第一章算法初步全章教案.docx

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第一章算法初步全章教案

第一章算法初步

1.1算法与程序框图

1.1.1算法的概念

整体设计

教学分析

算法在中学数学课程中是一个新的概念，但没有一个精确化的定义，教科书只对它作了如下描述：

“在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念，教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发，归纳出了二元一次方程组的求解步骤，这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中，应从学生非常熟悉的例子引出算法，再通过例题加以巩固.

三维目标

1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.

2.通过例题教学，使学生体会设计算法的基本思路.

3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时，激发学生学习数学的兴趣.

重点难点

教学重点：

算法的含义及应用.

教学难点：

写出解决一类问题的算法.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1（情境导入）

一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？

请同学们写出解决问题的步骤，解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.

思路2（情境导入）

大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧，宋丹丹说了一个笑话，把大象装进冰箱总共分几步？

答案：

分三步，第一步：

把冰箱门打开；第二步：

把大象装进去；第三步：

把冰箱门关上.

上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法，今天我们开始学习算法的概念.

思路3（直接导入）

算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机是怎样工作的呢？

要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.

推进新课

新知探究

提出问题

（1）解二元一次方程组有几种方法？

（2）结合教材实例

总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.

（3）结合教材实例

总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.

（4）请写出解一般二元一次方程组的步骤.

（5）根据上述实例谈谈你对算法的理解.

（6）请同学们总结算法的特征.

（7）请思考我们学习算法的意义.

讨论结果：

（1）代入消元法和加减消元法.

（2）回顾二元一次方程组

的求解过程，我们可以归纳出以下步骤：

第一步，①+②×2，得5x=1.③

第二步，解③，得x=

.

第三步，②-①×2，得5y=3.④

第四步，解④，得y=

.

第五步，得到方程组的解为

（3）用代入消元法解二元一次方程组

我们可以归纳出以下步骤：

第一步，由①得x=2y－1.③

第二步，把③代入②，得2（2y－1）+y=1.④

第三步，解④得y=

.⑤

第四步，把⑤代入③，得x=2×

－1=

.

第五步，得到方程组的解为

（4）对于一般的二元一次方程组

其中a1b2－a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤：

第一步，①×b2-②×b1，得

（a1b2－a2b1）x=b2c1－b1c2.③

第二步，解③，得x=

.

第三步，②×a1-①×a2，得（a1b2－a2b1）y=a1c2－a2c1.④

第四步，解④，得y=

.

第五步，得到方程组的解为

（5）算法的定义：

广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.

在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.

现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题.

（6）算法的特征：

①确定性：

算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的，甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性：

算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.③有穷性：

算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制地持续进行.

（7）在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题，这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说，算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的，有时需进行大量重复的计算，它的优点是一种通法，只要按部就班地去做，总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.

应用示例

思路1

例1

（1）设计一个算法，判断7是否为质数.

（2）设计一个算法，判断35是否为质数.

算法分析：

（1）根据质数的定义，可以这样判断：

依次用2—6除7，如果它们中有一个能整除7，则7不是质数，否则7是质数.

算法如下：

（1）第一步，用2除7，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.

第二步，用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.

第三步，用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.

第四步，用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.

第五步，用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是质数.

（2）类似地，可写出“判断35是否为质数”的算法：

第一步，用2除35，得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除35.

第二步，用3除35，得到余数2.因为余数不为0，所以3不能整除35.

第三步，用4除35，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除35.

第四步，用5除35，得到余数0.因为余数为0，所以5能整除35.因此，35不是质数.

点评：

上述算法有很大的局限性，用上述算法判断35是否为质数还可以，如果判断1997是否为质数就麻烦了，因此，我们需要寻找普适性的算法步骤.

变式训练

请写出判断n（n>2）是否为质数的算法.

分析：

对于任意的整数n（n>2），若用i表示2—（n-1）中的任意整数，则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作：

用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0，若是，则不是质数；否则，将i的值增加1，再执行同样的操作.

这个操作一直要进行到i的值等于（n-1）为止.

算法如下：

第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i=2.

第三步，用i除n,得到余数r.

第四步，判断“r=0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.

第五步，判断“i＞（n-1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.

例2写出用“二分法”求方程x2-2=0（x>0）的近似解的算法.

分析：

令f（x）=x2-2,则方程x2-2=0（x>0）的解就是函数f（x）的零点.

“二分法”的基本思想是：

把函数f（x）的零点所在的区间［a,b］（满足f（a）·f（b）<0）“一分为二”，得到［a,m］和［m,b］.根据“f（a）·f（m）<0”是否成立，取出零点所在的区间［a,m］或［m,b］，仍记为［a,b］.对所得的区间［a,b］重复上述步骤，直到包含零点的区间［a,b］“足够小”，则［a,b］内的数可以作为方程的近似解.

解：

第一步，令f（x）=x2-2,给定精确度d.

第二步，确定区间［a,b］，满足f（a）·f（b）<0.

第三步，取区间中点m=

.

第四步，若f（a）·f（m）<0，则含零点的区间为［a,m］；否则，含零点的区间为［m,b］.将新得到的含零点的区间仍记为［a,b］.

第五步，判断［a,b］的长度是否小于d或f（m）是否等于0.若是，则m是方程的近似解；否则，返回第三步.

当d=0.005时，按照以上算法，可以得到下表.

a

b

|a-b|

1

2

1

1

1.5

0.5

1.25

1.5

0.25

1.375

1.5

0.125

1.375

1.4375

0.0625

1.40625

1.4375

0.03125

1.40625

1.421875

0.015625

1.4140625

1.421875

0.0078125

1.4140625

1.41796875

0.00390625

于是，开区间（1.4140625,1.41796875）中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上，上述步骤也是求

的近似值的一个算法.

点评：

算法一般是机械的，有时需要进行大量的重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成，实际上处理任何问题都需要算法.如：

中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则；再比如申请出国有一系列的先后手续，购买物品也有相关的手续……

思路2

例1一个人带着三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可容纳一个人和两只动物，没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河？

请设计算法.

分析：

任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量，还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量，故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼，这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.

解：

具体算法如下：

算法步骤：

第一步：

人带两只狼过河，并自己返回.

第二步：

人带一只狼过河，自己返回.

第三步：

人带两只羚羊过河，并带两只狼返回.

第四步：

人带一只羊过河，自己返回.

第五步：

人带两只狼过河.

点评：

算法是解决某一类问题的精确描述，有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达，要善于分析任何可能出现的情况，体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决，在现实生活中，很多较复杂的情境经常遇到这样的问题，设计算法的时候，如果能够合适地利用某些步骤的重复，不但可以使得问题变得简单，而且可以提高工作效率.

例2喝一杯茶需要这样几个步骤：

洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶．问：

如何安排这几个步骤？

并给出两种算法，再加以比较．

分析：

本例主要为加深对算法概念的理解，可结合生活常识对问题进行分析，然后解决问题．

解：

算法一：

第一步，洗刷水壶.

第二步，烧水.

第三步，洗刷茶具.

第四步，沏茶.

算法二：

第一步，洗刷水壶.

第二步，烧水，烧水的过程当中洗刷茶具.

第三步，沏茶.

点评：

解决一个问题可有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但是算法二运用了统筹方法的原理，因此这个算法要比算法一更科学．

例3写出通过尺轨作图确定线段AB一个5等分点的算法.

分析：

我们借助于平行线定理，把位置的比例关系变成已知的比例关系，只要按照规则一步一步去做就能完成任务.

解：

算法分析：

第一步，从已知线段的左端点A出发，任意作一条与AB不平行的射线AP.

第二步，在射线上任取一个不同于端点A的点C，得到线段AC.

第三步，在射线上沿AC的方向截取线段CE=AC.

第四步，在射线上沿AC的方向截取线段EF=AC.

第五步，在射线上沿AC的方向截取线段FG=AC.

第六步，在射线上沿AC的方向截取线段GD=AC，那么线段AD=5AC.

第七步，连结DB.

第八步，过C作BD的平行线，交线段AB于M，这样点M就是线段AB的一个5等分点.

点评：

用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力，并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法，可谓一举多得，应多加训练.

知能训练

设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.

解：

算法步骤如下：

第一步，输入一元二次方程的系数：

a，b，c.

第二步，计算Δ=b2－4ac的值.

第三步，判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立，输出“方程有实根”；否则输出“方程无实根”，结束算法.

点评：

用算法解决问题的特点是：

具有很好的程序性，是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.

拓展提升

中国网通规定：

拨打市内电话时，如果不超过3分钟，则收取话费0.22元；如果通话时间超过3分钟，则超出部分按每分钟0.1元收取通话费，不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t（分钟），通话费用y（元），如何设计一个程序，计算通话的费用.

解：

算法分析：

数学模型实际上为：

y关于t的分段函数.

关系式如下：

y=

其中［t－3］表示取不大于t－3的整数部分.

算法步骤如下：

第一步，输入通话时间t.

第二步，如果t≤3，那么y=0.22；否则判断t∈Z是否成立，若成立执行

y=0.2+0.1×（t－3）；否则执行y=0.2+0.1×（［t－3］+1）.

第三步，输出通话费用c.

课堂小结

（1）正确理解算法这一概念.

（2）结合例题掌握算法的特点，能够写出常见问题的算法.

作业

课本本节练习1、2.

设计感想

本节的引入精彩独特，让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础，是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念，本节设置了大量学生熟悉的事例，让学生仔细体会反复训练.本节的事例有古老的经典算法，有几何算法等，因此这是一节很好的课例.

1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构

整体设计

教学分析

用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.程序框图用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚、步骤更直观也更精确.为了更好地学好程序框图，我们需要掌握程序框的功能和作用，需要熟练掌握三种基本逻辑结构.

三维目标

1．熟悉各种程序框及流程线的功能和作用.

2．通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：

顺序结构、条件结构、循环结构.

3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性.

重点难点

数学重点：

程序框图的画法.

数学难点：

程序框图的画法.

课时安排

4课时

教学过程

第1课时程序框图及顺序结构

导入新课

思路1（情境导入）

我们都喜欢外出旅游，优美的风景美不胜收，如果迷了路就不好玩了，问路有时还听不明白，真是急死人，有的同学说买张旅游图不就好了吗，所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确，本节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图.

思路2（直接导入）

用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性，但是对于在一定条件下才会被执行的步骤，以及在一定条件下会被重复执行的步骤，自然语言的表示就显得困难，而且不直观、不准确.因此，本节有必要探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图.

推进新课

新知探究

提出问题

（1）什么是程序框图？

（2）说出终端框（起止框）的图形符号与功能.

（3）说出输入、输出框的图形符号与功能.

（4）说出处理框（执行框）的图形符号与功能.

（5）说出判断框的图形符号与功能.

（6）说出流程线的图形符号与功能.

（7）说出连接点的图形符号与功能.

（8）总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能.

（9）什么是顺序结构？

讨论结果：

（1）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.

在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序.

（2）椭圆形框：

表示程序的开始和结束，称为终端框（起止框）．表示开始时只有一个出口；表示结束时只有一个入口．

（3）平行四边形框：

表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框，它有一个入口和一个出口．

（4）矩形框：

表示计算、赋值等处理操作，又称为处理框（执行框），它有一个入口和一个出口．

（5）菱形框：

是用来判断给出的条件是否成立，根据判断结果来决定程序的流向，称为判断框，它有一个入口和两个出口．

（6）流程线：

表示程序的流向．

（7）圆圈：

连接点．表示相关两框的连接处，圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起．

（8）总结如下表.

图形符号

名称

功能

终端框（起止框）

表示一个算法的起始和结束

输入、输出框

表示一个算法输入和输出的信息

处理框（执行框）

赋值、计算

判断框

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”

流程线

连接程序框

连接点

连接程序框图的两部分

（9）很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构.

三种逻辑结构可以用如下程序框图表示：

顺序结构条件结构循环结构

应用示例

例1请用程序框图表示前面讲过的“判断整数n（n>2）是否为质数”的算法.

解：

程序框图如下:

点评：

程序框图是用图形的方式表达算法，使算法的结构更清楚，步骤更直观也更精确.这里只是让同学们初步了解程序框图的特点，感受它的优点，暂不要求掌握它的画法.

变式训练

观察下面的程序框图，指出该算法解决的问题.

解：

这是一个累加求和问题，共99项相加，该算法是求

的值.

例2已知一个三角形三条边的边长分别为a，b，c，利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算法，并画出程序框图表示.（已知三角形三边边长分别为a,b,c，则三角形的面积为S=

），其中p=

.这个公式被称为海伦—秦九韶公式）

算法分析：

这是一个简单的问题，只需先算出p的值，再将它代入分式，最后输出结果.因此只用顺序结构应能表达出算法.

算法步骤如下：

第一步，输入三角形三条边的边长a,b,c.

第二步，计算p=

.

第三步，计算S=

.

第四步，输出S.

程序框图如下：

点评：

很明显，顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，它是最简单的逻辑结构，它是任何一个算法都离不开的基本结构.

变式训练

下图所示的是一个算法的流程图，已知a1=3，输出的b=7,求a2的值.

解：

根据题意

=7,

∵a1=3,∴a2=11.即a2的值为11.

例3写出通过尺轨作图确定线段AB的一个5等分点的程序框图.

解：

利用我们学过的顺序结构得程序框图如下：

点评：

这个算法步骤具有一般性，对于任意自然数n，都可以按照这个算法的思想，设计出确定线段的n等分点的步骤，解决问题，通过本题学习可以巩固顺序结构的应用.

知能训练

有关专家建议，在未来几年内，中国的通货膨胀率保持在3%左右，这将对我国经济的稳定有利无害.所谓通货膨胀率为3%，指的是每年消费品的价格增长率为3%.在这种情况下，某种品牌的钢琴2004年的价格是10000元，请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况，并输出四年后的价格.

解：

用P表示钢琴的价格，不难看出如下算法步骤：

2005年P=10000×（1+3%）=10300；

2006年P=10300×（1+3%）=10609；

2007年P=10609×（1+3%）=10927.27；

2008年P=10927.27×（1+3%）=11255.09；

因此，价格的变化情况表为：

年份

2004

2005

2006

2007

2008

钢琴的价格

10000

10300

10609

10927.27

11255.09

程序框图如下：

点评：

顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路，将问题解决掉.最后将解题步骤“细化”就可以.“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图.

拓展提升

如下给出的是计算

的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是______________.

答案：

i>10.

课堂小结

（1）掌握程序框的画法和功能.

（2）了解什么是程序框图，知道学习程序框图的意义.

（3）掌握顺序结构的应用，并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法.

作业

习题1.1A1.

设计感想

首先，本节的引入新颖独特，旅游图的故事阐明了学习程序框图的意义.通过丰富有趣的事例让学生了解了什么是程序框图，进而激发学生学习程序框图的兴趣.本节设计题目难度适中，逐步把学生带入知识的殿堂，是一节好的课例.

第2课时条件结构

导入新课

思路1（情境导入）

我们以前听过这样一个故事，野兽与鸟发生了一场战争，蝙蝠来了，野兽们喊道：

你有牙齿是我们一伙的，鸟们喊道：

你有翅膀是我们一伙的，蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法，如果野兽赢了，就加入野兽这一伙，否则加入另一伙，事实上蝙蝠用了分类讨论思想，在算法和程序框图中也经常用到这一思想方法，今天我们开始学习新的逻辑结构——条件结构.

思路2（直接导入）

前面我们学习了顺序结构，顺序结构像是一条没有分支的河流，奔流到海不复回，事实上多数河流是有分支的，今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构.

推进新课

新知探究

提出问题

（1）举例说明什么是分类讨论思想？

（2）什么是条件结构？

（3）试用程序框图表示条件结构.

（4）指出条件结构的两种形式的区别.

讨论结果：

（1）例如解不等式ax>8（a≠0）,不等式两边需要同除a,需要明确知道a的符号，但条件没有给出，因此需要进行分类讨论，这就是分类讨论思想.

（2）在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就是处理这种过程的结构.

（3）用程序框图表示条件结构如下．

条件结构：

先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构（或分支结构），如图1所示.执行过程如下：

条件成立，则执行A框；不成立，则执行B框．

图1图2

注：

无论条件是否成立，只能执行A、B之一，不可能两个框都执行．A、B两个框中，可以有一个是空的，即不执行任何操作，如图2.

（4）一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行“步骤B”；另一种是在一个“分支”中均包含算法的步骤A，而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤，符合条件就执行“步骤A”，否则执行这个条件结构后的步骤.

应用示例

例1任意给定3个正实数，设计一个算法，判断以这3个正实数为三边边长的三角形是否存在，并画出这个算法的程序框图.

算法分析：

判断以3个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数中任意两个数的和是否大于第3个数.这个验证需要用到条件结构.

算法步骤如下：

第一步，输入3个正实数a，b，c.

第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立.若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形.

程序框图如右图：

点评：

根据构成三角形的条件，判断是否满足任意两边之和大于第三边，如果满足则存在这样的三角形，如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点，在画程序框图时，常常遇到需要讨论的问题，这时要用到条件结构.

例2设计一个求解一元二次方程ax2+bx+c=0的算法，并画出程序框图表示.

算法分析：

我们知道，若判别式Δ=b2-4ac>0，则原方程有两个不相等的实数根

x1