df（x,y）yeydxx（1y）eydy，
f（0,0）0，那么f（x,y）
101
13．设矩阵A1
1
2
，1,
2,3为线性没关的三维列向量，那么向量组A1,A2,A3
0
1
1
的秩为
．
14．设随机变量X的概率分布为PX
2
1，PX1
a，PX3
b，假设EX
0，
2
那么DX
．
第2页共16页
三、解答题
15．〔此题总分值10分〕
x
求极限lim
xtetdt
0
3
x0
x
16．〔此题总分值10分〕
计算积分
y3
2dxdy，其中D是第一象限中以曲线y
x与x轴为界线的无界
x
2
4
）
D（1
y
地域．
17．〔此题总分值10分〕
求lim
n
k2ln1
k
n
k
1n
n
第3页共16页
18．〔此题总分值10分〕
方程
1
1
内有实根，确定常数k的取值范围．
ln（1x）
k在区间（0,1）
x
第4页共16页
19．〔此题总分值10分〕
设a0
1,a1
0,an1
1（nanan1）（n1,2,3）,，S（x）为幂级数
anxn的和函数
n
1
n0
〔1〕证明anxn的收敛半径不小于1．
n0
（2〕证明（1x）S（x）xS（x）0（x（1,1）），并求出和函数的表达式．
第5页共16页
20．〔此题总分值11分〕
设三阶矩阵A
1,
2,3有三个不同样的特色值，且3122.
〔1〕证明：
r（A）
2
；
〔2〕假设1
2,
3，求方程组Ax
的通解．
21．〔此题总分值11分〕
设二次型f（x1,x2,x3）2x12x22ax322x1x28x1x32x2x3在正交变换xQy下的标准形
为1y122y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
第6页共16页
22．〔此题总分值11分〕
设随机变量X,Y相互独立，且X的概率分布为PX0P{X2}1，Y的概率密度
2
2y,0y1
为f（y）．
0,其他
（1〕求概率P〔YEY〕；
（2〕求ZXY的概率密度．
第7页共16页
23．〔此题总分值11分〕
某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n次测量，该物体的质
量是的，设n次测量结果X1,X2,
Xn相互独立且均遵从正态分布N（
2）.该工
程师记录的是
n
次测量的绝对误差
（
1,2,,），利用
估计参数
Zi
Xii
n
Z1,Z2,,Zn
．
（1〕求Zi的概率密度；
（2〕利用一阶矩求的矩估计量；
（3〕求参数最大似然估计量．
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2021年全国硕士研究生入学一致考试真题试卷?
数学三?
试题答案
一、选择题:
1—8小题．每题
4分，共32分．
1
cosx
1x
1，lim
1．解：
lim
f（x）
lim
lim
2
f（x）
b
f（0），要使函数在x0
x0
x0
ax
x0ax2a
x0
处连续，必定满足
1
b
ab
1．所以应入选〔A〕
2a
2
2．解：
z
y（3
x
y）
xy
3y
2xy
y2，z
3x
x2
2xy，
x
y
2z
2y,
2z
2x,
2z
2z
3
2x
x2
y2
x
y
y
x
z
3y
2xyy2
0
解方程组
x
，得四个驻点．对每个驻点考据AC
B2，发现只有在点
z
3x
x2
2xy
0
y
（1,1）处满足AC
B2
3
0，且A
C
2
0，所以
（1,1）为函数的极大值点，所以应该
选〔D〕
3．解：
设g（x）
（f（x））2，那么g（x）
2f（x）f
（x）
2
是单调增加函数．也
0，也就是f（x）
2
f（
2
f
（1）
f（
1），所以应入选〔C〕
就获取f
（1）
1）
4．
1
1
1
2
1
1k1
1
解：
iv
n
kln（1
111
o
（1
时sinn
n）
nk
n
2
n
n2
k）n
2n2o
n2
显然当且仅当（1
k）
0，也就是k
1时，级数的一般项是关于1
的二阶无量小，级数
n
收敛，从而选择〔C〕．
5．解：
矩阵
T的特色值为1和n
1个0，从而E
T,E
T,E2
T,E2
T的
特色值分别为0,1,1,
1；2,1,1,
1；1,1,1,
1；3,1,1,,1．显然只有E
T存在零特
征值，所以不可以逆，应入选〔A〕．
第9页共16页
6．解：
矩阵A,B的特色值都是
1
22,
3
1．可否可对解化，只需要关心
2的情
况．
0
0
0
关于矩阵A，2E
A
0
0
1
，秩等于
1，也就是矩阵A属于特色值
2存在两
0
0
1
个线性没关的特色向量，也就是可以对角化，也就是
A~C．
0
1
0
关于矩阵B，2E
B
0
0
0
，秩等于
2，也就是矩阵A属于特色值
2只有一
0
0
1
个线性没关的特色向量，也就是不可以对角化，自然
B,C不相似应选择〔B〕．
7．
解：
P（（A
B）C）P（AC
AB）
P（AC）
P（BC）
P（ABC）
P（A）P（C）P（B）P（C）
P（ABC）
P（AB）P（C）（P（A）
P（B）
P（AB））P（C）
P（A）P（C）
P（B）P（C）P（AB）P（C）
显然，A
B与C相互独立的充分必要条件是
P（ABC）
P（AB）P（C），所以选择〔C〕．
8．
解：
〔1〕显然（Xi
）~N（0,1）
（Xi
）2
~
2
（1）,i1,2,
n且相互独立，所以
n
）2
2（n）分布，也就是〔A〕结论是正确的；
（Xi
遵从
i1
n
2
2
（n
2
2
〔2〕
（Xi
X）
（n
1）S
1）S
（n
1）
，所以〔C〕结论也是正确的；
2
~
i
1
〔3〕注意
1
n（X
）~N（0,1）
n（X
2
~
2
〕结论也是
X~N（,）
）
（1），所以〔D
n
正确的；
〔4〕关于选项〔B〕：
（Xn
X1）~N（0,2）
Xn
X1~N（0,1）
1（XnX1）2~
2
（1），所
2
2
以〔B〕结论是错误的，应入选择〔B〕
第10页共16页
二、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上〕
（sin3x
2
x2）dx
2
x2dx
3
9．解：
由对称性知
2
．
0
2
10．解：
齐次差分方程yt1
2yt
0的通解为y
C2x；
设yt12yt2t的特解为yt
at2t
，代入方程，得a
1；
1
2
所以差分方程yt
1
2yt
2t的通解为y
C2t
t2t.
2
11．解：
答案为
1
（1
Q）eQ．
平均本钱C（Q）
1
eQ，那么总本钱为C（Q）
QC（Q）
QQeQ，从而边缘本钱为
C（Q）1（1Q）eQ.
12．解：
df（x,y）
yeydxx（1y）eydy
d（xyey），所以f（x,y）
xyey
C，由f（0,0）
0，
得C0，所以f（x,y）
xyey．
1
0
1
1
0
1
1
0
1
13．解：
对矩阵进行初等变换
A
1
1
2
0
1
1
0
1
1，知矩阵A的秩
0
1
1
0
1
1
0
0
0
为2，由于1,
2,
3为线性没关，所以向量组A
1,A
2,A3的秩为2．
14．解：
显然由概率分布的性质，知
ab
1
1
2
1
1
1
EX
a
3ba3b1
0，解得a
21
b
4
2
9，DXEX2
9．
4
EX2
2a9b
E2（X）
2
2
三、解答题
15．〔此题总分值10分〕
解：
令xt
u，那么t
x
u,dt
du，
x
tetdt
x
uexudu
0
x
0
x
t
x
x
u
x
u
x
x
tedt
e
ue
du
ue
du
xe
2
lim
lim
0
lim
0
0
lim
x0
x3
x0
x3
x0
x3
x0
3
x
3
2
16．〔此题总分值10分〕
第11页共16页
解：
y
3
x
y
3
y4）2dxdy
dx
y4）2dy
D（1x2
0
0（1x2
1
x
d（1
x2
y4）
40
dx
（1
x2
y4）2
0
1
1
1
dx
1
2
40
1x2
12x2
8
2
17．〔此题总分值10分〕
解：
由定积分的定义
n
k
ln
k
lim
1n
k
lim
2
1
ln1
n
1n
n
n
nk1
n
k
1
1
x）dx
2
2
ln（1
0
k
1
n
xln（1x）dx
0
1
4
18．〔此题总分值10分〕
解：
设
f（x）
1
1
（0,1）
，那么
ln（1
x）
x
x
f（x）
1
1
（1
x）ln2（1x）
x2
（1
x）ln2（1
x）
x2
x2（1
x）ln2（1
x）
令g（x）
（1
x）ln2（1
x）
x2，那么g（0）
0,g
（1）
2ln22
1
g（x）
ln2（1
x）
2ln（1
x）
2x,g（0）
0
g（x）
2（ln（1
x）
x）
0,x
（0,1），所以g（x）在（0,1）
上单调减少，
1
x
由于g
（0）
0
，所以当x（0,1）
时，g（x）g
0）
0，也就是g（x）g（x）在（0,1）上单调减
少，当
x（0,1）时，g（x）
g（0）
0，进一步获适当
x（0,1）时，f（x）
0，也就是f（x）在
（0,1）上单调减少．
lim
f（x）
lim
1
1
lim
x
ln（1
x）
1
，f
（1）
1
1，也就是获取
升级会员 