1998年全国考研数学二真题Word格式.doc

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计算积分.

七、（本题满分6分）

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式.

八、（本题满分8分）

设是区间上的任一非负连续函数.

（1）试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在上以为曲边的梯形面积.

（2）又设在区间内可导,且,证明

（1）中的是唯一的.

九、（本题满分8分）

设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.

十、（本题满分8分）

设是一向上凸的连续曲线,其上任意一点处的曲率为,且此曲线上点处的切线方程为,求该曲线的方程,并求函数的极值.

十一、（本题满分8分）

设,证明：

（1）

（2）

十二、（本题满分5分）

设,其中是4阶单位矩阵,是4阶矩阵的转置矩阵,

求.

十三、（本题满分8分）

已知,问：

（1）取何值时,不能由线性表示？

（2）取何值时,可由线性表示？

并写出此表达式.

数学二试题答案

（1）

【答案】

【解析】方法1：

用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,

原式

.

方法2：

采用洛必达法则.

方法3：

将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项,

,

从而原式

（2）

【分析】求曲线与轴围成的图形的面积,应分清楚位于轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与轴交点.

【解析】与轴的交点,即的根为

当时,；

当时,,从而

（3）

【解析】因为,所以

.

（4）

【解析】作积分变量代换,

【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：

若,,均一阶可导,则

（5）

【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.

由曲线方程知,铅直渐近线可能在两处：

及,但题设,所以不予考虑,考虑的情况.当时,

所以无铅直渐近线；

因

故无水平渐近线.

再考虑斜渐近线:

（时,）

所以有斜渐近线.

【相关知识点】1.铅直渐近线：

如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；

水平渐近线：

当,则为函数的水平渐近线.

斜渐近线：

若有存在且不为,则为斜渐近线.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.）

（D）

【解析】方法1:

直接利用无穷小量的性质可以证明（D）是正确的.

由及可知为两个无穷小之积,故亦为无穷小,应选（D）.

方法2:

排除法.

（A）的反例:

满足题设,但不发散；

（B）的反例:

满足,但不是有界数列；

（C）的反例:

有界数列,满足,但不是无穷小；

排除掉（A）、（B）、（C）,故选（D）.

（B）

【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.,当时可导,因而只需在处考察是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.

由

即在处可导.又

所以在处不可导.

类似,函数在处亦不可导.因此只有2个不可导点,故应选（B）.

评注：

本题也可利用下列结论进行判断：

设函数,其中在处连续,则在处可导的充要条件是.

（A）

【解析】由有

令得是的高阶无穷小,则,

即.

分离变量,得

两边积分,得,即

代入初始条件得所以,.

故

【相关知识点】无穷小的比较：

设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限,

（1）若称在该极限过程中为同阶无穷小；

（2）若称在该极限过程中为等价无穷小,记为；

（3）若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为.

若不存在（不为）,称不可比较.

（C）

【解析】由是的极大点,知存在,当时,,即.因此,

当时,

当时,.

所以,（A）与（B）都不正确.

已知在处连续,由函数在一点连续的定义可知,,再由极限四则运算法则可得

应选（C）.

【解析】对任何阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的阶矩阵自然也要成立.那么,当可逆时,由,有

故应选（B）.

一般地,若,有,那么矩阵的第行列元素的代数余子式为

即中每个元素的代数余子式恰好是相应元素的代数余子式的倍,因而,按伴随矩阵的定义知的元素是对应元素的倍.

【相关知识点】1.行列式的性质：

若是阶矩阵,则

2.矩阵可逆的充要条件是,且.

【分析】由间断点的定义可知,函数无定义的点一定是间断点,故可以先找出函数无定义的点,再讨论判断出间断点的类型.

【解析】在区间内的间断点为无定义的点,即各点.

在处,；

在处,,故为的第二类间断点；

在处,,但相应的函数值在该点无定义,故在处为可去间断点.

【相关知识点】设,则.

2.函数的间断点或者不连续点的定义：

设函数在点的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点.

（1）在没有定义；

（2）虽在有定义,但不存在；

（3）虽在有定义,且存在,但

3.通常把间断点分成两类：

如果是函数的间断点,但左极限及右极限都存在,那么称为函数的第一类间断点；

不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.

【分析】解决这类问题,原则上与求极限差不多,但是因为其中含有某些参数,比如在用洛必达法则前,极限是否为“”型或“”型,要先行讨论,通过讨论,有时就可以推断出其中参数的特点,然后再求极限,这是一类常考的题目.

【解析】当时,又由题设所以应有（否则与矛盾）,从而只有,因此满足洛必达法则的条件,用洛必达法则求其极限.

（当时,）

如果,则右边极限为,与原设左边矛盾,故,于是上述等式成为

所以最后得．

【解析】方法１：

由,有

代入原方程,得

.（*）

先求其相应齐次方程的通解,由于其特征方程为,则特征方程的根为.所以通解为（为任意常数）.

再求非齐次方程的特解,特解应具有形式,代入（*）式,得

解得,,因此.

故（*）的通解为

（为任意常数）.

所以,原微分方程的通解为

方法２：

由,于是

原方程化为（以下与方法１相同）．

【相关知识点】两函数乘积的求导公式：

【解析】当时,被积函数的极限,即是被积函数的无穷间断点,故所给的是广义积分.

其中,

求：

设则,

于是,.

【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点,铅直向下作为轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：

浮力的大小：

；

阻力：

则由牛顿第二定律得

（*）

由,代入（*）得与之间的微分方程

分离变量得,

两边积分得,

（第一类换元法）

.

再根据初始条件即

故所求与函数关系为

【解析】

（1）要证,使；

令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理：

又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,,使.

（2）由,知在内单调增,故

（1）中的是唯一的.

若直接对使用零点定理,会遇到麻烦：

当时,对任何的结论都成立；

当时,但,若,则难以说明在内存在.当直接对用零点定理遇到麻烦时,不妨对的原函数使用罗尔定理.

【相关知识点】1.罗尔定理：

如果函数满足

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间内可导；

（3）在区间端点处的函数值相等,即,

那么在内至少有一点（）,使得.

12x

（2,1）

O

y

1

【解析】先求切线方程：

处的切线为

以代入切线方程,解得,

切线方程为.（见右图）

由曲线段绕轴的旋转面面积

而由曲线段绕轴的旋转面面积

由此,旋转体的表面积为

【解析】由题设及曲率公式,有

（因曲线向上凸,）,化简得.

改写为,

解得.

由题设,曲线上点处的切线方程为,可知.

以代入上式,得.于是有,故有

（上式中注明区间是的原因：

本题中使正切函数有意义的区间有很多,一般可以写成,本题选择是因为题设曲线在处有值,又已知曲线是一条连续曲线,因此解的范围应该包含在内并且使连续的一个区间.）

再积分得

又由题设可知,代入确定,于是所求的曲线方程为

由于且在定义域内是增函数,所以当且仅当时,即时取得最大值,由于,所以此时也是取极大值,极大值为；

显然在没有极小值.

【相关知识点】曲线在其上任意一点处的曲率公式：

【分析】不等式的证明一般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大（小）值来证明.

（1）方法1：

利用单调性证明.

令则

在内单调递增,；

在内单调递增,,

即.

改写原不等式,当时,,故可在不等式两边同时除以,有

两边开平方,.

令,

故函数在区间上单调减少,由,可知当时,,即

从而原不等式成立,证毕.

由方法1,已证

于是由的1阶麦克劳林公式（拉格朗日余项）有

即,证毕.

（2）令

由

（1）,在单调减,而,且

故即证毕.

【解析】由矩阵运算法则,将等式两边左乘,得

即.

对上式两端取转置,有.

由可逆矩阵及逆矩阵的定义,可知矩阵均可逆,因为是4阶方阵,故

.

【分析】能由（不能由）线性表出为列向量的非齐次线性方程组有解（无解）,从而将线性表出的问题转化为方程组解的情况的判定与求解.

【解析】令,作方程组,并对此方程组的增广矩阵进行初等变换：

其中,变换：

将第1行乘以-4加到第2行,再将第1行乘以-2加到第4行；

变换：

第2行加到第1行,再将第2行乘以-1加到第4行,最后3,4行互换.

由非齐次线性方程组有解的判定定理,可得

（1）当时,线性方程组无解,此时不能由线性表出.

（2）当时,,线性方程组有唯一解,下面求此唯一解.

由以上增广矩阵变换可得线性方程组的同解方程组为

解得唯一解为.故能由线性表出为

（3）当时,,线性方程组有无穷多解.求齐次线性方程组的基础解系.

齐次线性方程组的同解方程组为

基础解系所含向量的个数为,选为自由未知量,取,解得基础解系为.取,解得的一个特解为,则由非齐次线性方程组解的结构可知,方程组的通解为

是任意常数.

则能由线性表出,且表示法为无穷多（常数可以任意）,且

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设是矩阵,方程组,则

（1）有唯一解

（2）有无穷多解

（3）无解不能由的列向量线性表出.

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