全国硕士研究生入学统一考试数学二真题.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题
（总分：
150.00，做题时间：
180分钟）
一、选择题（总题数：
10，分数：
50.00）
1.当x→0时，
时x7的（ ）。
（分数：
5.00）
A.低阶无穷小
B.等价无穷小
C.高阶无穷小 （正确答案）
D.同阶但非等价无穷小
解析：
因为当x→0时，
正确答案为C。
2.函数
在x=0处（ ）。
（分数：
5.00）
A.连续且取极大值
B.连续且取极小值
C.可导且导数为0
D.可导且导数不为0 （正确答案）
解析：
3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，-3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）。
（分数：
5.00）
A.
125π3cm/s，40πcm2/s
B.
125π3cm/s，-40πcm2/s
C.
-100π3cm/s，40πcm2/s
（正确答案）
D.
-100π3cm/s，-40πcm2/s
解析：
4.设函数f（x）=ax-blnx（a＞0）有两个零点，则（ ）。
（分数：
5.00）
A.（e,+∞） （正确答案）
B.（0,e）
C.
D.
解析：
5.设函数f（x）=secx在x=0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则（ ）。
（分数：
5.00）
A.
B.
C.
D.
（正确答案）
解析：
6.设函数f（x,y）可微，且f（x+1，ex）=x（x+1）2，f（x,x2）=2x2lnx，则df（1,1）=（ ）。
（分数：
5.00）
A.dx+dy
B.dx-dy
C.dy （正确答案）
D.-dy
解析：
7.设函数f（x）在区间[0,1]上连续，则
（ ）。
（分数：
5.00）
A.
B.
（正确答案）
C.
D.
解析：
由定积分的定义知，将[0,1]分成n份，取中间点的函数值，则
8.二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）。
（分数：
5.00）
A.2,0
B.1,1 （正确答案）
C.2,1
D.1,2
解析：
f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（x2+x3）2-（x3-x1）2=2x22+2x1x2+2x2x3+2x1x3
令上式等于零，故特征值为-1，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1。
故应选B。
9.设3阶矩阵A（α1，α2，α3），B=（β1，β2，β3），若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2，β3线性表出，则（ ）。
（分数：
5.00）
A.Ax=0的解均为Bx=0的解
B.
ATx=0的解均为BTx=0的解.
C.Bx=0的解均为Ax=0的解
D.
BTx=0的解均为ATx=0的解
（正确答案）
解析：
令A（α1，α2，α3），B=（β1，β2，β3），由题α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，即存在矩阵P，使得BP=A，则当BTx0=0时，ATx=0=（BP）Tx0=PTBTx0=0恒成立，即选D。
10.已知矩阵
若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ为对角矩阵，则P，Q可以分别取（ ）。
（分数：
5.00）
A.
B.
C.
（正确答案）
D.
解析：
二、填空题（总题数：
6，分数：
30.00）
11.
________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
12.设函数y=y（x）由参数方程
________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
13.设函数z=z（x,y）由方程（x+1）z+ylnz-arctan（2xy）-1确定，则
=________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
1
）
解析：
14.已知函数
________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
15.微分方程y"-y=0的通解y=________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
）
解析：
16.多项式
中x3项的系数为________。
（分数：
5.00）
填空项1:
__________________ （正确答案：
-5
）
解析：
所以展开式中含x3项的有-x3，-4x3，即x3项的系数为-5。
三、解答题（总题数：
6，分数：
70.00）
17.求极限
（分数：
10.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
18.
（分数：
12.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
19.
L的弧长为s，L绕x轴旋转一周所形成的曲面的面积为A，求s和A。
（分数：
12.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
函数y=y（x）的微分方程xy'-6y=-6，满足
=10。
（分数：
12）
（1）.求y（x）。
（分数：
5）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
（2）.P为曲线y=y（x）上的一点，曲线y=y（x）在点P的法线在y轴上的截距为 Iy，为使Iy最小，求P的坐标。
（分数：
7）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
20.
（分数：
12.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
）
解析：
21.设矩阵
仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵。
（分数：
12.00）
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（
当b=3时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则
当b=1时，由A相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则
）
解析：
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