最新新人教版六年级数学上册各单元知识点归纳57467.docx
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最新新人教版六年级数学上册各单元知识点归纳57467
人教版六上数学各单元知识点归纳
第一单元分数乘法
一、分数乘法
（一）分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。
都是求几个相同加数的和的简便运算。
例如：
65×5表示求5个65的和是多少?
×5表示求5个
的和是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
例如：
×
表示求
的
是多少。
4×
表示求4的
是多少.
（二）、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：
分子与整数相乘的积做分子，分母不变。
（整数和分母约分）
2、分数与分数相乘：
用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
注意：
当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。
（尽量约分，不会约分的就不约，常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）
4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把小数化分数再计算）。
（三）、乘法中比较大小的规律
一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。
一个数（0除外）乘1，积等于这个数。
（四）、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律：
a×b=b×a
乘法结合律：
（a×b）×c=a×（b×c）
乘法分配律：
（a+b）×c=ac+bc
二、分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法），即求单位“1”的几分之几是多少）
1、画线段图：
（1）两个量的关系：
画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段的左边要对齐。
（2）部分和整体的关系：
画一条线段图。
2、找单位“1”：
单位“1”在分数句中分数的前面；或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧：
（1）“的”相当于“×”，“占”、“相当于”“是”、“比”相当于“=”
（2）分数前是“的”字：
用单位“1”的量×分数=具体量
例如：
甲数是20，甲数的
是多少？
列式是：
20×
4、看分数前有没有多或少的问题；分数前是“多或少”的关系式：
（比少）：
单位“1”的量×（1-分数）=具体量；
例如：
甲数是50，乙数比甲数少
，乙数是多少？
列式是：
50×（1-
）
（比多）：
单位“1”的量×（1+分数）=具体量
例如：
小红有30元钱，小明比小红多
，小红有多少钱？
列式是：
50×（1+
）
3、求一个数的几倍是多少：
用一个数×几倍；
4、求一个数的几分之几是多少：
用一个数×几分之几。
5、求几个几分之几是多少：
用几分之几×个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：
（1）、单位“1”的量×（1-分数）=另一个部分量（建议用）
（2）、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
例如：
教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其中”）
第二单元位置与方向
（二）
1、确定物体位置的方法：
1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、最后确定距离（看比例尺）
2、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
3、位置关系的相对性：
1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。
4、相对位置：
东--西；南--北；南偏东--北偏西。
第三单元分数除法
三、倒数
1、倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数。
强调：
互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）。
2、求倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：
交换分子分母的位置。
（2）、求整数的倒数：
把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
（3）、求带分数的倒数：
把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）、求小数的倒数：
把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1；因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，（分母不能为0）
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
5、运用，a×
=b×
求a和b是多少。
把a×
=b×
看成等于1,也就是求
的倒数和求
的倒数。
1、分数除法的意义：
乘法：
因数×因数=积
除法：
积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。
例如：
÷
意义是：
已知两个因数的积是
与其中一个因数
，求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、分数除法比较大小时的规律：
（1）当除数大于1，商小于被除数;
（2）当除数小于1（不等于0），商大于被除数;
（3）当除数等于1，商等于被除数。
一个数（0除外）除以一个真分数，所得的商大于它本身。
一个数（0除外）除以一个假分数，所得的商小于或等于它本身。
一个数（0除外）除以一个带分数，所得的商小于它本身。
“[]”叫做中括号。
一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
1，解法：
（1）方程：
根据数量关系式设未知量为X（一般把单位1设为X），用方程解答。
解：
设未知量为X（一定要解设）,再列方程用X×分数=具体量
例如：
公鸡有20只，是母鸡只数的
，母鸡有多少只。
（单位一是母鸡只数，单位一未知.）解：
设母鸡有X只。
列方程为：
X×
=20
（2）算术（用除法）：
单位“1”的量未知用除法：
即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。
分数对应量÷对应分数=单位“1”的量
如：
公鸡有20只，是母鸡只数的
，母鸡有多少只。
（单位一是母鸡只数，单位一未知，）用除法，列式是：
20÷
2、看分数前有没有比多或比少的问题；
分数前是“多或少”的关系式：
（比少）：
具体量÷（1-分数）=单位“1”的量；
例如:
桃树有50棵，比苹果树少
，苹果树有多少棵。
列式是：
50÷（1-
）
（比多）：
具体量 ÷（1+分数）=单位“1”的量
例如:
一种商品现在是80元，比原价增加了
，原价多少？
列式是：
80÷（1+
）
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少：
用一个数除以另一个数，结果写为分数形式。
例如:
男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。
列式是：
15÷20=
=
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：
用两个数的相差量÷单位“1”的量=分数
即①求一个数比另一个数多几分之几：
用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。
例如：
5比3多几分之几？
（5－3）÷3=
②求一个数比另一个数少几分之几：
用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为分数形式。
例如：
3比5少几分之几？
（5－3）÷5=
说明：
多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。
5、工程问题：
把工作总量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷工作效率和，即1÷（
+
），（工作效率=
）
例如：
一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成，甲单独做要3天完成，三人合做几天可以完成？
列式：
1÷（
+
+
）
第四单元比
（一）、比的意义
1、比的意义：
两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
例如15：
10=15÷10=
（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）
15 ∶ 10 ＝
前项比号后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。
例：
长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。
例：
路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：
表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：
相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比
前 项
比号“：
”
后 项
比值
除 法
被除数
除号“÷”
除 数
商
分 数
分 子
分数线“—”
分 母
分数值
7、比和除法、分数的区别：
除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2：
0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
10、求比值：
用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）
例如：
15∶10 ＝15÷10＝
＝
（二）、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。
比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
2、最简整数比：
比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①两个整数比：
用比的前项和后项同时乘分母的最大公因数。
②两个分数比：
用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法化简。
③两个小数比：
比的前项和后项同时向右移动小数点的位置，要移几位都移几位，先化成整数比再化简。
④一个分数和一个整数的比：
分数和整数同时乘分数的分母，把分数化成整数再化简。
⑤一个小数和一个分数的比：
先把小数化成分数（能约分的先约分），再按化简分数比的方法化简。
（2）用求比值的方法。
注意：
最后结果要写成比的形式。
例如：
15∶10=15÷10=
＝
=3∶2
还可以15∶10=15÷10=
最简整数比是3∶2
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。
6.按比例分配：
把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种方法通常叫做按比例分配。
一般有两种解题法
１，用分率（分数）解:
按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分数。
要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。
例如：
有糖水25克，糖和水的比为1:
4，糖和水分别有几克？
1+4=5糖占
用25×
得到糖的数量，水占
用25×
得到水的数量。
2，用份数解：
要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。
例如：
有糖水25克，糖和水的比为1:
4，糖和水分别有几克？
糖和水的份数一共有1+4=5，一份就是25÷5=5，糖有1份就是5×1，水有4分就是5×4
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
（一）、百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分数和分数的主要联系与区别：
联系：
都可以表示两个量的倍比关系。
区别：
①、意义不同：
百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法：
通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
（一）百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：
把小数点向右移动两位（数位不够用0补足），同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数：
把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分号。
（二）百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：
先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数：
①用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数，再写成百分数形式。
②先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
（建议用这种方法）
三、用百分数解决问题
（一）一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：
一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。
例如：
例如:
男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。
列式是：
15÷20=15/20=75﹪
3、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
（1）百分率前是“的”：
单位“1”的量×百分率=百分率对应量
（2百分率前是“多或少”的数量关系：
单位“1”的量×（1±百分率）=百分率对应量
4、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
方法与分数的方法相同。
解法：
（1）方程：
根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
（2）算术（用除法）：
百分率对应量÷对应百分率=单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多（少）百分之几的方法与分数的方法相同。
只是结果要写为百分数形式。
看百分率前有没有比多或比少的问题；
百分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：
具体量÷（1-百分率）=单位“1”的量；
例如:
大米有50千克，比面粉树少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：
50÷（1-50﹪）
（比多）：
具体量 ÷（1+百分率）=单位“1”的量
例如:
工人做110个零件，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？
列式是：
110÷（1+10﹪）
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：
方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几：
用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。
甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙（建议用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：
老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？
列式是：
（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一个数比另一个数少几分之几：
用（大数–小数）÷另一个数（比那个数就除以那个数），结果写为百分数形式。
乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）
方法B，100﹪-乙÷甲
例如：
张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
说明：
多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格：
1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价格为“1”。
求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后
比在几何里的运用：
（1）已知长方形的周长，长和宽的比是ａ：
ｂ。
求长和宽、面积。
长=周长÷2×
宽=周长÷2×
面积＝长×宽
（2）已知已知长方体的棱长和，长、宽、高的比是ａ：
ｂ：
ｃ。
求长、宽、高、体积
长=周长÷４×
宽=周长÷４×
高=周长÷４×
体积＝长×宽×高
（３）已知三角形三个角的比是ａ：
ｂ：
ｃ，求三个内角的度数。
三个角分别为：
１８０×
１８０×
１８０×
（４）已知三角形的周长，三条边的长度比是ａ：
ｂ：
ｃ，求三条边的长度。
三条边分别为：
周长×
周长×
周长×
第五单元圆的认识
一、认识圆。
1、圆的定义：
圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：
将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的
。
用字母表示为：
d=2r或r=d÷2
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有2条对称轴的图形是：
长方形;只有3条对称轴的图形是：
等边三角形;只有4条对称轴的图形是：
正方形;有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环。
１１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。
二、圆的周长
1、圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
3、圆周率：
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π（pai）表示。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时，一般取π≈3.14。
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
4、圆的周长公式：
圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C=πd或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr
（1）、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示d=C÷π
（2）、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍字母表示r=C÷2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
环形的周长＝外圆周长＋内圆周长
（1）、半圆弧的周长（周长的一半）：
等于圆的周长÷2
计算方法：
2πr÷2即C半=πr
②半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长公式：
Ｃ＝πd÷2＋d 或 Ｃ＝πr＋2r
三、圆的面积
1、圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
用字母S表示。
2、圆面积公式的推导：
（1）把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。
（2）拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
3、圆面积的计算方法：
因为：
长方形面积=长 ×宽
所以：
圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
即S圆=Ｃ÷2×r＝πr×r＝πr
圆的面积公式：
S圆=πr
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。
S环=πR
-πr
或环形的面积公式：
S环=π（R
-r
）（建议用这个公式）。
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。
6、两个圆：
半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：
两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：
4∶π
8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。
反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：
π=3.14；2π=6.28；5π=15.7
10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r
。
11、外圆内方（外切圆）：
把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径，公式S=S圆-S正=S圆-dr或S=1.14r
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角。
扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13、S扇=S圆×
；S扇环=S环×
14、求阴影部分的面积：
S阴影=大图形的面积-小图形的面积，也可用割补法把阴影部分组合成一个图形。
15、周长相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的面积依次增大。
面积相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的周长依次减少。
第七单元：
扇形统计图
一、扇形统计图的意义：
用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。
也就是各部分数量占总数的百分比（因此也叫百分比图）。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：
可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：
不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图：
能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
（要在统计图上写出百分率）
四、应用：
1.会观察统计图。
2、你得到什么数学信息？
回答①、***占总体的百分之几；②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；
3、你还能提什么数学问题：
**和**一共占百分之几。
补充：
百分数应用题
（一）
求增加百分之几？
减少百分之几？
公式：
增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例如：
1、45立方厘米的水结成冰后，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：
根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：
增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：
第一步：
单位1：
水：
45立方厘米
第二步：
增加的部分：
50—45=5立方厘米
第三步：
增加百分之几：
5÷45=11.1%
2、45立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：
根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，已经知道是45：
增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤：
第一步：
单位1：
水：
45立方厘米
第二步：
增加的部分：
5立方厘米
第三步：
增加百分之几：
5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：
根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水，不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以可以用50—5求出水是45立方厘米。
加的部分是5立方厘米；；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计
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